행렬 참, 거짓 문제

1. $AB=BA$이다.¹
2. $A^2=I$이면, $A=I$ 또는 $A=-I$이다.²
3. $A^2=O$ 이면, $A=O$ 이다.³
4. $(AB{)}^t=B^t{A}^t$이다.⁴
5. $(A+cB{)}^t=A^t+c{B}^t$이다.⁵
6. $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$이다.⁶
7. $AB=I$이면, $A$와 $B$는 역행렬이 존재한다.⁷
8. $A$가 역행렬이 존재하면 $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ 이다.⁸
9. $n\times n$행렬 $A,B$에 대하여, $AB$가 역행렬이 존재하면 $A$, $B$ 모두 역행렬이 존재한다.⁹
10. $m\times n$ 행렬 $A$에 대하여$AB=I_m$인 $n\times m$ 행렬 $B$가 존재한다. (또는 $n\times m$ 행렬 $B$에 대하여 $AB=I_m$인 $m\times n$ 행렬 $A$가 존재한다) ¹⁰
11. 임의의 $n\times n$ 행렬 $A,B$에 대하여 $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$이다.¹¹
12. $A$의 두 행 또는 두 열을 교환하여 얻은 행렬을 $B$라 하면, $\det (A)=\det (B)$이다.¹²
13. $A$의 한 행 또는 열의 각 성분에 스칼라를 곱하여 얻은 행렬을 $B$라 하면, $\det (A)=\det (B)$이다.¹³
14. $A$의 한 행의 스칼라 배를 다른 행에 더하여 얻은 행렬을 $B$라 하면, $\det (A)=\det (B)$이다.¹⁴
15. $\det (A^t)=\det (A)$이다.¹⁵

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1. 닮음 행렬의 고윳값은 항상 같다.¹⁶
2. 닮음 행렬의 고유벡터는 항상 같다.¹⁷

Footnotes

1. False, $A$와 $B$가 동시에 대각화 가능(simultaneously diagonalizable)하다면 참이다. ↩

2. False, $A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$ ↩

3. False, $A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O$ ↩

4. True ↩

5. True, 따라서 $A$와 $A^t$의 특성 다항식도 같다.(고윳값과 중복도 또한 같다.) ↩

6. True, $\text{tr}(AB)={\sum }_{i=1}^n(AB{)}_{ii}={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{A}_{ij}{B}_{ji}={\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^n{B}_{ji}{A}_{ij}={\sum }_{j=1}^n(BA{)}_{jj}=\text{tr}(BA)$ 따라서, 닮음 행렬의 대각합도 같다. ↩

7. False, $AB=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$ ↩

8. True, $A^{-1}A=I\Rightarrow (A^{-1}{)}^{-1}=A$ ↩

9. True, $C(AB)=I\Rightarrow (CA)B=I$, $(AB)D=I\Rightarrow A(BD)=I$ ↩

10. False, $A$(또는 $B$)의 랭크가 $m$일 때만 참이다. ↩

11. True, 행렬식은 기하학적으로 부피 변화율을 나타내며, 행렬 $A$가 공간을 변화시키는 비율이 $\det (A)$, 행렬 $B$가 공간을 변화시키는 비율이 $\det (B)$라고 할 때, 연속적으로 변형하면 전체 변화율이 곱해지는 것이 자연스럽다. 이 성질로 부터 다음이 성립한다. $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$ ↩

12. False, $\det (B)=-\det (A)$ ↩

13. False, $\det (B)=k\cdot \det (A)$ ↩

14. True ↩

15. True ↩

16. True, $A=P^{-1}BP$라 할 때, $A(v)=\lambda v\Rightarrow B(P(v))=PA(v)=P\lambda (v)=\lambda (P(v))$이므로 $B$의 고윳값도 $\lambda$이다. 따라서 닮음 행렬은 같은 특성다항식을 가진다. ↩

17. False, $P(v)$ ↩