약수(divisor)와 배수(multiple)

정수 $a (\neq = 0)$ , $b \in Z$ 에 대해, 어떤 정수 $c$ 가 존재하여

b = a c

이면, “ $b$ 는 $a$ 로 나누어진다” 라고 말하며, $a$ 를 $b$ 의 약수(divisor) 라고 한다.
또한, $b$ 를 $a$ 의 배수(multiple) 라고 한다.

만약 $b = a c$ 를 만족하는 $c$ 가 없을 때, ” $a$ 는 $b$ 를 나누지 못한다” 라고 하며, $a \neq ∣ b$ 로 표시한다.

약수와 배수의 성질

임의의 $a, b, c, x, y \in Z$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$a ∣ 0$ ¹
$1 ∣ a$ ²
$a ∣ a$ ³
$a ∣ 1 \Rightarrow a = \pm 1$ ⁴
$a ∣ b$ , $c ∣ d \Rightarrow a c ∣ b d$ ⁵
$a ∣ b$ , $b ∣ c \Rightarrow a ∣ c$ ⁶
$a ∣ b$ , $b ∣ a \Rightarrow a = \pm b$ ⁷
$a ∣ b$ , $b \neq = 0 \Rightarrow ∣ a ∣ \leq ∣ b ∣$ ⁸
$a ∣ b$ , $a ∣ c \Rightarrow a ∣ (b x + cy)$ ⁹

배수 판정법

정수의 배수들이 갖는 특징을 이용하여 배수를 판정할 수 있다.

Note

$2$ , $5$ 의 배수 : 일의 자리 수가 $0$ 이거나 $2$ , $5$ 의 배수인 수

$3$ , $9$ 의 배수 : 각 자리수의 합이 $3$ , $9$ 의 배수인 수

$4$ 의 배수 : 끝 두 자리 수가 $00$ 이거나 $4$ 의 배수인 수

$6$ 의 배수 : $2$ 와 $3$ 의 배수인 수

$7$ 의 배수 : 일의 자리 수에 $5$ 를 곱한 후, 앞의 숫자들과 더해서 $7$ 의 배수인 수

$8$ 의 배수 : 끝 세 자리 수가 $000$ 이거나 $8$ 의 배수인 수

$11$ 의 배수 : 홀수 자리에 있는 숫자의 합과 짝수 자리에 있는 숫자의 합의 차가 $11$ 의 배수인 수

합동식의 성질을 이용하여 위의 성질을 증명할 수 있다. 자연수 $a = a_{n} 1 0^{n} + a_{n - 1} 1 0^{n - 1} + \dots + a_{1} 10 + a_{0}$ ( $0 \leq a_{i} \leq 9$ , $i = 0, 1, 2, \dots, n$ , $a_{n} \neq = 0$ )에 대하여,

$2$ , $5$ 의 배수

10 \equiv 0 (mod 2), 10 \equiv 0 (mod 5)

이므로 모든 자연수 $k$ 에 대하여

1 0^{k} \equiv 0 (mod 2), 1 0^{k} \equiv 0 (mod 5)

이다.

a = a_{n} \cdot 1 0^{n} + \dots + a_{1} \cdot 10 + a_{0} \equiv a_{n} \cdot 0 + \dots + a_{1} \cdot 0 + a_{0} \equiv a_{0} (mod 2), (mod 5)

그러므로 $a$ 를 $2$ 로 나누었을 때의 나머지는 $a$ 의 끝자리수 $a_{0}$ 를 $2$ 로 나누었을 때와 같다.

$3$ , $9$ 의 배수

10 \equiv 1 (mod 3), 10 \equiv 1 (mod 9)

이므로 모든 자연수 $k$ 에 대하여

1 0^{k} \equiv 1 (mod 3), 1 0^{k} \equiv 1 (mod 9)

이다.

a = a_{n} \cdot 1 0^{n} + \dots + a_{1} \cdot 10 + a_{0} \equiv a_{n} \cdot 1 + \dots + a_{1} \cdot 1 + a_{0} = a_{n} + \dots + a_{1} + a_{0} (mod 3), (mod 9)

그러므로 $a$ 를 $3$ 으로 나누었을 때의 나머지와 각 자리수를 더해서 $3$ 으로 나누었을 때의 나머지는 같다.

