삼각 부등식(triangle inequality)과 코시 슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)

벡터의 크기와 내적

벡터의 크기(길이)는 유클리드 거리 개념을 사용하여 정의한다.

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}$$

벡터의 내적은 다음과 같이 정의한다.

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$

코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz Inequality)

벡터 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 의 크기와 내적을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.¹

$$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$$

이 부등식은 두 벡터의 내적은 두 벡터 크기의 곱을 초과할 수 없다는 것을 의미한다.

증명

두 벡터 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 사이의 각을 $\theta$ 라고 하면, 내적의 정의에 의해

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$

여기에 절댓값을 취하면,

$$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}||\cos \theta |$$

이고, 삼각 함수의 기본 성질에 의해

$$|\cos \theta |\le 1$$

이므로,

삼각 부등식(Triangle Inequality)

삼각 부등식도 벡터의 크기개념을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|\le |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$

이 부등식은 한 벡터의 크기와 다른 벡터의 크기의 합이, 두 벡터를 더한 크기보다 크거나 같다는 것을 의미한다. 삼각형의 두 변의 길이 합이 나머지 한 변보다 크거나 같다 원리다.

증명

내적의 정의에 의해,

$$|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})$$

이를 전개하면,

$$|\mathbf{a}{|}^2+2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+|\mathbf{b}{|}^2$$

코시-슈바르츠 부등식에 의해

$$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$$

이므로,

$$|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2\le (|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|{)}^2$$

양변에 제곱근을 취하면,

$$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|\le |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$$

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내적공간(inner product space)

$V$ 를 체 $F$ 위의 벡터 공간이라고 하자. $V$ 위의 내적(inner product)은 $V$ 의 임의의 벡터 $x,y$ 쌍에 대해 스칼라 값을 부여하는 함수로, $⟨x,y⟩$ 로 표기하며, 다음 조건들을 만족한다.

1. 선형성 (Linear in the first component)

$$⟨x+z,y⟩=⟨x,y⟩+⟨z,y⟩$$

2. 스칼라 곱 (Scalar multiplication)

$$⟨cx,y⟩=c⟨x,y⟩$$

3. 켤레 대칭성 (Conjugate symmetry)

$$⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$$

4. 양의 정부호성 (Positive definiteness) $x\ne 0$ 이면,

$$⟨x,x⟩$$

은 양의 실수이다. 만약 $F=\mathbb{R}$ 이면, 조건 3은 단순히 $⟨x,y⟩=⟨y,x⟩$ 가 된다.

노름(norm)

내적 공간(inner product space) $V$ 가 주어졌다고 하자. $x\in V$ 에 대해, $x$ 의 노름(norm)또는 길이(length)를 다음과 같이 정의한다.

$$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$$

유클리드 길이

$V=F^n$ 이라고 하자. $x=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$라면,

$$\Vert x\Vert =\Vert (a_1,a_2,\dots ,a_n)\Vert ={\left[\sum _{i=1}^n|a_i{|}^2\right]}^{1/2}$$

는 유클리드 길이(Euclidean definition of length)의 정의이다. 또한, $n=1$ 이면, $\Vert a\Vert =|a|$ 가 성립한다.

코시 슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)

$F$-내적공간 $V$와 임의의 벡터 $x,y\in V$, 스칼라 $c\in F$ 대해

$$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$$

가 성립한다. 이를 코시 슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)이라고 한다.

증명

$y=0$ 이면, 결과는 자명하다. 따라서 $y\ne 0$ 라고 가정하자. 임의의 $c\in F$ 에 대해,

$$\begin{array}{rl}0\le ⟨x-cy,x-cy⟩=& ⟨x,x-cy⟩-c⟨y,x-cy⟩\\ =& ⟨x,x⟩-\overline{c}⟨x,y⟩-c⟨y,x⟩+c\overline{c}⟨y,y⟩\end{array}$$

이때, $c=\frac{⟨x,y⟩}{⟨y,y⟩}$ 라고 두면, $\overline{c}⟨x,y⟩$, $c⟨y,x⟩$, $c\overline{c}⟨y,y⟩$ 는 모두

$$\frac{⟨x,y⟩⟨y,x⟩}{⟨y,y⟩}=\frac{|⟨x,y⟩{|}^2}{\Vert y{\Vert }^2}$$

와 같으므로, 위의 부등식은

$$0\le ⟨x,x⟩-\frac{|⟨x,y⟩{|}^2}{⟨y,y⟩}=\Vert x{\Vert }^2-\frac{|⟨x,y⟩{|}^2}{\Vert y{\Vert }^2}$$

이 성립한다.

삼각 부등식(triangle inequality)

$F$-내적공간 $V$와 임의의 벡터 $x,y\in V$, 스칼라 $c\in F$ 대해

$$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$$

가 성립한다. 이를 삼각 부등식(triangle inequality)이라고 한다.

증명

$$\begin{array}{rl}\Vert x+y{\Vert }^2& =⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨y,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,y⟩\\ & =\Vert x{\Vert }^2+\text{Re}⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2\\ & \le \Vert x{\Vert }^2+2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2\\ & \le \Vert x{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert +\Vert y{\Vert }^2\\ & =(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2\end{array}$$

여기서 $\text{Re}⟨x,y⟩$ 는 복소수 $⟨x,y⟩$의 실수부를 나타낸다. 또한, 삼각 부등식 증명에서 코시-슈바르츠 부등식을 사용했음을 유의한다.

Footnotes

1. $(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2\le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$ ↩