수열의 귀납적 정의(Recursive Definition of a Sequence)

수열의 귀납적 정의

수열을 정의하는 방법에는 일반항 $a_{n}$ 을 직접 식으로 나타내는 방법 외에, 처음 몇 개의 항과 이웃하는 항들 사이의 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있습니다. 이러한 방법을 수열의 귀납적 정의라고 합니다.

수열 ${a_{n}}$ 을 귀납적으로 정의하기 위해서는 다음 두 가지 조건이 반드시 필요합니다.

첫째항 $a_{1}$ 의 값 (또는 경우에 따라 처음 몇 개의 항)

이웃하는 두 항 $a_{n}$ 과 $a_{n + 1}$ 사이의 관계식

이 두 조건이 주어지면, 점화식에 $n = 1, 2, 3, \dots$ 을 차례로 대입하여 수열의 모든 항을 순서대로 알아낼 수 있습니다.

귀납적 정의로부터 일반항 찾기

귀납적 정의 자체로는 수열의 항들을 직접적으로 찾을 수 있지만, 때로는 이 정의를 통해 일반항을 찾는 것이 유용할 수 있습니다.

등차수열

a_{n + 1} - a_{n} = d ⟺ a_{n + 1} = a_{n} + d ⟺ a_{n + 1} - a_{n} = a_{n + 2} - a_{n + 1} ⟺ 2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} ⟺ a_{n + 1} = \frac{a _{n} + a _{n + 2}}{2}

만약 수열이 $a_{n + 1} = a_{n} + d$ 라는 규칙을 따른다고 합시다. 이 규칙은 다음 항은 바로 전 항에 항상 $d$ 를 더해서 얻는다는 의미입니다. 일반항 $a_{n}$ 을 찾기 위해 $n$ 에 $1, 2, 3, \dots$ 을 차례로 넣어 어떤 패턴이 나타나는지 살펴보겠습니다.

a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} = a_{1} + d = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d = a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d = a_{4} + d = (a_{1} + 3 d) + d = a_{1} + 4 d

$a_{n}$ 을 구할 때, $a_{1}$ 에 $d$ 를 $(n - 1)$ 번 더하게 됩니다. 이 과정을 통해 우리는 다음과 같은 일반항을 직접 유도할 수 있습니다.

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

등비수열

a_{n + 1} = r a_{n} ⟺ \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = r ⟺ \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{a _{n + 2}}{a _{n + 1}} ⟺ a_{n + 1}^{2} = a_{n} \cdot a_{n + 2} ⟺ a_{n + 1} = \pm a_{n} \cdot a_{n + 2}

수열이 $a_{n + 1} = a_{n} \cdot r$ 이라는 규칙을 따른다고 합시다. 다음 항이 이전 항에 $r$ 을 곱해서 만들어진다는 의미입니다. 위와 같이 $n$ 에 숫자를 차례로 넣어보겠습니다.

a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} = a_{1} \cdot r = a_{2} \cdot r = (a_{1} \cdot r) \cdot r = a_{1} \cdot r^{2} = a_{3} \cdot r = (a_{1} \cdot r^{2}) \cdot r = a_{1} \cdot r^{3} = a_{4} \cdot r = (a_{1} \cdot r^{3}) \cdot r = a_{1} \cdot r^{4}

$a_{n}$ 을 구할 때, $a_{1}$ 에 공비 $r$ 을 $(n - 1)$ 번 곱하게 됩니다. 따라서 일반항은 다음과 같이 유도됩니다.

a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}

조화수열

\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = d ⟺ \frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} + d ⟺ \frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n + 2}} - \frac{1}{a _{n + 1}} ⟺ \frac{2}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} + \frac{1}{a _{n + 2}} ⟺ a_{n + 1} = \frac{2 a _{n} a _{n + 2}}{a _{n} + a _{n + 2}}

조화수열은 수열의 역수가 등차수열인 경우를 말합니다. 새로운 수열 ${b_{n}}$ 을 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ 이라고 정의해 봅시다. 즉, 원래 수열의 모든 항을 역수로 바꾼 것입니다.

b_{n + 1} - b_{n} = d

수열 ${b_{n}}$ 은 공차가 $d$ 인 등차수열입니다. ${b_{n}}$ 의 첫째항은 $b_{1} = \frac{1}{a _{1}}$ 이므로, ${b_{n}}$ 의 일반항은 다음과 같습니다.

