선형 연산자(Linear operator)

벡터 공간에서의 선형 변환(Linear transformation)은 다음과 같이 정의한다.

T (v + w) = T (v) + T (w), T (c v) = c T (v)

고등

f (x) = a x, f (x + y) = f (x) + f (y), f (c x) = c f (x)

A (x + y) = A x + A y, A (c x) = c (A x)

\sum (a_{n} + b_{n}) = \sum a_{n} + \sum b_{n}, \sum (c a_{n}) = c \sum a_{n}

E [X + Y] = E [X] + E [Y], E [c X] = c E [X]

x \to a lim (f (x) + g (x)) = x \to a lim f (x) + x \to a lim g (x), x \to a lim (c f (x)) = c x \to a lim f (x)

D (f) = f^{'}, D (f + g) = D (f) + D (g), D (c f) = cD (f)

I (f) = \int f (x) d x, I (f + g) = I (f) + I (g), I (c f) = c I (f)

(x + w, y + z) = (x, y) + (w, z), (c x, cy) = c (x, y)

tr (A + B) = tr (A) + tr (B), tr (c A) = c \cdot tr (A)

(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}, (c A)^{T} = c A^{T}

det [u + w v] = det [u v] + det [w v], det [c u v] = c \cdot det [u v]

⟨ u + v, w ⟩ = ⟨ u, w ⟩ + ⟨ v, w ⟩, ⟨ c u, w ⟩ = c ⟨ u, w ⟩

a \times (b + c) = a \times b + a \times c, (c a) \times b = c (a \times b)

F (f + g) = F (f) + F (g), F (c f) = c F (f)

L (f + g) = L (f) + L (g), L (c f) = c L (f)

\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ _{0}}, \nabla \times B - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial E}{\partial t} = μ_{0} J

\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = c^{2} \nabla^{2} u, (□ u = 0)

슈뢰딩거 방정식 $i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = H Ψ, H (Ψ_{1} + Ψ_{2}) = H Ψ_{1} + H Ψ_{2}$
아인슈타인 장 방정식

G_{μν} = \frac{8 π G}{c ^{4}} T_{μν}

단, 더하는 순서가 바뀌면 수렴하지 않을 수 있다. 절대 수렴 $\sum ∣ a_{n} ∣ < \infty$ 인 경우에는 더하는 순서가 바뀌어도 수렴한다. 절대 수렴하지 않는다면, 리만 재배열 정리(Riemann Rearrangement Theorem)에 의해 어떤 방식으로 재배열(rearrangement)하느냐에 따라 급수의 합이 다르게 나올 수도 있다. ↩
두 번째 벡터에 대해서는 성립하지 않는다. $⟨ x, cy ⟩$ = $\overset{c}{ˉ} ⟨ x, y ⟩$ ↩