$7$ 의 배수

10 \equiv 3 (mod 7), 15 \equiv 1 (mod 7)

이므로

\equiv \equiv 10 (a_{n} \cdot 1 0^{n - 1} + \dots + a_{1}) + a_{0} 3 (a_{n} \cdot 1 0^{n - 1} + \dots + a_{1}) + a_{0} (mod 7) (a_{n} \cdot 1 0^{n - 1} + \dots + a_{1}) + 5 a_{0} (mod 7)

그러므로 $a$ 를 $7$ 로 나누었을 때의 나머지는 $a$ 의 일의 자리수에 $5$ 를 곱한 후, 나머지 자리수들과 더한 것을 $7$ 로 나누었을 때의 나머지와 같다.

$11$ 의 배수

10 \equiv - 1 (mod 11)

이므로 자연수 $k$ 에 대하여

1 0^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 11)

이다.

a = a_{n} \cdot 1 0^{n} + \dots + a_{2} \cdot 1 0^{2} + a_{1} \cdot 10 + a_{0} \equiv a_{n} \cdot (- 1)^{n} + \dots + a_{2} \cdot (- 1)^{2} + a_{1} \cdot (- 1) + a_{0} (mod 11) \equiv a_{n} (- 1)^{n} + \dots + a_{1} (- 1) + a_{0} (mod 11) = (a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots) - (a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots) (mod 11)

그러므로 홀수자리수의 합에서 짝수자리수의 합을 뺀 것을 $11$ 로 나누었을 때의 나머지와 같다.

$1001$ 의 배수

1 0^{3} \equiv - 1 (mod 7), (mod 11), (mod 13)

이므로

a = A_{0} + A_{1} \cdot 1 0^{3} + A_{2} \cdot 1 0^{6} + \dots \equiv A_{0} - A_{1} + A_{2} - \dots (mod 7), (mod 11), (mod 13)

일의 자리에서 부터 세 자리마다 교차하여 더하고 뺀 것을 $7$ , $11$ , $13$ 으로 나누었을 때의 나머지와 같다.

예제

위의 정리를 증명하여라.
$a$ 가 정수일 때, $0 ∣ a$ 이면 $a = 0$ 임을 증명하여라. ¹⁰
$a, b, c$ 가 모두 $0$ 이 아닌 정수일 때, $a c ∣ b c$ 이면 $a ∣ b$ 임을 증명하라. ¹¹
$a ∣ b$ 이면 $a c ∣ b c$ 임을 증명하여라. ¹²
$7, 574$ 은 $7$ 의 배수인가? ¹³
$2, 405, 013$ 은 $13$ 의 배수인가? ¹⁴
다섯 자리의 자연수 $a 7 b c d$ 가 $225$ 의 배수가 되는 가장 큰 수를 구하여라. ¹⁵
$832$ 의 뒤에 세 자리의 수를 붙여서 여섯 자리의 수를 만들려고 한다. 이 수가 $3$ , $4$ , $5$ 로 나누어 떨어지는 최소의 자연수가 되도록 하고 싶다. 이 여섯 자리의 수를 구하여라. ¹⁶
임의의 다섯자리의 자연수를 적고, 이 숫자의 배열만 바꾼 후 두 수의 차이를 구하면 항상 $9$ 의 배수임을 증명하여라. 이 성질은 임의의 $n$ 자리 자연수에 대해서도 성립하는가? ¹⁷

