로피탈의 법칙(L'Hôpital's rule)

로피탈의 법칙

함수 $f(x),g(x)$가 미분 가능, ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$가 부정형 $\left(\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\cdots \right)$, ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 존재, $g^{\prime }(x)\ne 0$ 을 만족하면 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$이다.

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

최고차항 비교

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{n!a_n}{n!b_n}=\frac{a_n}{b_n}\\ & \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\frac{n!a_{n}x+(n-1)!a_{n-1}}{(n-1)!b_{n-1}}=\infty \\ & \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(n-1)!a_n}{n!b_{n}x+(n-1)!b_n}=0\end{array}$$

최저차항 비교

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x}\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{n{a}_n{x}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x}^{n-2}+\cdots +a_1}{n{b}_n{x}^{n-1}+(n-1)b_{n-1}{x}^{n-2}+\cdots +b_1}\\ =& \frac{a_1}{b_1}\end{array}$$

초월함수 비교

• 지수함수는 다항함수보다 빠르다.

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{1}=\infty$$

• 다항함수는 로그함수보다 빠르다.

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$$