좌표평면 위의 삼각형의 넓이

점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하면 좌표평면 위에서 세 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 세 점 $O(0,0)$, $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OAB$에서

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

직선 $AB$의 방정식은

$$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$

이므로

$$\begin{array}{rl}& (y_2-y_1)(x-x_1)=(y-y_1)(x_2-x_1)\\ \Rightarrow & (y_2-y_1)x-(x_2-x_1)y=x_1{y}_2-x_2{y}_1\end{array}$$

한편 원점 $O$에서 직선 $AB$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 삼각형 $OAB$의 높이, 즉 $OH$의 길이는 원점 $O$와 직선 $AB$ 사이의 거리이므로

$$OH=\frac{|x_1{y}_2-x_2{y}_1|}{\sqrt{(y_2-y_1{)}^2+(x_2-x_1{)}^2}}$$

따라서 삼각형 $OAB$의 넓이를 $S$라 하면 다음이 성립한다.

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OH=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$$

$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 절댓값이므로 뺄셈 순서는 상관없다.

위의 공식을 이용하여 원점 $O$와 두 점 $A(3,-4)$, $B(4,4)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OAB$의 넓이를 구해 보면

$$△OAB=\frac{1}{2}|3\cdot 4-(-4)\cdot 4|=\frac{1}{2}|12+16|=\frac{1}{2}\cdot 28=14$$

이고, 이는 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하여 구한 삼각형의 넓이와 서로 같음을 확인할 수 있다.

세 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$의 넓이는 한 꼭짓점이 원점이 되도록 삼각형을 평행이동한 후 공식을 적용하여 구할 수 있다.