b_{n} = b_{1} + (n - 1) d = \frac{1}{a _{1}} + (n - 1) d

우리가 진짜 원하는 것은 $a_{n}$ 이므로, 위에서 구한 $b_{n}$ 을 다시 뒤집어 주면 됩니다.

a_{n} = \frac{1}{b _{n}} = \frac{1}{\frac{1}{a _{1}} + ( n - 1 ) d}

$a_{n + 1} = a_{n} + f (n)$ 꼴로 정의된 수열

수열이 $a_{n + 1} = a_{n} + f (n)$ 이라는 규칙을 따르는 경우(a.k.a. 계차수열)를 생각해 봅시다. 이 규칙은 다음 항이 이전 항에 일정한 수가 아닌, 항의 번호 $n$ 에 따라 변하는 값 $f (n)$ 을 더해서 만들어진다는 의미입니다. 이 수열의 일반항을 구하기 위해, 등차수열에서 했던 것과 비슷한 방법을 사용해 보겠습니다.

규칙을 나타내는 식의 $n$ 자리에 $1, 2, 3, \dots, n - 1$ 을 차례대로 대입하여 아래와 같이 나열합니다.

a_{2} a_{3} a_{4} a_{n} = a_{1} + f (1) = a_{2} + f (2) = a_{3} + f (3) ⋮ = a_{n - 1} + f (n - 1)

위 식을 변끼리 더하면, 좌변과 우변에 공통으로 있는 항들( $a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n - 1}$ )이 양쪽에서 똑같이 소거됩니다.

a_{2} a_{3} a_{4} + a_{n} a_{n} = a_{1} + f (1) = a_{2} + f (2) = a_{3} + f (3) ⋮ = a_{n - 1} + f (n - 1) = a_{1} + f (1) + f (2) + \dots + f (n - 1)

그러면 좌변에는 $a_{n}$ 만 남고, 우변에는 $a_{1}$ 과 $f (n)$ 들의 합만 남게 됩니다. 따라서 일반항은 다음과 같이 유도됩니다.

a_{n} = a_{1} + f (1) + f (2) + \dots + f (n - 1) = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 f (k) (단, n \geq 2)

$a_{n + 1} = a_{n} f (n)$ 꼴로 정의된 수열

수열이 $a_{n + 1} = a_{n} f (n)$ 이라는 규칙을 따르는(a.k.a. 계비수열) 경우를 생각해 봅시다. 이 규칙은 다음 항이 이전 항에 일정한 수가 아닌, 항의 번호 $n$ 에 따라 변하는 값 $f (n)$ 을 곱해서 만들어진다는 의미입니다. 이 수열의 일반항을 구하기 위해, 등비수열에서 했던 것과 비슷한 방법을 사용해 보겠습니다.

규칙을 나타내는 식의 $n$ 자리에 $1, 2, 3, \dots, n - 1$ 을 차례대로 대입하여 아래와 같이 나열합니다.

a_{2} a_{3} a_{4} a_{n} = a_{1} f (1) = a_{2} f (2) = a_{3} f (3) ⋮ = a_{n - 1} f (n - 1)

위 식을 변끼리 곱하면, 좌변과 우변에 공통으로 있는 항들( $a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n - 1}$ )이 양쪽에서 똑같이 약분되어 사라집니다.

a_{2} a_{3} a_{4} \times a_{n} a_{n} = a_{1} \cdot f (1) = a_{2} \cdot f (2) = a_{3} \cdot f (3) ⋮ = a_{n - 1} \cdot f (n - 1) = a_{1} \cdot f (1) \cdot f (2) \cdot \dots \cdot f (n - 1)

그러면 좌변에는 $a_{n}$ 만 남고, 우변에는 $a_{1}$ 과 $f (n)$ 들의 곱만 남게 됩니다. 따라서 일반항은 다음과 같이 유도됩니다.

a_{n} = a_{1} \cdot f (1) \cdot f (2) \cdot \dots \cdot f (n - 1) = a_{1} \cdot k = 1 \prod n - 1 f (k) (단, n \geq 2)

$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 꼴로 정의된 수열 ( $p \neq = 1, q \neq = 0$ )

이 형태의 규칙은 등차수열과 등비수열의 특징을 모두 가지고 있어 조금 더 복잡합니다. 일반항을 구하는 대표적인 두 가지 방법이 있습니다.

방법 1: $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ 꼴로 변형

첫번째 방법은 우리가 이미 아는 등비수열 형태로 바꾸는 것입니다. 즉, $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 를 적절한 상수 $α$ 를 찾아 $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ 꼴로 변형하는 것입니다. 이렇게 하면 ${a_{n} - α}$ 라는 새로운 수열이 간단한 등비수열이 되어 일반항을 쉽게 구할 수 있습니다.

