연속 함수(Continuous)

연속의 정의

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$$

함수 $f(x)$가 실수 $a$에 대하여 $x=a$에서 의 좌극한, 우극한, 함숫값이 같으면 연속이라 한다. 연속은 '함수가 이어져있음'을 의미하지 않는다는 점을 유의하자.

연속의 성질

연속함수 $f(x),g(x)$에 대하여,

1. $f(x)\pm g(x)$도 연속이다.
2. $f(x)\times g(x)$도 연속이다.
3. $\frac{f(x)}{g(x)}$도 연속이다. (단, $g(x)\ne 0$)
4. 역함수가 존재한다면, $f^{-1}(x)$도 연속이다.
5. 함수가 잘 정의된다면, $f(g(x)),g(f(x))$도 연속이다.
6. ${\lim }_{x\to a}f(x)=f({\lim }_{x\to a}x)=f(a)$

연속 함수가 갖는 가장 큰 의미는 극한과 함수가 서로 교환될 수 있다는 점이다.

연속 함수$f(x)$와 불연속 함수 $g(x)$의 연산

1. $f(x)g(x)$는 $x=0$에서 연속인가?

$$\begin{array}{cccc}& f(x)& g(x)& f(x)g(x)\\ x=0^{+}& 0& 1^{-}& 0\\ x=0^{-}& 0& -1^{+}& 0\\ x=0& 0& 0& 0\end{array}$$

$g(x)$는 $x=0$에서 불연속이므로 좌극한, 우극한, 함숫값이 서로 다르다. 반면에 $f(x)$는 연속이므로 $x=0$에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 같다. 이 두 함수을 곱해서 같은 좌극한, 우극한, 함숫값이 같기위해서는 $f(0)=0$이어야만 한다.

2. $f(g(x))$는 $x=0$에서 연속인가?

$$\begin{array}{ccc}& g(x)& f(g(x))\\ x=0^{+}& 1^{-}& 0\\ x=0^{-}& -1^{+}& 0\\ x=0& 0& 0\end{array}$$

$f(x)$는 연속이므로 연속 함수의 성질에 의해 ${\lim }_{x\to a}f(x)=f({\lim }_{x\to a}g(x))$이다. 따라서 $f(g(a+))=f(g(a-))=f(g(a))$이면 $x=a$에서 $f(g(x))$가 연속이다. 쉽게 설명하면 $g(x)$그래프에서 불연속일 때의 $y$값들에 대해 $f(y)$의 값이 모두 같으면 연속이다.

3. $g(f(x))$는 $x=0$에서 연속인가?

$$\begin{array}{ccc}& f(x)& g(f(x))\\ x=0+& 0& 0\\ x=0-& 0& 0\\ x=0& 0& 0\end{array}$$

이 경우에는 정석으로 찾는 방법이 간단하긴 하지만 되도록 합성함수의 그래프를 그려서 전체적으로 판단하는 것이 좋다. 예를 들어 $f(x)$의 치역은 $1$에서 $0$을 지나 다시 $1$로 이동한다. 이를 $g(x)$에 정의역에 넣어 보면 $x=1$에서 $x=0$으로 갈 때는 연속이지만 $x=0$인 순간 불연속이 된다. 같은 방법으로 $x=0$에서 $x=1$로 이동할 때 다시 불연속이므로 $g(f(x))$의 불연속점이 $2$개라는 것을 직관적으로 찾아낼 수 있어야 한다.

연속함수와 불연속함수의 연산

1. $g(x)$가 불연속인 점에서 $f(x)$의 함숫값이 $0$이면 $f(x)g(x)$는 연속이다.
2. $f(g(a+))=f(g(a-))=f(g(a))$이면 $f(g(x))$는 연속이다.
3. $f(x)$의 함숫값이 $g(x)$의 불연속인 정의역 값을 지나지 않으면 $g(f(x))$는 연속이다.

4. 발산하는 불연속 함수와의 곱셈${}^{†}$

함수 $g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^2-1}& (x\ne \pm 1)\\ 2& (x=\pm 1)\end{array}$ 에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 모든 실수에서 연속이게 하는 다항함수 $f(x)$의 조건을 구해보자.

이 문제는 곱함수의 연속성을 묻는 질문이므로 앞서 본 것과 같이 $g(x)$가 불연속인 $x$값에 대하여 $f(x)=0$이어야 한다. 그런데 앞선 경우에는 $g(x)$의 극한값이 존재했지만, 이번 경우에는 발산하므로 $f(x)=0$인 조건으로는 부족하다. 예를들어 $f(x)=x^2-1$로 둔다면, $f(x)g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (x\ne \pm 1)\\ 2(x^2-1)& (x=\pm 1)\end{array}$이다. 이 함수는 $x=1$에서 극한값은 $1$이지만 함숫값은 $0$이므로 불연속이다. 따라서 극한값도 $0$으로 수렴하게 만들기 위해서는 $g(x)$가 $x=1$에서 무한대로 발산하는 속도보다 더 빠른 속도로 $0$으로 수렴해야 한다. 이를 정리하면 $f(x)=(x-1{)}^n(x+1{)}^{m}Q(x),$ $(n,m>1)$이다.

예제

1. $f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (x\in \mathbb{Q})\\ 0& (x\in {\mathbb{Q}}^c)\end{array}$는 $x=0$에서 연속인가?

2. $f(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin (\frac{1}{x})& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}$는 $x=0$에서 연속인가? 나아가 미분가능한가?

1. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $y=f(x)$의 그래프는 그림과 같다. 삼차함수 $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$이고, $g(0)=3$이다. 합성함수 $(g\circ f)(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $g(3)$의 값은?

2. 함수 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x-1& (x<1)\\ 1& (x=1)\\ -x^2+2x+1& (x>1)\end{array}$에 대하여, $y=f(f(x))$의 불연속점의 개수는?