복소수(Complex number)

대수학에서는 실수체 만으로 이론을 전개하기 어려울 때가 많다. 예를 들어, $x^2+1=0$처럼 실수 계수를 갖는 다항식 중에서 실수 범위에서 해를 갖지 않는 경우가 있기 때문이다. 이러한 이유로, 모든 비영(非零)차수의 다항식이 그 계수를 가진 집합에서 해를 갖도록 하는 확장이 필요하다. 즉, 실수의 집합을 확장하여 이러한 조건을 만족하는 새로운 수 체계를 구축할 수 있다.

복소수(Complex number)

복소수(Complex number)는 다음과 같은 꼴의 표현을 갖는 수이다.

$$z=a+bi$$

여기서 $a,b$는 실수이며, 각각 실수 부분(real part)과 허수 부분(imaginary part)이라고 부른다.

복소수의 덧셈과 곱셈

복소수 $z=a+bi$와 $w=c+di$에 대해, 두 복소수의 합(Sum)과 곱(Product)은 각각 다음과 같이 정의된다.

• 덧셈 (Addition)

$$z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$

• 곱셈 (Multiplication)

$$zw=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$$

실수를 복소수로 확장하기

어떤 실수 $c$도 복소수로 간주할 수 있다. 즉, $c$를 복소수 $c+0i$와 동일한 것으로 보면, 실수의 연산이 복소수의 연산과 자연스럽게 일치함을 확인할 수 있다.

$$\begin{array}{c}(c+0i)+(d+0i)=(c+d)+0i\\ \\ (c+0i)(d+0i)=cd+0i\end{array}$$

따라서, 실수의 덧셈과 곱셈은 복소수의 덧셈과 곱셈의 특수한 경우로 볼 수 있다.

허수의 정의

$bi=0+bi$ 형태의 복소수를 허수(imaginary number)라고 한다. 이때, $b$는 $0$이 아닌 실수이다. 두 허수의 곱은 실수가 됨을 보이자.

$$(bi)(di)=(0+bi)(0+di)=(0-bd)+(b\cdot 0+0\cdot d)i=-bd$$

특히, 허수 단위 $i$에 대해

$$i\cdot i=-1$$

이는 복소수 곱셈의 정의를 기억하는 중요한 성질이 된다. 즉, 복소수를 곱할 때 일반적인 다항식 전개처럼 계산하고, $i^2=-1$로 대체하면 된다.

덧셈과 곱셈에 대한 항등원

• 덧셈 항등원 : 복소수에서 $0$은 덧셈 항등원(identity)역할을 한다.

$$(a+bi)+0=(a+bi)+(0+0i)=(a+0)+(b+0)i=a+bi.$$

• 곱셈 항등원 : 복소수에서 $1$은 곱셈 항등원 역할을 한다.

$$(a+bi)\cdot 1=(a+bi)(1+0i)=(a\cdot 1-b\cdot 0)+(b\cdot 1+a\cdot 0)i=a+bi.$$

복소수의 덧셈 역원과 곱셈 역원

• 덧셈 역원 : 복소수 $a+bi$의 덧셈 역원은 $-a-bi$이다.

$$(a+bi)+(-a-bi)=0.$$

• 곱셈 역원 : $0$이 아닌 복소수 $a+bi$의 곱셈 역원은 다음과 같이 주어진다.

$$(a+bi{)}^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.$$

복소수의 역수를 구하려면 켤레 복소수를 이용하여 분모를 실수로 만들면 된다.

결국 복소수는 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈에 대해 닫혀 있으며, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립하므로 체(Field)를 만족한다.

복소수의 켤레 (Complex Conjugate)

복소수 $a+bi$의 켤레 복소수(complex conjugate)는 $a-bi$이다. 복소수 $z$의 켤레는 $\overline{z}$로 표기한다.

켤레 복소수의 성질

복소수 $z,w$에 대해 다음 성질들이 성립한다.

1. 켤레 연산의 자기역성(Self-involution)

$$\overline{\overline{z}}=z$$

2. 덧셈에 대한 성질¹

$$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$$

3. 곱셈에 대한 성질²

$$\overline{zw}=\overline{z}\cdot \overline{w}$$

4. 나눗셈에 대한 성질 (단, $w\ne 0$)³

$$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$$

5. $z$가 실수일 필요충분 조건

$$z\text{가 실수}⟺\overline{z}=z$$

켤레 복소수와 절댓값

어떤 복소수 $z=a+bi$에 대해, $z\overline{z}$는 항상 실수이고 $0$이상이다.

$$\begin{array}{rl}z\overline{z}& =(a+bi)(a-bi)\\ & =a^2-abi+abi-b^2{i}^2\\ & =a^2+b^2\end{array}$$

복소수의 절댓값 (Absolute Value)

복소수 $z=a+bi$의 절댓값(absolute value)또는 법(modulus)은 다음과 같이 정의된다.

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

$z$의 절댓값을 $|z|$라 표기한다. $z\overline{z}=|z{|}^2$임을 기억하자. 복소수와 켤레복소수이 곱이 실수임을 이용하면 복소수의 나눗셈을 쉽게할 수 있다. 복소수 $z=a+bi$, $w=c+di$에 대해 $w\ne 0$일 때, 복소수의 나눗셈은 다음과 같이 정의된다.