먼저 목표 형태인 $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ 를 전개하여 원래 식 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 와 비교합니다.

a_{n + 1} = p a_{n} - p α + α

두 식이 완전히 같아지려면 상수항 부분이 일치해야 합니다. 이로부터 $α$ 값을 유도할 수 있습니다.¹

q \Rightarrow q \Rightarrow α = - p α + α = (1 - p) α = \frac{q}{1 - p}

위에서 구한 $α$ 를 이용하면, $b_{n} = a_{n} - α$ 라는 새로운 수열을 생각할 수 있습니다. 이 수열 ${b_{n}}$ 은 $b_{n + 1} = p \cdot b_{n}$ 을 만족하므로, 첫째항이 $b_{1} = a_{1} - α$ 이고 공비가 $p$ 인 등비수열입니다. 이제 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 $a_{n}$ 을 구할 수 있습니다.

\Rightarrow \Rightarrow b_{n} = b_{1} \cdot p^{n - 1} a_{n} - α = (a_{1} - α) p^{n - 1} a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1}

방법 2: 계차수열을 이용한 풀이

두번째 방법은 원래 규칙의 $n$ 자리에 $n + 1$ 을 대입한 새로운 식을 만든 뒤, 두 식의 차를 이용하여 상수 $q$ 를 소거하는 것입니다. 이를 통해 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 이 간단한 등비수열이 됨을 보이고, 최종적으로 $a_{n}$ 을 유도합니다.

원래 규칙과, 그 다음 항에 대한 규칙을 나란히 놓고 변끼리 빼서 $q$ 를 소거합니다.

- a_{n + 2} a_{n + 1} a_{n + 2} - a_{n + 1} = = = p a_{n + 1} p a_{n} p (a_{n + 1} - a_{n}) + q + q

위 결과는 계차수열 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ 이 첫째항이 $b_{1} = a_{2} - a_{1}$ 이고 공비가 $p$ 인 등비수열임을 의미합니다. 따라서 $b_{n}$ 의 일반항은 $b_{n} = (a_{2} - a_{1}) p^{n - 1}$ 입니다. 우리가 최종적으로 원하는 $a_{n}$ 은 첫째항 $a_{1}$ 에 계차수열 $b_{k}$ 를 $k = 1$ 부터 $n - 1$ 까지 더한 값이므로, 등비수열 합 공식을 적용하여 다음과 같이 유도할 수 있습니다.

a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 b_{k} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 (a_{2} - a_{1}) p^{k - 1} = a_{1} + (a_{2} - a_{1}) k = 1 \sum n - 1 p^{k - 1} = a_{1} + (a_{2} - a_{1}) (\frac{p ^{n - 1} - 1}{p - 1})

$p a_{n + 2} + q a_{n + 1} + r a_{n} = 0$ 꼴로 정의된 수열 ( $p + q + r = 0$ )

이 형태는 세 개의 연속된 항에 대한 규칙이지만, 계수의 합이 $0$ 이 되는 특별한 조건( $p + q + r = 0$ ) 덕분에 간단한 형태로 변형할 수 있습니다. 핵심 전략은 계수 사이의 관계를 이용해 식을 조작하여, 계차수열 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 이 등비수열임을 밝혀내는 것입니다.

주어진 조건 $p + q + r = 0$ 을 이용하여 계수 $q$ 를 $q = - p - r$ 로 바꾸어 원래 식에 대입하고 정리합니다.

\Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow p a_{n + 2} + q a_{n + 1} + r a_{n} = 0 p a_{n + 2} + (- p - r) a_{n + 1} + r a_{n} = 0 p a_{n + 2} - p a_{n + 1} - r a_{n + 1} + r a_{n} = 0 p (a_{n + 2} - a_{n + 1}) = r (a_{n + 1} - a_{n}) a_{n + 2} - a_{n + 1} = \frac{r}{p} (a_{n + 1} - a_{n})

위 결과는 계차수열 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ 이 첫째항이 $b_{1} = a_{2} - a_{1}$ 이고 공비가 $\frac{r}{p}$ 인 등비수열임을 의미합니다. 따라서 $b_{n}$ 의 일반항은 $b_{n} = (a_{2} - a_{1}) (\frac{r}{p})^{n - 1}$ 입니다.

