유한 교집합 성질 (Finite Intersection Property, FIP)

유한 교집합 성질 (FIP) 정의

집합 $X$의 부분집합들로 이루어진 모임(collection or family) $\mathcal{F}$가 있다고 합시다. 만약 $\mathcal{F}$에서 임의의 유한 개(finite number)의 집합들을 뽑아서 교집합(intersection)을 구했을 때, 그 결과가 절대로 공집합($\varnothing$)이 되지 않으면, 이 모임 $\mathcal{F}$는 유한 교집합 성질(FIP)을 갖는다고 말합니다.

모임 $\mathcal{F}$가 FIP를 갖는다 $⟺$ $\mathcal{F}$의 임의의 유한 부분 모임 $\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}\subseteq \mathcal{F}$에 대해, $A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\ne \varnothing$ 이다.

FIP는 어떤 집합 모임이 ‘충분히 서로 겹쳐있는가’를 측정하는 방법 중 하나로 볼 수 있습니다. 유한 개만 뽑아서는 절대 서로소(disjoint)가 되지 않는다는 것은, 그 집합들이 전체적으로 ‘모여있을 가능성’이 높다는 것을 시사합니다. 컴팩트성은 이 ‘가능성’이 (닫힌 집합들에 대해) ‘실제’가 되도록 하는 공간의 성질입니다.

FIP와 Compactness

FIP를 이용한 정의(모든 닫힌 집합 모임이 FIP를 가지면 전체 교집합도 공집합이 아니다)와 열린 덮개를 이용한 정의(모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는다)는 컴팩트 공간에 대해 서로 동치입니다. 둘 중 어느 것을 기본 정의로 삼아도 논리적으로는 문제가 없습니다.

그럼에도 불구하고 대부분의 교재에서 열린 덮개를 이용한 정의를 먼저 소개하는 이유는 주로 다음과 같습니다.

• 직관성 및 역사성: 위상수학은 실수 공간(${\mathbb{R}}^n$)에서의 해석학을 일반화하는 과정에서 발전했습니다. $\mathbb{R}$의 유계 닫힌 구간 $[a,b]$가 컴팩트하다는 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)는 ‘구간을 덮는 무한히 많은 열린 구간들이 있어도, 항상 유한 개만으로도 덮을 수 있다’는 열린 덮개의 개념으로 설명하는 것이 더 자연스럽고 직관적으로 받아들여졌습니다. 이러한 역사적 배경과 직관성 때문에 열린 덮개 정의가 먼저 소개되는 경향이 있습니다.
• 연속성과의 연관성: 함수의 연속성은 보통 열린 집합의 역상(preimage)을 이용해 정의됩니다 ($f^{-1}(V)$가 열린 집합). 컴팩트 공간에서 연속 함수의 상(image)이 다시 컴팩트하다는 중요한 정리를 증명할 때, 열린 덮개 정의를 사용하는 것이 FIP 정의를 사용하는 것보다 더 직접적이고 자연스러울 수 있습니다.
• 위상의 기본 요소: 위상 공간은 ‘열린 집합’들을 기본 요소로 정의합니다. 따라서 공간의 중요한 성질인 컴팩트성을 이 기본 요소인 열린 집합(들의 모임인 열린 덮개)을 사용해 정의하는 것이 더 근본적(foundational)이라고 여겨질 수 있습니다.

하지만 여러 공간의 곱공간(product space)의 컴팩트성을 다루는 티코노프 정리(Tychonoff’s theorem)와 같이 더 추상적이고 이론적인 결과를 증명할 때 FIP 정의가 더 유용합니다. 또한, 필터(filter)나 네트(net)와 같은 다른 위상수학적 도구들과의 연결성도 좋습니다.