f ( x ) = sin x 은 기함수이며 주기성을 갖는다. 또한 sin ( x + 2 π ) = cos x 이다. 그래프를 관찰하면 ∫ 0 2 π sin x d x = ∫ 2 π π sin x d x = ∫ π 2 3 π sin x d x = ∫ 2 3 π 2 π sin x d x 이고, ∫ 0 2 π sin x d x = ∫ 0 2 π cos x d x 이다. 따라서 ∫ 0 2 π sin x d x 의 값만 알고 있다면 삼각함수의 넓이를 빠르게 구할 수 있다.
이는 고차 삼각함수로 손쉽게 응용할 수 있다.
고차 삼각함수의 적분
f ( x ) = sin n x ( n ≥ 2 ) 에 대하여, n 이 짝수면 반각공식, n 이 홀수면 치환적분을 이용하여 넓이를 구할 수 있다.
∫ 0 2 π sin 2 x d x ∫ 0 2 π sin 3 x d x = ∫ 0 2 π 2 1 − cos 2 x d x = [ 2 x − 4 1 sin 2 x ] 0 2 π = 4 π = ∫ 0 2 π ( 1 − cos 2 x ) sin x d x = ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) d t = 3 2
삼각함수의 넓이
∫ 0 2 π sin x d x = 1 , ∫ 0 2 π sin 2 x d x = 4 π , ∫ 0 2 π sin 3 x d x = 3 2
∫ 0 2 π sin 2 x d x 는 삼각함수의 성질을 이용하여 손쉽게 유도할 수 있다.
⇒ ⇒ ∫ 0 2 π sin 2 x d x = ∫ 0 2 π cos 2 x d x ∫ 0 2 π sin 2 x + cos 2 x d x = ∫ 0 2 π d x = 2 π ∫ 0 2 π sin 2 x d x = 4 π
월리스 공식(Wallis product)
I n = ∫ 0 2 π sin n x d x ( n ≥ 3 ) 이라 하자. 부분적분을 사용하면
I n = ∫ 0 2 π sin n − 1 x sin x d x = sin n − 1 x ( − cos x ) 0 2 π + ∫ 0 2 π ( n − 1 ) sin n − 2 x cos 2 x d x = ( n − 1 ) ∫ 0 2 π sin n − 2 x ( 1 − sin 2 x ) d x = ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n
이므로, I n = n n − 1 I n − 2 이다.
이 성질을 이용하면, I 3 = ∫ 0 2 π sin 3 x d x = 3 2 I 1 = 3 2 , I 4 = ∫ 0 2 π sin 4 x d x = 4 3 I 2 = 16 3 π , ⋯ 와 같은 적분값을 쉽게 구할 수 있다.
이 식을 이용하면 π 의 값을 근사할 수 있는 식을 얻을 수 있다. 앞선 식을 n 에 따라 나누어 정리하면 다음과 같다.
I 2 n I 2 n + 1 = 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n − 2 2 n − 3 ⋅ ⋯ ⋅ 4 3 ⋅ 2 1 ⋅ I 0 = 2 π ⋅ k = 1 ∏ n 2 k 2 k − 1 = 2 n + 1 2 n ⋅ 2 n − 1 2 n − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 5 4 ⋅ 3 2 ⋅ I 1 = 1 ⋅ k = 1 ∏ n 2 k + 1 2 k
다음으로, sin x ≤ 1 이므로 0 ≤ x ≤ π 일 때,
⇒ ⇒ sin 2 n + 1 x ≤ sin 2 n x ≤ sin 2 n − 1 x I ( 2 n + 1 ) ≤ I ( 2 n ) ≤ I ( 2 n − 1 ) 1 ≤ I ( 2 n + 1 ) I ( 2 n ) ≤ I ( 2 n + 1 ) I ( 2 n − 1 ) = 2 n 2 n + 1 → 1
이다. 따라서 I ( 2 n + 1 ) I ( 2 n ) → 1 이다. 마지막으로 I ( 2 n + 1 ) I ( 2 n ) 을 정리하면,
n → ∞ lim I ( 2 n + 1 ) I ( 2 n ) ⇒ 2 π = n → ∞ lim 2 π k = 1 ∏ n 2 k × 2 k ( 2 k − 1 ) × ( 2 k + 1 ) = 1 = n → ∞ lim k = 1 ∏ n ( 2 k − 1 ) × ( 2 k + 1 ) 2 k × 2 k = 1 ⋅ 3 2 ⋅ 2 × 3 ⋅ 5 4 ⋅ 4 × 5 ⋅ 7 6 ⋅ 6 × ⋯