편미분

편미분

1. $y$에 대하여 미분한다.($x$를 상수 취급)
2. $y$에 $0$을 대입한다.(문제에 따라 다른 수를 대입)

미분의 정의

$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$에 대하여 $x,y$에 각각 $0$을 대입하면, $f(0)=2f(0)$이므로, $f(0)=0$이다. $f(x)$를 이항한 후, $y$로 양변을 나누면 식 (1)과 같다. 이후 양변에 극한 $(y\to 0)$을 취하면, $f^{\prime }(x)$의 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{f(y)}{y}+2x\\ & \\ \Rightarrow & \underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(y)-f(0)}{y-0}+2x\\ & \\ \Rightarrow & f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)+2x\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

편미분

1. $y$에 대하여 미분한다.

$$f^{\prime }(x+y)=f^{\prime }(y)+2x$$

2. $y$에 $0$을 대입한다.

$$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)+2x$$

함수의 성질

$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy$을 만족하므로, $f(x)$를 이차함수라 추측하는 것도 좋은 방법이다.

다양한 함수의 성질

• $f(x)=ax:f(x+y)=f(x)+f(y)$
• $f(x)=a^x:f(x+y)=f(x)f(y)$
• $f(x)=\log x:f(xy)=f(x)+f(y)$
• $f(x)=\sin x:f(x+y)=f(x)f^{\prime }(y)+f^{\prime }(x)f(y)$
• $f(x)=\cos x:f(x+y)=f(x)f(y)-f^{\prime }(x)f^{\prime }(y)$

예제

1. 미분 가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(x+y)=f(x)f(y)+4f(x)+4f(y)+12$을 만족하고, $f(2)=0$, $f^{\prime }(0)=3$일 때, $f^{\prime }(2)$의 값은?¹

2. 미분 가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1$을 만족하고 ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)-f^{\prime }(x)}{x^2-1}=9$일 때, $f^{\prime }(0)$의 값은?²

3. 모든 실수 $x,y$에 대하여 다항함수 $f(x+y)=f(x)+f(y)+(x+y)xy$를 만족시킬 때, ${\sum }_{k=1}^{10}(f^{\prime }(k)-f^{\prime }(0))$의 값을 구하시오.³

4. 모든 실수 $x,y$에 대하여 미분 가능한 함수 $f(x)$가 $f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)-3$을 만족하고 $f^{\prime }(1)=2$일 때, $f(3)$의 값은?⁴

5. 미분 가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(x-y)=f(x)-f(y)+xy(x-y)$를 만족하고 $f^{\prime }(0)=8$, $f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)=0$일 때, $a^2+b^2$의 값은?⁵

6. 두 다항함수 $f(x),g(x)$가 일의의 실수 $x,y$에 대하여 $x\{f(x+y)-f(x-y)\}=4y\{(f(x)+g(y)\}$을 만족시킨다. $f(1)=4$, $g(0)=1$일 때, $f^{\prime }(2)$의 값은?⁶

Footnotes

1. $f(x+y)=f(x)f(y)+4f(x)+4f(y)+12$ 를 $y$로 미분하면 $f^{\prime }(x+y)=f(x)f^{\prime }(y)+4f^{\prime }(y)$ 이다. 여기에 $y=0$을 넣으면 $f^{\prime }(x)=f(x)f^{\prime }(0)+4f^{\prime }(0)$ 이고, 조건 $f(2)=0$, $f^{\prime }(0)=3$을 대입하면 $f^{\prime }(2)=0\cdot 3+4\cdot 3=12$ 이다. ↩

2. $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1$ 에 $x=y=0$을 넣어 $f(0)=1$을 얻는다. $y$로 미분하면 $f^{\prime }(x+y)=f^{\prime }(y)+2x$, 그리고 $y=0$을 넣으면 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)+2x$ 이다. 이를 적분하면 $f(x)=x^2+f^{\prime }(0)x+1$ 이고, 극한식을 정리하면 $\frac{f(x)-f^{\prime }(x)}{x^2-1}=\frac{x+f^{\prime }(0)-1}{x+1}$ 이다. $x\to 1$ 극한은 $f^{\prime }(0)/2$ 이므로 $f^{\prime }(0)/2=9$, 따라서 $f^{\prime }(0)=18$ 이다. ↩

3. $f(x+y)=f(x)+f(y)+(x+y)xy$ 에 $x=y=0$을 넣어 $f(0)=0$을 얻는다. $y$로 미분하면 $f^{\prime }(x+y)=f^{\prime }(y)+x^2+2xy$, $y=0$을 넣으면 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)+x^2$ 이다. 따라서 ${\sum }_{k=1}^{10}(f^{\prime }(k)-f^{\prime }(0))={\sum }_{k=1}^{10}{k}^2=385$ 이다. ↩

4. $f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)-3$ 에서 $x=y=0$이면 $f(0)=3$이다. $y$로 미분하면 $f^{\prime }(x+y)=f^{\prime }(y)+x^2+2xy$, $y=0$이면 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)+x^2$ 이다. 조건 $f^{\prime }(1)=2$를 넣어 $f^{\prime }(0)=1$을 얻고, 적분하면 $f(x)=\frac{x^3}{3}+x+3$ 이므로 $f(3)=15$ 이다. ↩

5. $f(x-y)=f(x)-f(y)+xy(x-y)$ 에 $x=y$를 넣어 $f(0)=0$을 얻는다. $y$로 미분하면 $-f^{\prime }(x-y)=-f^{\prime }(y)+x^2-2xy$, 부호를 바꿔 $f^{\prime }(x-y)=f^{\prime }(y)-x^2+2xy$. $x=y$를 넣으면 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(x)+x^2$, 따라서 $f^{\prime }(x)=8-x^2$ 이다. $f^{\prime }(a)=0$, $f^{\prime }(b)=0$이므로 $a^2=b^2=8$, 따라서 $a^2+b^2=16$ 이다. ↩

6. $x(f(x+y)-f(x-y))=4y(f(x)+g(y))$ 에 $x=0$을 넣으면 $f(0)+g(y)=0$이고, $g(0)=1$이므로 $f(0)=-1$, $g(y)\equiv 1$ 이다. 이를 대입하면 $x(f(x+y)-f(x-y))=4y(f(x)+1)$ 이 된다. $f$를 $A{t}^2+Bt-1$이라 두고 전개하면 왼쪽은 $4A{x}^{2}y+2Bxy$, 오른쪽은 $4A{x}^{2}y+4Bxy$이므로 $2B=4B$에서 $B=0$, 그리고 $f(1)=4$로 $A=5$가 된다. 따라서 $f^{\prime }(x)=10x$, $f^{\prime }(2)=20$ 이다. ↩