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$

복소수 절댓값의 성질

1. 곱셈에 대한 성질⁴

$$|zw|=|z|\cdot |w|$$

2. 나눗셈에 대한 성질 (단, $w\ne 0$)⁵

$$\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$$

3. 삼각 부등식 (Triangle Inequality)⁶

$$|z+w|\le |z|+|w|$$

4. 절댓값 차에 대한 부등식⁷

$$||z|-|w||\le |z+w|$$

복소수의 기하학적 표현 (Geometric Representation of Complex Numbers)

복소수는 대수적 표현뿐만 아니라 기하학적 표현도 가질 수 있다. 즉, 복소수 $z=a+bi$는 복소수 평면(complex plane)에서 한 점으로 표현할 수 있다.

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• 복소수의 실수부(real part)$a$는 실수 축(real axis)에서의 좌표이다.
• 복소수의 허수부(imaginary part)$b$는 허수 축(imaginary axis)에서의 좌표이다.
• 절댓값 $|z|$는 원점에서 해당 점까지의 벡터의 길이를 나타낸다.
• 복소수 덧셈은 평행사변형 법칙(parallelogram law)을 이용해 해석할 수 있다.

오일러 공식과 극형식 (Euler’s Formula and Polar Form)

복소수를 극좌표계에서 표현할 수도 있다. 특히, 오일러 공식(Euler’s formula)은 다음과 같이 주어진다.

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

이로 인해, 복소수 $z$를 다음과 같은 극형식으로 나타낼 수 있다.

$$z=|z|e^{i\varphi }$$

여기서 $\varphi$는 복소수 $z$가 양의 실수 축(positive real axis)과 이루는 각도이다.

복소수 곱셈의 기하학적 의미

두 복소수 $z$와 $w$를 극형식으로 표현하면,

$$z=|z|e^{i\theta },w=|w|e^{i\omega }$$

이제, 곱셈을 수행하면

$$zw=(|z|e^{i\theta })(|w|e^{i\omega })$$

곱셈 성질을 이용하여 정리하면,

$$zw=|z||w|e^{i(\theta +\omega )}$$

즉, 복소수의 곱셈은 길이의 곱과 각도의 합으로 해석된다.

• 길이(절댓값): $|zw|=|z||w|$.
• 각도(위상): $zw$는 $z$와 $w$의 각도를 더한 방향을 가진다.

이 기하학적 해석은 회전 변환(rotation transformation)을 설명하는 데 유용하며, 신호 처리, 양자 역학, 공학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

Footnotes

1. $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$이므로, $\overline{z+w}=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=\overline{z}+\overline{w}$ ↩

2. $zw=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i$이므로, $\overline{zw}=(ac-bd)-(ad+bc)i$이다. $\overline{z}\cdot \overline{w}=(a-bi)(c-di)=ac-bd-(ad+bc)i$이다. 따라서 $\overline{zw}=\overline{z}\cdot \overline{w}$ ↩

3. $\overline{\frac{1}{z}}=\frac{1}{\overline{z}}$임을 보이면 충분하다. $\overline{\frac{1}{z}}=\overline{\frac{1}{a+bi}}=\overline{\frac{a-bi}{a^2+b^2}}=\frac{a+bi}{a^2+b^2}$이고, $\frac{1}{\overline{z}}=\frac{1}{\overline{a+bi}}=\frac{1}{a-bi}=\frac{a+bi}{a^2+b^2}$이다. 따라서 $\overline{\frac{1}{z}}=\frac{1}{\overline{z}}$이다.(또는 $z\overline{z}=|z{|}^2$이므로, $\overline{\frac{1}{z}}=\overline{\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}}=\frac{z}{|z{|}^2}=\frac{1}{\overline{z}}$) 켤레 곱셈의 성질에 의해 $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$이다. ↩

4. $|zw{|}^2=(zw)(\overline{zw})=(zw)(\overline{z}\cdot \overline{w})=(z\overline{z})(w\overline{w})=|z{|}^2|w{|}^2$ 이므로, $|zw|=|z|\cdot |w|$이다. ↩

5. ${\left|\frac{z}{w}\right|}^2={\left|z{w}^{-1}\right|}^2=|z{|}^2|w^{-1}{|}^2$이므로, $\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$ ↩

6. 먼저 임의의 복소수 $x=a+bi$에 대해, $x+\overline{x}=(a+bi)+(a-bi)=2a\le 2\sqrt{a^2+b^2}=2|x|$이다. 이제 $x=w\overline{z}$로 두면, $w\overline{z}+\overline{w}z\le 2|w|\cdot |z|$이다. 따라서, $|z+w{|}^2=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=z\overline{z}+w\overline{z}+\overline{w}z+w\overline{w}\le |z{|}^2+2|z||w|+|w{|}^2=(|z|+|w|{)}^2$이므로, $|z+w|\le |z|+|w|$이다. ↩

7. $|z|=|(z+w)-w|\le |z+w|+|-w|=|z+w|+|w|$이므로, $|z|-|w|\le |z+w|$이다. ↩