위상수학자의 사인곡선

아래에서 $S\subset {\mathbb{R}}^2$를

$$S=\{(x,\sin \frac{1}{x}):0<x\le 1\}\cup (\{0\}\times [-1,1])$$

연결성(connectedness)

$S$는 연결이다.

위상 공간에서 “연속 함수의 상(image)”과 “집합의 폐포”는 연결성을 보존한다.

• $(0,1]$은 실수선의 구간이므로 연결이다.
• $f:(0,1]\to {\mathbb{R}}^2,f(x)=(x,\sin 1/x)$는 연속 함수이므로 $f((0,1])=\{(x,\sin 1/x):0<x\le 1\}$도 연결이다.
• “연결 집합의 폐포(closure)” 역시 연결이므로

$$\overline{f((0,1])}=f((0,1])\cup (\{0\}\times [-1,1])=S$$

도 연결이다.

$S$는 경로연결(path‐connected)하지 않다.

정리(연속사상 분리에 의한 불가능성)
경로 $\gamma :[0,1]\to S$가 존재하여

$$\gamma (0)=(0,y_0)\in \{0\}\times [-1,1],\gamma (1)=(x_1,\sin (1/x_1)),x_1>0$$

를 잇는다고 치자.
${\pi }_1:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$를 첫째 좌표 사상이라 하면,

$$h(t)={\pi }_1(\gamma (t))$$

는 연속 함수이고 $h(0)=0,h(1)=x_1>0$이다.
중간값 정리에 따라 $h([0,1])=[0,x_1]$. 이때

$$h^{-1}(\{0\})=\{t\in [0,1]\mid h(t)=0\}$$

는 닫힌 집합이지만, 동시에 열린 집합이 되어야 합니다. 왜냐하면

$${\gamma }^{-1}(\{0\}\times [-1,1])=h^{-1}(\{0\})$$

가 ${\gamma }^{-1}$에 의해 $\{0\}\times [-1,1]$의 열린 부분(상대위상)이 되어야 하기 때문입니다.
$\{0\}\times [-1,1]$ 내의 상대열린집합이면서 $0$을 포함하는 것은 $[0,\epsilon )\times (y_0-\delta ,y_0+\delta )\cap S$ 형태이고,
이들은 $t$에 대해 열린/닫힌 양쪽 조건을 동시에 만족시킬 수 없어 모순을 빚습니다.
따라서 그러한 $\gamma$는 존재할 수 없습니다.

$S$는 국소연결(local connected)하지 않다.

국소연결이 되려면 임의의 $p\in S$와 그 근방 $U\subset S$에 대해,
$p\in V\subset U$인 연결 열린 $V$가 있어야 한다.
$p=(0,y_0)\in \{0\}\times [-1,1]$를 고정하고, 반경 $\epsilon >0$인 유클리드 공(open disk)

$$U=B((0,y_0),\epsilon )\cap S$$

를 취해 보자. 임의의 충분히 작은 $\delta \ll \epsilon$에 대해,

$$(\frac{1}{(n+½)\pi },\sin ((n+½)\pi ))(n\gg 1)$$

처럼 $U$ 안에 점이 무수히 흩어져 있다.
이들 사이를 잇는 연결 열린 $V\subset U$를 만들 수 없으므로 모순.
결국 $S$는 국소연결이 아니다.

$S$는 국소경로연결(local path‐connected)하지 않다.

국소경로연결 또한 경로연결의 국소형이므로, 위의 (3)의 논리를 그대로 적용할 수 있습니다.
$p=(0,y_0)$의 임의의 작은 근방 $U$ 안에, 서로 다른 진동 주기의 점들이 흩어져 있어 $p$를 포함하는 경로연결 열린 $V\subset U$를 만들 수 없기 때문입니다.