원의 접선의 방정식

기울기가 주어진 원의 접선의 방정식

원 $x^2+y^2=r^2$ ($r>0$)에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 다음과 같다. $y=mx\pm \frac{r}{\sqrt{1+m^2}}$

기울기가 $m$으로 정해져 있으므로 $y$절편만 주의하여 기억하면 된다.

판별식 이용

구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하고 원의 방정식 $x^2+y^2=r^2$에 대입하면

$$x^2+(mx+n{)}^2=r^2$$ $$(1+m^2)x^2+2mnx+n^2-r^2=0$$

이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 원과 직선이 접하므로

$$D=\frac{4(mn{)}^2-4(1+m^2)(n^2-r^2)}{4(1+m^2)}=0$$

따라서

$$n=\pm \frac{r}{\sqrt{1+m^2}}$$

원의 중심과 접선 사이의 거리 이용

구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$, 즉 $mx-y+n=0$이라 하면 원 $x^2+y^2=r^2$의 중심 $(0,0)$과 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 $r$와 같아야 하므로

$$\frac{|n|}{\sqrt{m^2+(-1{)}^2}}=r$$

따라서

$$n=\pm \frac{r}{\sqrt{1+m^2}}$$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$y=mx\pm \frac{r}{\sqrt{1+m^2}}$$

원 위의 점에서의 접선의 방정식

1. 원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은

$$x_{1}x+y_{1}y=r^2$$

2. 원 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은

$$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$

3. 원 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은

$$x_{1}x+y_{1}y+A\cdot \frac{x_1+x}{2}+B\cdot \frac{y_1+y}{2}+C=0$$

Remark

• $x^2\to x_{1}x,(x-a{)}^2\to (x_1-a)(x-a)$
• $y^2\to y_{1}y,(y-b{)}^2\to (y_1-b)(y-b)$
• $x\to \frac{x_1+x}{2}$
• $y\to \frac{y_1+y}{2}$

원 밖의 점에서 원에 그은 접선의 방정식

원 밖의 점 $(a,b)$에서 원에 그은 접선의 방정식을 구할 때에는 다음 세 가지 방법이 주로 쓰인다.

원 위의 점에서의 접선의 방정식 이용

접점을 $(x_1,y_1)$로 놓고, 원 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하는 방법을 이용한다.

원의 중심과 접선 사이의 거리 이용

접선의 기울기를 $m$이라 하고, 점 $(a,b)$를 지나는 접선의 방정식을 세운 후, 원의 중심과 접선 사이의 거리가 반지름의 길이와 같음을 이용한다.

판별식 이용

접선의 기울기를 $m$이라 하고, 점 $(a,b)$를 지나는 접선의 방정식을 세운 후, 원의 방정식과 접선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식 $D$가 $D=0$임을 이용한다.