$a \times 0 = 0$ 이므로 $a ∣ 0$ 이다. ↩
$a \times 1 = a$ 이므로 $1 ∣ a$ 이다. ↩
$a \times 1 = a$ 이므로 $a ∣ a$ 이다. ↩
어떤 정수 $k$ 에 대해 $1 = a \cdot k$ 라고 하자. $a$ 와 $k$ 는 정수이므로, 가능한 값은 $(a, k) = (1, 1)$ 또는 $(- 1, - 1)$ 뿐이다. 따라서, $a = \pm 1$ 이다. ↩
어떤 정수 $k, m$ 에 대해 $b = ak$ , $d = c m$ 이라고 하자. 그러면, $b d = (ak) (c m) = a c (km)$ 이므로, $a c ∣ b d$ 이 성립한다. ↩
어떤 정수 $k$ 에 대해 $b = ak$ 이고, $c = b l$ 이라고 하자. 그러면, $c = b l = ak l$ 이므로, $a ∣ c$ 이 성립한다. ↩
어떤 정수 $k, m$ 에 대해 $b = ak$ , $a = bm$ 이라고 하자. 그러면, $a = bm = akm$ 이므로, $1 = km$ 이 되어 $k = m = 1$ 또는 $k = m = - 1$ 이다. 따라서, $a = \pm b$ 이 성립한다. ↩
어떤 정수 $k$ 에 대해 $b = ak$ 이고, $b \neq = 0$ 이라고 하자. 그러면, $∣ a ∣∣ k ∣ = ∣ b ∣$ 이다. $k \neq = 0$ 이므로 $∣ k ∣ \geq 1$ 이고 따라서 $∣ a ∣ \leq ∣ b ∣$ 이 성립한다. ↩
어떤 정수 $k, m$ 에 대해 $b = ak$ , $c = am$ 이라고 하자. 그러면, $b x + cy = a (k x + m y)$ 이므로, $a ∣ (b x + cy)$ 이 성립한다. ↩
$0 = a \cdot k$ 이므로 $a = 0$ 이다. ↩
$a c ∣ b c$ 라면, $b c = ka c$ 을 만족하는 어떤 정수 $k$ 가 존재한다. $c \neq = 0$ 이므로, 양변을 $c$ 로 나누면 $b = ka$ 가 성립한다. 따라서, $b$ 는 $a$ 의 배수가 된다. ↩
$a ∣ b$ 라면, $b = ka$ 를 만족하는 어떤 정수 $k$ 가 존재한다. 양변에 $c \neq = 0$ 를 곱하면 $b c = ka c$ 이므로, $a c ∣ b c$ 이다. ↩
$757 + 4 \times 5 = 777$ 이고, $777$ 은 $7$ 의 배수이다. 따라서, $7, 574$ 는 $7$ 의 배수이다. ↩
$013 - 405 + 2 = - 390$ 이고, $- 390$ 은 $13$ 의 배수이다. 따라서, $2, 405, 013$ 은 $13$ 의 배수이다. ↩
$225 ∣ a 7 b c d$ 이기 위해서는 $25 ∣ a 7 b c d$ 이고, $9 ∣ a 7 b c d$ 이어야 한다. $25 ∣ a 7 b c d$ 이려면, $c d$ 가 $25$ 의 배수이어야 하는데, 가장 큰 값은 $75$ 이므로 $c = 7$ , $d = 5$ 이다. $9 ∣ a 7 b c d$ 이기 위해서는 $9 ∣ (a + 7 + b + c + d)$ 이다. 여기에서 $2 \leq a + b \leq 18$ 이므로, $a + b + 19 = 27$ 이거나 $a + b + 19 = 36$ 이다. 따라서 최대의 값은 $a + b + 19 = 36$ , 즉 $a + b = 17$ 을 만족하는 $a = 9$ , $b = 8$ 이다. 따라서, 가장 큰 수는 $97875$ 이다. ↩
$4$ , $5$ 의 배수가 되는 최소의 끝자리 수는 $00$ 이다. 그러므로 구하고자 하는 수는 $832 a 00$ 의 형태이다. 이 수가 $3$ 의 배수가 되기 위해서는 $8 + 3 + 2 + a + 0 + 0 = 13 + a \equiv 0 (mod 3)$ 이므로 $a = 2$ 이다. 따라서 구하고자 하는 수는 $832200$ 이다. ↩
임의의 $n$ 자리 수 $a$ 를 $10$ 진법의 전개식으로 표현하면 $a_{n} \cdot 1 0^{n} + a_{n - 1} \cdot 1 0^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ 이다. 이것을 배열을 바꾼 수와의 차이를 구하면 모든 항이 $a_{j} \cdot 1 0^{i} - a_{j} \cdot 1 0^{k} \Rightarrow a_{j} \cdot (1 0^{i} - 1 0^{k})$ 꼴인데, 이 값은 항상 $1 0^{i} - 1 0^{k} = 1 0^{k} (1 0^{i - k} - 1) \equiv 0 (mod 9)$ 이므로, $9$ 의 배수이다. 따라서, 임의의 $n$ 자리 수에 대해서도 성립한다. ↩

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