우함수와 기함수(Even & Odd function)

함수 $f$가 정의역의 임의의 원소에 대하여 $x^0,x^2,x^4,\cdots$와 같이 짝수 차수만을 갖는 함수처럼 $f(-x)=f(x)$이면 우함수(짝함수, even function) 라 부르며, $y$축 대칭인 성질을 갖는다. $x^1,x^3,x^5,\cdots$와 같이 홀수 차수만을 갖는 함수처럼 $f(-x)=-f(x)$이면 기함수(홀함수, odd function) 라 부르며, 원점 대칭인 성질을 갖는다.

우함수와 기함수의 적분

함수 $f(x)$가 우함수면, $y$축 대칭이므로 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$이다. 함수 $f(x)$가 기함수면, 원축 대칭이므로 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$이다. 그래프의 성질에 의해 우함수는 $y$축 대칭이므로${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{-b}^{-a}f(x)dx$이며, 기함수는 원점대칭이므로 ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_{-b}^{-a}f(x)dx$이다.(why?)

모든 함수는 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있는가?

임의의 함수 $f(x)$에 대하여 $\frac{f(x)+f(-x)}{2}$는 우함수이며, $\frac{f(x)-f(-x)}{2}$는 기함수이다. 이 때, $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$이므로, 임의의 함수 $f(x)$는 우함수와 기함수의 합으로 유일하게 표현할 수 있다.¹

$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

이 논리를 이용하여 다양한 함수의 특성을 파악할 수 있다.²³

예제

1. $f(x)$가 우함수, $g(x)$가 기함수일 때, 다음 함수가 우함수인지 기함수인지 판별하라.

• $f(x)+f(x)$
• $f(x)+g(x)$
• $g(x)+g(x)$
• $f(x)\times f(x)$
• $f(x)\times g(x)$
• $g(x)\times g(x)$
• $f(f(x))$
• $f(g(x))$
• $g(f(x))$
• $g(g(x))$

2. 다음 명제가 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 들어라.

• 기함수는 원점을 지난다.
• 우함수를 미분하면 기함수이다.
• 기함수를 미분하면 우함수이다.
• 우함수를 적분하면 기함수이다.
• 기함수를 적분하면 우함수이다.
• 우함수이며 동시에 기함수인 함수는 존재하지 않는다.
• 기함수가 일대일 대응이면 역함수는 기함수이다.
• 모든 함수는 우함수와 기함수의 합으로 유일하게 반드시 표현할 수 있다.

3. ${\int }_{-2}^2(x+|x|+2)dx$의 값은?
4. ${\int }_{-1}^1{2}^x+3^x+2^{-x}-3^{-x}dx$의 값은?
5. 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x)=f(x)$를 만족시키고, ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$일 때, ${\int }_{-1}^1(x^3-3x+2)f(x)dx$의 값은?
6. 두 다항함수 $f(x),g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x)=f(x),g(-x)=g(x)$를 만족시킨다. $h(x)=f(x)g(x)$에 대하여 ${\int }_{-2}^2(x+4)h^{\prime }(x)dx=8$일 때, $h(2)$의 값은?
7. 다항함수 $f(x)$가 ${\int }_{-1}^3\left\{xf(x)+xf(-x)\right\}dx=6,{\int }_{-3}^{-1}\left\{xf(x)-xf(-x)\right\}dx=4$일 때, ${\int }_1^{3}xf(-x)dx$의 값은?
8. 다항함수 $f(x)$에 대하여 ${\int }_{-1}^{2}xf\left(x^2\right)dx=1,{\int }_{-3}^{1}xf\left(x^2\right)dx=-4$일 때, ${\int }_{-2}^{3}xf\left(x^2\right)dx$의 값은?

Footnotes

1. 임의의 함수 $f(x)$에 대하여 우함수 $g(x)$와 기함수 $h(x)$가 $f(x)=g(x)+h(x)$를 만족한다고 하자. $f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)$이므로, $f(x)+f(-x)=2g(x)$, $f(x)-f(-x)=2h(x)$이다. 따라서, $g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$, $h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$이다. 그러므로, 임의의 함수 $f(x)$는 우함수와 기함수의 합으로 유일하게 표현할 수 있다. ↩

2. $f(x)=e^x$라 하면, $f(-x)=e^{-x}$이므로, $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$이고, $\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$이다. 이 때, $\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh (x)$라 하고, $\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh (x)$라 한다. 삼각 함수가 원을 기술하듯이, $\cosh (x)$, $\sinh (x)$는 쌍곡선(Hyperbolic)을 나타내는 함수(${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$)이며, $\cosh (x)$는 현수선으로, 중력장에서 최소한의 에너지를 가지는 곡선(전선이나 다리의 케이블이 매달렸을 때의 형태)이다. ↩

3. $f(x)=e^{ix}$라 하면, $f(-x)=e^{-ix}$이므로, $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$이고, $\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}$이다. 오일러 항등식에 의해 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$이므로, $\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x$, $\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\sin x$이다. ↩