이항정리(Binomial theorem)

이항정리

$(a + b)^{n}$ 의 전개식에서 각 항의 계수 $_{n} C_{0},_{n} C_{1}, \dots,_{n} C_{r}, \dots,_{n} C_{n}$ 을 이항계수라고 하며, 일반항은 다음과 같다.

_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}

$a^{0} = 1$ , $b^{0} = 1$ 로 정의한다. ( $a \neq = 0$ , $b \neq = 0$ )
$_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ ¹이므로, $(a + b)^{n}$ 의 전개식에서 $a^{n - r} b^{r}$ 의 계수와 $a^{r} b^{n - r}$ 의 계수는 같다.

여러가지 항등식

$(1 + x)^{n} =_{n} C_{0} +_{n} C_{1} x +_{n} C_{2} x^{2} + \dots +_{n} C_{n} x^{n}$ 를 정의할 수 있고, 이는 항등식이므로 $x$ 에 적당한 수를 대입하여 다양한 성질을 유도할 수 있다.

2^{n} 0 2^{n - 1} 2^{n - 1} 3^{n} =_{n} C_{0} +_{n} C_{1} +_{n} C_{2} + \dots +_{n} C_{n} =_{n} C_{0} -_{n} C_{1} +_{n} C_{2} - \dots + (- 1)^{n}_{n} C_{n} =_{n} C_{0} +_{n} C_{2} +_{n} C_{4} + \dots =_{n} C_{1} +_{n} C_{3} +_{n} C_{5} + \dots =_{n} C_{0} + 2 \cdot_{n} C_{1} + 2^{2} \cdot_{n} C_{2} + \dots + 2^{n} \cdot_{n} C_{n} (x = 1) (x = - 1) (x = 2)

파스칼 삼각형

파스칼 삼각형의 각 항은 조합으로 표현될 수 있으며, 이웃하는 항들의 관계를 나타내는 식은 다음과 같다.

2^{n - 1}_{n + 1} C_{r}_{n + k + 1} C_{k}_{n + k + 1} C_{n + 1}_{n - 1} C_{r} \cdot_{n} C_{r - 1} \cdot_{n + 1} C_{r + 1} =_{n} C_{0} +_{n} C_{1} +_{n} C_{2} + \dots +_{n} C_{\frac{n - 1}{2}} =_{n} C_{r - 1} +_{n} C_{r} =_{n} C_{0} +_{n + 1} C_{1} +_{n + 2} C_{2} + \dots +_{n + k} C_{k} =_{n} C_{n} +_{n + 1} C_{n} +_{n + 2} C_{n} + \dots +_{n + k} C_{n} =_{n - 1} C_{r - 1} \cdot_{n} C_{r + 1} \cdot_{n + 1} C_{r} (if n odd)

여러가지 항등식(고급)²

_{2 n} C_{n}_{n + m} C_{r} = (_{n} C_{0})^{2} + (_{n} C_{1})^{2} + (_{n} C_{2})^{2} + \dots + (_{n} C_{n})^{2} =_{n} C_{0} \cdot_{m} C_{r} +_{n} C_{1} \cdot_{m} C_{r - 1} + \dots +_{n} C_{r} \cdot_{m} C_{0}

k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n)^{2} = {(- 1)^{n /2} (n /2 n) 0 (if n even) (if n odd)

여러가지 항등식(심화)³

(- 4)^{n} 0 n \cdot 2^{n - 1} 0 n \cdot (n + 1) \cdot 2^{n - 2} \frac{2 ^{n + 1} - 1}{n + 1} (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{n} =_{4 n} C_{0} -_{4 n} C_{2} +_{4 n} C_{4} - \dots +_{4 n} C_{4 n} =_{4 n} C_{1} -_{4 n} C_{3} +_{4 n} C_{5} - \dots -_{4 n} C_{4 n - 1} = k = 0 \sum n k \cdot_{n} C_{k} = k = 0 \sum n (- 1)^{k} \cdot k \cdot_{n} C_{k} = k = 0 \sum n k^{2} \cdot_{n} C_{k} = k = 0 \sum n \frac{1}{k + 1} \cdot_{n} C_{k} = \sum \frac{n !}{p ! \cdot q ! \cdot r !} x_{1}^{p} x_{2}^{q} x_{3}^{r} (x = i) (x = i)

예제 1

$_{5} C_{0} +_{5} C_{1} +_{5} C_{2} +_{5} C_{3} +_{5} C_{4} +_{5} C_{5}$
$_{6} C_{1} -_{6} C_{2} +_{6} C_{3} -_{6} C_{4} +_{6} C_{5} -_{6} C_{6}$
$_{8} C_{1} +_{8} C_{3} +_{8} C_{5} +_{8} C_{7}$
$_{4} C_{0} + 2 \cdot_{4} C_{1} + 2^{2} \cdot_{4} C_{2} + 2^{3} \cdot_{4} C_{3} + 2^{4} \cdot_{4} C_{4}$
$_{3} C_{0} +_{4} C_{1} +_{5} C_{2} +_{6} C_{3} +_{7} C_{4}$
$_{4} C_{4} +_{5} C_{4} +_{6} C_{4} +_{7} C_{4} +_{8} C_{4}$

