삼각형의 넓이

기본 공식

세 변의 길이가 주어진 삼각형의 넓이

1. 코사인 법칙을 이용하여 $\theta$를 구한 후 기본공식을 사용한다.

• $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta$

2. 헤론의 공식¹

• $s=\frac{a+b+c}{2}$라 할 때, $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

원과 삼각형의 넓이²

좌표 위의 도형의 넓이

세 점의 좌표가 주어진 경우 흔히 신발끈 공식³이라 불리는 공식을 이용할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}S=& \frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_1\\ y_1& y_2& y_3& y_1\end{array}\right|\\ =& \frac{1}{2}\left|(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1)-(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)\right|\end{array}$$

이때, 점 $(x_1,y_1)$이 원점인 경우, 계산식이 매우 간단해진다.

$$S=\frac{1}{2}\left|x_2{y}_3-y_2{x}_3\right|$$

그러므로, 세 점이 주어졌을 때, 평행이동으로 한 점을 원점으로 옮긴 후 넓이를 구하면 편하다.⁴ 또한 모든 점의 좌표를 알고 있으므로, 벡터의 내적⁵을 이용하여 끼인각을 구하는 방법도 고려해보자.

만약 세 점의 좌표가 모두 정수로만 이루어져 있다면 Pick의 법칙⁶에 의해 $S=I+\frac{B}{2}-1$로 넓이를 구할 수 있다.($I$는 다각형 내부에 있는 격자점의 수, $B$는 다각형 변 위에 있는 격자점의 수) 앞선 공식들은 삼각형 뿐만 아니라 일반적인 다각형으로 확장할 수 있다.

Footnotes

1. 삼각형의 높이 $h=b\sin C$라 하자. 삼각함수의 성질에 의해 ${\sin }^{2}C=1-{\cos }^{2}C$이고, 코사인 법칙에 의해 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$이므로, $\sin C=\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}}{2ab}$이다. 따라서 삼각형의 넓이 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}$이다. 이때, $s=\frac{a+b+c}{2}$라 하면, $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$로 정리할 수 있다. ↩

2. 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름을 $R$이라 하면, 사인법칙에 의해 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$이다. $S=\frac{1}{2}ab\sin C$에서 $\sin C=\frac{c}{2R}$이므로, $S=\frac{abc}{4R}$이다. ↩

3. 삼각형 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$을 포함하는 사다리꼴 3개를 생각하자. (사다리꼴 $T_1$: $(x_1,0)$, $(x_2,0)$, $(x_2,y_2)$, $(x_1,y_1)$, 사다리꼴 $T_2$: $(x_2,0)$, $(x_3,0)$, $(x_3,y_3)$, $(x_2,y_2)$, 사다리꼴 $T_3$: $(x_3,0)$, $(x_1,0)$, $(x_1,y_1)$, $(x_3,y_3)$) 각 사다리꼴의 넓이는 $S_{T_1}=\frac{1}{2}\left(x_2-x_1\right)\left(y_1+y_2\right)$, $S_{T_2}=\frac{1}{2}\left(x_3-x_2\right)\left(y_2+y_3\right)$, $S_{T_3}=\frac{1}{2}\left(x_1-x_3\right)\left(y_3+y_1\right)$이다. 삼각형은 이 넓이의 합에서 중복된 영역이므로, $S=|S_{T_2}+S_{T_3}-S_{T_1}|$이다. 따라서 각 식을 전개하여 정리하면, $S=\frac{1}{2}\left|x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1-y_1{x}_2-y_2{x}_3-y_3{x}_1\right|$이다. 이는 벡터의 외적을 이용하여 구할 수도 있다. ↩

4. $\det A=\det \left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ x_3& y_3\end{array}\right]=x_2{y}_3-y_2{x}_3$이다. $2$차 정사각행렬의 행렬식의 크기는 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이와 같다. ($3$차 정사각행렬의 행렬의 행렬식의 크기는 세 벡터로 이루어진 평행육면체의 부피와 같다.) ↩

5. 두 벡터 $\vec{a}=(a_1,a_2)$와 $\vec{b}=(b_1,b_2)$의 내적은 $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{a}_2+b_1{b}_2$와 같이 정의된다. 내적은 스칼라 값을 가지며, 두 벡터의 성분을 곱한 후 합을 구한다. 벡터의 내적은 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$와 같은 성질을 갖고 있다. $|\vec{a}|$와 $|\vec{b}|$는 각각 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 크기(길이)이며, $\theta$는 두 벡터 사이의 각이다. 벡터의 크기는 $|\vec{A}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$, $|\vec{B}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}$로 정의한다. 이를 이용해 각을 구하면 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$이다. ↩

6. 픽의 법칙의 증명은 신발끈 공식을 응용해서 증명할 수 있다. 증명 아이디어를 간략히 보면, 내부 격자점 하나는 전체 넓이에 $1$의 단위 넓이를 기여한다. 변 위의 격자점은 두 삼각형의 일부로 간주되므로, 각 변 위의 격자점은 $\frac{1}{2}$단위 넓이를 기여한다. 삼각형이 기본 도형으로 분해될 때, 중복으로 계산된 넓이를 조정하기 위해 $1$을 빼준다. ↩