점 대칭, 선 대칭

점에 대한 대칭이동

점 $P(x,y)$를 점 $A(a,b)$에 대하여 대칭이동한 점을 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$이라 하면 점 $A$에서 두 점 $P,P^{\prime }$에 이르는 거리가 서로 같으므로 점 $A$는 선분 $P{P}^{\prime }$의 중점이 된다.

$$a=\frac{x+x^{\prime }}{2},b=\frac{y+y^{\prime }}{2}$$

즉, $x^{\prime }=2a-x$, $y^{\prime }=2b-y$이므로 점 $P(x,y)$를 점 $A(a,b)$에 대하여 대칭이동한 점은 $P^{\prime }(2a-x,2b-y)$이다.

또 도형 $f(x,y)=0$ 위의 임의의 점 $P(x,y)$를 점 $A(a,b)$에 대하여 대칭이동한 점을 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$이라 하면

$$x^{\prime }=2a-x,y^{\prime }=2b-y$$

이것을 $f(x,y)=0$에 대입하면

$$f(2a-x,2b-y)=0$$

따라서 점 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$은 도형 $f(2a-x,2b-y)=0$ 위의 점이므로 도형 $f(x,y)=0$을 점 $A(a,b)$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f(2a-x,2b-y)=0$임을 알 수 있다.

1. 점 $(x,y)$를 점 $(a,b)$에 대하여 대칭이동하면

$$(x^{\prime },y^{\prime })=(2a-x,2b-y)$$

2. 도형 $f(x,y)=0$을 점 $(a,b)$에 대하여 대칭이동하면

$$f(x,y)=0\Rightarrow f(2a-x,2b-y)=0$$

점대칭이동은 선대칭이동과 동일하다. 즉, 점 $(a,b)$에 대한 대칭이동은 직선 $x=a$, $y=b$에 대한 대칭이동과 직선 $y=b$에 대한 대칭이동을 거듭한 것과 같다. 참고로 직선 $x=a$에 대한 대칭이동은 $(x,y)\to (2a-x,y)$, 직선 $y=b$에 대한 대칭이동은 $(x,y)\to (x,2b-y)$이다.

직선에 대한 대칭이동

점 $P(x,y)$를 직선 $l:ax+by+c=0$에 대하여 대칭이동한 점을 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$이라 하고, $P{P}^{\prime }$와 직선 $l$의 교점을 $M$이라 하면 직선 $l$은 $P{P}^{\prime }$의 수직이등분선이므로 $PM=P^{\prime }M$, $P{P}^{\prime }\perp l$이다. 즉 점 $P^{\prime }$의 좌표는 다음의 두 조건을 이용하여 구할 수 있다.

3. 중점 조건: $P{P}^{\prime }$의 중점 $\left(\frac{x+x^{\prime }}{2},\frac{y+y^{\prime }}{2}\right)$이 직선 $l$ 위의 점이다.

$$a\cdot \frac{x+x^{\prime }}{2}+b\cdot \frac{y+y^{\prime }}{2}+c=0$$

4. 수직 조건: 직선 $P{P}^{\prime }$과 직선 $l$은 서로 수직이다.

$$\frac{y^{\prime }-y}{x^{\prime }-x}\cdot \left(-\frac{a}{b}\right)=-1$$

직선에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구할 때에도 같은 방법을 이용한다. 즉 도형 $f(x,y)=0$ 위의 임의의 점 $P(x,y)$를 직선에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$으로 놓고, 위의 방법을 이용하면 된다.

일반적으로 기울기가 1 또는 -1인 직선에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 다음과 같다.

1. 직선 $y=x+a$에 대한 대칭이동은

$$f(x,y)=0\Rightarrow f(y-a,x+a)=0$$

2. 직선 $y=-x+a$에 대한 대칭이동은

$$f(x,y)=0\Rightarrow f(a-y,a-x)=0$$