이차함수의 최대, 최소

완전제곱식 또는 판별식을 이용한 이차함수의 최대, 최소

이차함수의 최대, 최소를 구하는 두 가지 방법을 알아보고, 이것을 이용하여 이차식 $f(x,y)$의 최대, 최소와 이차방정식 $f(x,y)=0$을 만족시키는 실수 $x$ 또는 $y$의 최대, 최소를 구하는 방법을 알아보자.

완전제곱식을 이용한 최대, 최소

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$의 최대, 최소는 함수를 $y=a(x-p{)}^2+q$ 꼴로 변형한 후, (실수) $\ge 0$임을 이용하여 구할 수 있다. 예를 들어 이차함수 $y=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-3$에서 $(x-2{)}^2\ge 0$이므로 $y$는 $x=2$에서 최소값 $-3$을 갖는다. 이와 같은 방법으로 실수 $x,y$에 대한 이차식 $f(x,y)$의 최댓값 또는 최소값은 다음과 같이 구할 수 있다.

$x,y$에 대한 이차식 $f(x,y)$가 $x,y$에 대한 완전제곱식을 포함한 꼴, 즉

$$f(x,y)=a(x-l{)}^2+b(y-m{)}^2+k(a,b,l,m,k\text{는 상수})$$

꼴로 변형되면 (실수) $\ge 0$임을 이용한다.

판별식을 이용한 최대, 최소

이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$의 식을 완전제곱식을 포함한 꼴로 변형하지 않고, $x,y$가 실수임을 이용하여 다음과 같이 최대, 최소를 구할 수도 있다. 예를 들어 $y=x^2-4x+1$을 $x=0$에 대하여 내림차순으로 정리하면

$$x^2-4x+1-y=0$$

이 식을 $x$에 대한 이차방정식으로 보면 $x$는 실수이므로 이차방정식이 실근을 가져야 한다. 즉, 판별식을 $D$라 할 때,

$$\frac{D}{4}=(-2{)}^2-(1-y)\ge 0\Rightarrow y\ge -3$$

따라서 $y$의 최솟값은 $-3$이다. 이때 $x$의 값은 $y=-3$을 $(x-3)$에 대입하여 구할 수 있다. 이와 같은 방법으로 이차방정식 $f(x,y)=0$을 만족시키는 실수 $y$의 최대, 최소는 다음과 같이 구할 수 있다.

$y$의 최댓값 또는 최솟값을 구할 때, $f(x,y)=0$을 $x$에 대한 이차방정식으로 정리되면 이 이차방정식이 실근을 가짐을 이용한다. 즉, (판별식) $\ge 0$임을 이용한다.

이차방정식 $f(x,y)=0$을 만족시키는 실수 $x$의 최대, 최소도 같은 방법으로 구할 수 있다.