예제 2

$_{9} C_{0} +_{9} C_{1} +_{9} C_{2} +_{9} C_{3} +_{9} C_{4}$
$_{6} C_{0} +_{6} C_{1} +_{6} C_{2} +_{6} C_{3}$
$(_{3} C_{0})^{2} - (_{3} C_{1})^{2} + (_{3} C_{2})^{2} - (_{3} C_{3})^{2}$
$(_{3} C_{0})^{2} + (_{3} C_{1})^{2} + (_{3} C_{2})^{2} + (_{3} C_{3})^{2}$
$1 + x + x^{2} + \dots + x^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + \dots + a_{8} (x - 1)^{8}$ 일 때, $a_{4}$ 의 값은?⁴
$(2 + 3 x)^{20}$ 을 전개한 식에서 가장 큰 계수를 갖는 항의 차수는?⁵

예제 3

$_{20} C_{0} -_{20} C_{2} +_{20} C_{4} -_{20} C_{6} + \dots +_{20} C_{20}$
$_{20} C_{1} -_{20} C_{3} +_{20} C_{5} -_{20} C_{7} + \dots -_{20} C_{19}$
$_{5} C_{1} + 2 \cdot_{5} C_{2} + 3 \cdot_{5} C_{3} + 4 \cdot_{5} C_{4} + 5 \cdot_{5} C_{5}$
$(x + 2 y + 3 z)^{4}$ 의 전개식에서 $x y^{2} z$ 의 계수는?

$(1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{k}$ 에서, $x = \frac{1}{x}$ 로 바꾸면, $(1 + \frac{1}{x})^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) (\frac{1}{x})^{k}$ 이다. 양변에 $x^{n}$ 을 곱하면 $(1 + x)^{n} x^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{n - k}$ 이므로, 계수를 비교하면, $(k n) = (n - k n)$ 이다. ↩
$(1 + x)^{n} (1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{k} \cdot \sum_{m = 0}^{n} (m n) x^{m}$ 이므로, $x = 1$ 을 대입하면 $2^{2 n} = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{m = 0}^{n} (k n) (m n)$ 이다. $k = m$ 일 때, $(k n) (m n) = (k n)^{2}$ 이므로, $2^{2 n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n)^{2}$ 이다. 따라서, $\sum_{k = 0}^{n} (k n)^{2} = (n 2 n)$ 이다. ↩
$(1 + i)^{4} = (2 i)^{2} = - 4$ 이므로, $i$ 에 대입하여 다양한 항등식을 유도할 수 있다. $(1 + i)^{4 n} =_{4 n} C_{0} +_{4 n} C_{1} i +_{4 n} C_{2} i^{2} +_{4 n} C_{3} i^{3} + \dots +_{4 n} C_{4 n} i^{4 n}$ 이다. $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ 이므로, $(1 + i)^{4 n} =_{4 n} C_{0} +_{4 n} C_{1} i -_{4 n} C_{2} -_{4 n} C_{3} i +_{4 n} C_{4} +_{4 n} C_{5} i -_{4 n} C_{6} -_{4 n} C_{7} i +_{4 n} C_{8} + \dots$ 이다. 실수부와 허수부를 나누어 정리하면, $(- 4)^{n} = (_{4 n} C_{0} -_{4 n} C_{2} +_{4 n} C_{4} - \dots +_{4 n} C_{4 n}) + i (_{4 n} C_{1} -_{4 n} C_{3} +_{4 n} C_{5} - \dots -_{4 n} C_{4 n - 1})$ 이다. 따라서, $(- 4)^{n}$ 의 실수부와 허수부를 각각 구하면, 위의 항등식을 유도할 수 있다. ↩
$x - 1 = t$ 로 치환하면, $1 + (t + 1) + (t + 1)^{2} + (t + 1)^{3} + \dots + (t + 1)^{8} = a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2} + \dots + a_{8} t^{8}$ 이다. $a_{4}$ 의 계수는 $(t + 1)^{4}$ 부터 $(t + 1)^{8}$ 까지의 $t^{4}$ 의 계수의 합이므로, $_{4} C_{4} +_{5} C_{4} +_{6} C_{4} +_{7} C_{4} +_{8} C_{4} =_{9} C_{4} = 126$ 이다. ↩
이항정리를 이용해 전개하면 $(2 + 3 x)^{20} = \sum_{r = 0}^{20}_{20} C_{r} \cdot 2^{20 - r} \cdot (3 x)^{r}$ 이고, 여기서 $x^{r}$ 의 계수를 $a_{r}$ 이라 하면 $a_{r} =_{20} C_{r} \cdot 2^{20 - r} \cdot 3^{r}$ 이다. 최댓값을 갖는 $a_{r}$ 을 찾기 위해 $\frac{a _{r + 1}}{a _{r}} = \frac{_{20} C _{r + 1} \cdot 2 ^{20 - (r + 1)} \cdot 3 ^{r + 1}}{_{20} C _{r} \cdot 2 ^{20 - r} \cdot 3 ^{r}}$ 를 계산하면, $\frac{a _{r + 1}}{a _{r}} = \frac{_{20} C _{r + 1}}{_{20} C _{r}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3$ 이고, $\frac{_{20} C _{r + 1}}{_{20} C _{r}} = \frac{20 - r}{r + 1}$ 이므로 $\frac{a _{r + 1}}{a _{r}} = \frac{20 - r}{r + 1} \cdot \frac{3}{2}$ 이다. 이 비가 1보다 클 때는 증가, 1보다 작을 때는 감소하므로, 최댓값을 가지는 $r$ 은 $\frac{20 - r}{r + 1} \cdot \frac{3}{2} \leq 1$ 을 만족하는 최소의 정수이다. 양변에 $2 (r + 1)$ 을 곱하면 $(20 - r) \cdot 3 \leq 2 (r + 1)$ , 즉 $r \geq \frac{58}{5} = 11.6$ 이므로, 정수 중 최소는 $r = 12$ 이고, 이때 $a_{r}$ 이 최대이다. ↩

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