콤팩트 2차원 다양체가 삼각분할될 수 있다는 것에 대한 짧은 증명

개요

콤팩트 2차원 다양체(compact 2-manifold)가 삼각분할(triangulation)될 수 있다 는 정리에 대한 짧은 증명을 제시합니다.

이 결과는 이전에 라도(T. Radó)에 의해 처음 증명되었고 , 알포스(L. V. Ahlfors)와 사리오(L. Sario)의 저서에서도 찾아볼 수 있습니다.
여기에 제시된 증명은 제1저자인 도일이 저차원에서의 ‘삼킴(engulfing)’ 가능성을 연구하던 중 발견한 아이디어에 기반합니다.
이 증명은 기존의 것들보다 간결하다는 장점이 있습니다.

증명을 위한 기본 개념

증명을 진행하기에 앞서, 기하학적 위상수학의 몇 가지 기본적인 사실들을 먼저 살펴보겠습니다.

1. 조르당-쇤플리스 정리 (The Jordan-Schoenflies Theorem)

유클리드 평면 $E^{2}$ 안에 있는 단순 닫힌 곡선(simple closed curve) J는 평면을 두 개의 영역으로 나눕니다. 또한, J를 원(circle)으로 보내는 $E^{2}$ 의 자기-위상동형사상(self-homeomorphism) 이 존재합니다.

2. 호를 두껍게 하기 (Thickening an Arc)

2차원 다양체 내부에 있는 모든 호(arc) 는 어떤 2-세포(2-cell) 의 내부에 포함됩니다. 이 2-세포는 호를 제외한 나머지 공간에 있는 어떠한 콤팩트 집합과도 만나지 않도록 선택할 수 있습니다.

3. 세포성(Cellularity)과 몫(Quotients)

세포 집합(cellular set) K는 점점 작아지는 2-세포들의 무한 교집합으로 표현될 수 있는 집합입니다.

K = i = 1 ⋂ \infty E_{i}, where E_{i} \subset Int (E_{i - 1})

만약 K가 2차원 다양체 M의 세포 부분집합이라면, K를 하나의 점으로 축소시킨 몫공간(quotient space) $M / K$ 는 원래의 공간 $M$ 과 위상동형입니다.

핵심 보조정리 및 증명

보조정리

$M$ 을 닫힌 2차원 다양체, C를 M 안에 있는 n개 단순 닫힌 곡선들의 합집합으로 이루어진 연결 집합이라고 합시다. A가 C의 부분집합이면서 콤팩트하고 완전 비연결(totally-disconnected) 이라면, A는 M 안에 있는 어떤 닫힌 2-세포의 내부에 포함됩니다.

증명 과정

A는 콤팩트하고 완전 비연결이므로, 첫 번째 곡선 $C_{1}$ 위에는 A의 점을 전혀 포함하지 않는 부분호 S가 존재합니다.
$C_{1}$ 에서 S를 제외한 부분을 “두껍게” 만들면, $A \cap C_{1}$ 을 내부에 포함하는 닫힌 2-세포 $D_{1}$ 을 얻을 수 있습니다.
이 과정을 수학적 귀납법으로 반복합니다. 즉, $A \cap ⋃_{i = 1}^{k} C_{i}$ 를 포함하는 2-세포 $D_{k}$ 가 있다고 가정하고, 이를 확장하여 $A \cap ⋃_{i = 1}^{k + 1} C_{i}$ 를 포함하는 2-세포 $D_{k + 1}$ 을 구성할 수 있습니다.

정리: 모든 닫힌 2차원 다양체는 삼각분할될 수 있다.

증명 과정

다양체 덮기: 닫힌 2차원 다양체 M을 유한개의 닫힌 원판 ${B_{1}, ..., B_{n}}$ 으로 기약적으로(irreducibly) 덮습니다. (기약적이라는 것은, 원판 중 하나라도 빼면 M 전체를 덮을 수 없다는 의미입니다.) 각 원판의 경계를 $C_{i} = Bd (B_{i})$ 라고 하고, 이 경계들의 합집합을 $C = ⋃ C_{i}$ 라고 둡시다.
특이점 집합 정의: C의 특이점 집합(singular set) A를 “C 위에서 1차원 유클리드 근방을 갖지 않는 점들의 모임”으로 정의합니다. 이 집합 A는 콤팩트하고 완전 비연결입니다. 덮개가 기약적이므로 C는 연결되어 있고, 따라서 앞서 증명한 보조정리에 의해 A는 어떤 닫힌 2-세포 D의 내부에 포함됩니다.
몫공간으로 변환: 2-세포 D는 세포적(cellular)이므로, D를 하나의 점으로 축소시킨 몫공간 $M_{1} = M / D$ 는 원래의 다양체 M과 위상동형입니다. 이제부터는 다루기 쉬운 $M_{1}$ 위에서 작업을 진행합니다.
구조 단순화: 몫 사상에 의해 $M_{1}$ 으로 옮겨진 경계 곡선들의 집합 R은 한 점 p에서 여러 개의 고리가 만나는 ‘장미(rose)’ 와 같은 모양이 됩니다. 이 구조는 필요하다면 추가적인 몫공간 과정을 통해 유한개의 잎을 가진 장미 모양으로 단순화할 수 있습니다.
삼각분할 구성:

중심점 p를 포함하는 작은 2-세포 E를 만듭니다.
E와 장미의 잎(호)들을 합친 $E \cup R$ 은 여러 개의 호가 경계에 붙어있는 원판 모양이 됩니다.
이 호들을 각각 경계를 공유하는 원판들로 감싸서, 경계가 있는 삼각분할 가능한 다양체 N을 만듭니다.
마지막으로, N의 삼각분할을 나머지 영역( $M_{1} - N$ )으로 확장하면 M (그리고 M과 같은 $M_{1}$ ) 전체의 삼각분할이 완성됩니다.

따름정리

위의 증명으로부터 다음 두 가지 사실을 추가로 얻을 수 있습니다.

따름정리 1: 모든 콤팩트 2차원 다양체는 삼각분할될 수 있다. 경계가 있는 경우, 그 경계 곡선들을 위 증명의 집합 C에 포함시켜 논증을 약간만 수정하면 동일하게 증명할 수 있습니다.

따름정리 2: 경계가 있는 콤팩트 2차원 다양체는 3차원 유클리드 공간( $E^{3}$ )에 매장(embed)될 수 있다. 주어진 다양체 M을 닫힌 다양체 $M_{1}$ 의 일부로 생각하고, $M_{1}$ 의 표준 분해( $M_{1} = E^{2} \cup R$ )를 이용하면 증명됩니다.

참고 문헌

Radó, T. (1925). Über den Begriff der Riemannschen Fläche. Acta Litterarum ac Scientiarum Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum, 2, 101-121.
Ahlfors, L. V., & Sario, L. (1960). Riemann surfaces. Princeton University Press.
Douady, A. (1960). Plongements des sphères. Séminaire Bourbaki, 13, exposé 205.
Doyle, P. H., & Hocking, J. G. (1962). A decomposition theorem for n-dimensional manifolds. Proceedings of the American Mathematical Society, 13, 469-471.

Ray

Explorer