a_{2} - a_{1} a_{3} - a_{2} a_{4} - a_{3} + a_{n} - a_{n - 1} a_{n} - a_{1} ∴ a_{n} = a_{2} - a_{1} = (a_{2} - a_{1}) (\frac{r}{p})^{1} = (a_{2} - a_{1}) (\frac{r}{p})^{2} ⋮ = (a_{2} - a_{1}) (\frac{r}{p})^{n - 2} = (a_{2} - a_{1}) {1 + (\frac{r}{p})^{1} + (\frac{r}{p})^{2} + \dots + (\frac{r}{p})^{n - 2}} = a_{1} + (a_{2} - a_{1}) \sum_{k = 1}^{n - 1} (\frac{r}{p})^{k - 1}

우리가 최종적으로 원하는 $a_{n}$ 은 첫째항 $a_{1}$ 에 계차수열 $b_{k}$ 를 $k = 1$ 부터 $n - 1$ 까지 더한 값이므로, 등비수열 합 공식을 적용하여 다음과 같이 유도할 수 있습니다.

a_{n} = a_{1} + (a_{2} - a_{1}) \frac{( \frac{r}{p} ) ^{n - 1} - 1}{\frac{r}{p} - 1}

$a_{n + 1} = \frac{r a _{n}}{p a _{n} + q}$ 꼴로 정의된 수열

분수 형태의 복잡한 규칙처럼 보이지만, 이 문제의 해결책은 양변에 역수를 취하는 것입니다. 이 방법은 조화수열의 일반항을 구할 때와 마찬가지로, 복잡한 식을 우리가 이미 해결 방법을 아는 선형적인 형태( $b_{n + 1} = A b_{n} + B$ )로 바꾸어 줍니다.

주어진 규칙의 양변에 역수를 취하여 식을 정리합니다.

\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{p a _{n} + q}{r a _{n}} = \frac{p a _{n}}{r a _{n}} + \frac{q}{r a _{n}} = \frac{p}{r} + \frac{q}{r} \cdot \frac{1}{a _{n}}

이제 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ 로 치환하면, 위 식은 $b_{n + 1} = \frac{q}{r} b_{n} + \frac{p}{r}$ 라는 새로운 규칙으로 바뀝니다. 이것은 이전에 다룬 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 꼴의 규칙과 정확히 일치하므로, 해당 풀이법을 적용하여 수열 ${b_{n}}$ 의 일반항을 구한 뒤, 그 역수를 취해 $a_{n}$ 을 찾을 수 있습니다.(단, $b_{1} = \frac{1}{a _{1}}$ )

\Rightarrow \Rightarrow b_{n} = α + (b_{1} - α) A^{n - 1} \frac{1}{a _{n}} = \frac{p}{r - q} + (\frac{1}{a _{1}} - \frac{p}{r - q}) (\frac{q}{r})^{n - 1} a_{n} = \frac{1}{\frac{p}{r - q} + ( \frac{1}{a _{1}} - \frac{p}{r - q} ) ( \frac{q}{r} ) ^{n - 1}}

예제

다음과 같이 정의된 수열 ${a_{n}}$ 의 일반항 $a_{n}$ 을 구하시오. (단, $n = 1, 2, 3, \dots$ )

$a_{1} = - 2, a_{n + 1} = a_{n} + 4$ ²
$a_{1} = 5, a_{n + 1} = - 2 a_{n}$ ³
$a_{1} = \frac{1}{7}, \frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} - 2$ ⁴
$a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ ⁵
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ ⁶
$a_{1} = 6, a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} - 1$ ⁷
$a_{1} = 1, a_{2} = 2, 3 a_{n + 2} - 5 a_{n + 1} + 2 a_{n} = 0$ ⁸
$a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{3 a _{n} + 1}$ ⁹

$a_{n}$ 이 $α$ 로 수렴한다고 가정하면, $α = p α + q$ 라는 식을 얻을 수 있습니다. 이를 정리하면 $α = \frac{q}{1 - p}$ 가 됩니다. 단, 이때 $p \neq = 1$ 이어야 합니다. ↩
$a_{n} = 4 n - 6$ ↩
$a_{n} = 5 (- 2)^{n - 1}$ ↩
$a_{n} = \frac{1}{9 - 2 n}$ ↩
$a_{n} = n^{2} - n + 3$ ↩
$a_{n} = 2^{n + 1} - 3$ ↩
$a_{n} = 2^{4 - n} - 2$ ↩
$a_{n} = 4 - 3 (\frac{2}{3})^{n - 1}$ ↩
$a_{n} = \frac{1}{3 n - 1}$ ↩

Ray

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