이차 방정식의 판별식

이차방정식의 판별식

계수가 실수인 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 근은

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

이므로 근호 안의 식 $b^{2} - 4 a c$ 의 부호에 따라 주어진 방정식의 근이 실근인지 허근인지 결정된다. 이와 같이 $b^{2} - 4 a c$ 의 부호에 따라 이 이차방정식의 근을 판별할 수 있으므로

b^{2} - 4 a c

를 이차방정식의 판별식이라 하고, 이것을 기호 $D$ 로 나타낸다.

$D$ 는 판별식을 뜻하는 Discriminant의 첫 글자를 딴 것이다.

이차방정식의 근의 판별

계수가 실수인 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 에서 $D = b^{2} - 4 a c$ 라 하면 다음이 성립한다.

$D > 0 ⟺$ 서로 다른 두 실근을 갖는다.
$D = 0 ⟺$ 중근(서로 같은 두 실근)을 갖는다.
$D < 0 ⟺$ 서로 다른 두 허근을 갖는다.

$D \geq 0$ 이면 $D$ 는 실수이고, $D < 0$ 이면 $D$ 는 허수이다.

이차식이 완전제곱식이 되도록 하는 조건

이차식 $a x^{2} + b x + c$ 가 완전제곱식이 되도록 하는 조건을 알아보자. 이차식 $a x^{2} + b x + c$ 에서

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}

이므로 $a x^{2} + b x + c$ 가 완전제곱식이 되려면

- \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a} = 0

즉, $b^{2} - 4 a c = 0$ 이어야 한다.

거꾸로 이차식 $a x^{2} + b x + c$ 에서 $b^{2} - 4 a c = 0$ 이면

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a} = a (x + \frac{b}{2 a})^{2}

이므로 $a x^{2} + b x + c$ 는 완전제곱식이다.

이차식 $a x^{2} + b x + c$ 가 완전제곱식 $⟺$ 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 이 중근을 갖는다. $⟺$ $D = b^{2} - 4 a c = 0$

계수가 허수인 이차방정식의 근의 판별

판별식으로 이차방정식의 근을 판별하는 것은 계수가 모두 실수일 때에만 가능하다. 근의 공식을 이용하여 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 근을 구하면 다음과 같다.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 판별식 $D = b^{2} - 4 a c$ 에 대하여 $D > 0$ 이라 하자. (i) $a, b, c$ 가 모두 실수이면 $D$ 의 값이 실수가 되므로 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는다. (ii) $a, c$ 가 실수이고 $b$ 가 허수이면 $D$ 의 값이 허수가 된다. 즉, 이차방정식의 계수가 허수일 때에는 $D > 0$ 이지만 서로 다른 두 허근을 가질 수도 있다.

예를 들어 이차방정식 $x^{2} - 3 i x - 3 = 0$ ( $i = - 1$ )의 판별식을 $D^{'}$ 이라 하면

D^{'} = (- 3 i)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 9 - (- 12) = 3 > 0

그런데 근의 공식을 이용하면

x = \frac{- ( - 3 i ) \pm ( - 3 i ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1} = \frac{3 i \pm 3}{2}

즉, $D^{'} > 0$ 이지만 이차방정식 $x^{2} - 3 i x - 3 = 0$ 은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

한편 $D = 0$ 인 경우에는 계수가 허수일 때에도 이차방정식이 서로 같은 두 근을 갖는다. 그러나 그 근이 반드시 실근이라고 말할 수는 없다. 예를 들어 이차방정식 $x^{2} + 2 i x - 1 = 0$ 의 판별식을 $D^{''}$ 이라 하면

D^{''} = (2 i)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = - 4 + 4 = 0

그런데 근의 공식을 이용하면

x = \frac{- 2 i \pm 0}{2 \cdot 1} = - i

즉, $D^{''} = 0$ 이지만 이차방정식 $x^{2} + 2 i x - 1 = 0$ 은 서로 같은 두 허근을 갖는다.

이와 같이 계수가 허수인 이차방정식의 근은 판별식으로는 판별할 수 없다.

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