국소연결 (locally connected)

성분 (Component)

위상공간 $X$에서 성분이란 극대 연결 부분집합을 의미합니다. 다시 말해, 어떤 부분집합 $C$가 연결되어 있고, $C$를 진부분집합으로 포함하는 더 큰 연결 부분집합이 존재하지 않을 때 $C$를 성분이라고 부릅니다. 전체 공간 $X$의 성분들은 서로 분리되어 있으며, 이들의 합집합은 $X$ 전체가 됩니다.

어떤 성분 $C$를 생각해봅시다. $C$의 닫힘(closure) $\overline{C}$를 고려하면, $\overline{C}$는 $C$를 포함하는 닫힌 집합입니다. 여기서 $A\subseteq B\subseteq \overline{A}$인 임의의 집합 $B$도 연결되어 있으므로, $C$의 성분은 $\overline{C}$의 성분과 같습니다. 즉, $C$의 성분은 $\overline{C}$의 성분과 일치합니다. 이로 인해, 성분은 항상 닫힌 집합이 됩니다.

각 성분은 닫힌집합이므로, 유한 개의 닫힌집합의 합집합인 $X\setminus C_i={\bigcup }_{j\ne i}{C}_j$ 역시 닫힌집합입니다. 따라서 $C_i$는 닫힌집합의 여집합이므로 열린집합이 됩니다. 결과적으로 위상공간의 성분이 유한개일 때, 각 성분은 닫힌집합인 동시에 열린집합(clopen set)이 됩니다.

국소연결 공간(Locally Connected Space)

국소연결 공간은 $x$를 포함하는 열린 집합 $U$에 대해 연결되어있는 열린 집합 $V$가 존재하여 $x\in V\subseteq U$인 경우를 말합니다.

$X$가 국소연결이기 위한 필요충분조건은 $X$의 모든 열린집합 $U$에 대해 $U$의 성분이 $X$에서 열린집합인 경우입니다.