locally compact

컴팩트 하우스도르프인데 거리화 불가능한 공간

가장 대표적인 예시 중 하나는 최소비가산 순서수 공간에 최대 원소를 추가한 공간, 즉 $\Omega =[0,{\omega }_1]$ 입니다. 여기서 ${\omega }_1$은 첫 번째 비가산 순서수입니다.

하우스도르프 (Hausdorff) 공간

순서 위상(order topology)을 갖는 모든 전순서집합(totally ordered set)은 하우스도르프 공간입니다. 임의의 서로 다른 두 점 $\alpha ,\beta \in [0,{\omega }_1]$ (예를 들어 $\alpha <\beta$)에 대해, $\alpha$와 $\beta$ 사이에 다른 원소 $\gamma$가 존재한다면 (예: $\gamma =\alpha +1$ 또는 $\beta$의 직전 원소), $(\leftarrow ,\gamma )$ 와 $(\gamma ,\to )$ 와 같이 서로소인 열린 근방을 찾을 수 있습니다. 만약 $\beta =\alpha +1$ 이라면, $(\leftarrow ,\beta )$ 와 $(\alpha ,\to )$ (또는 더 작은 적절한 열린 구간)을 사용하여 분리할 수 있습니다.

컴팩트 (Compact) 공간

$[0,{\omega }_1]$은 컴팩트합니다. 이를 보이는 일반적인 방법은 다음과 같습니다.

• $[0,{\omega }_1]$의 임의의 열린 덮개 $\{U_i{\}}_{i\in I}$를 생각합니다.
• ${\omega }_1$은 어떤 $U_k$에 속해야 합니다. $U_k$는 열린집합이므로, ${\omega }_1$을 포함하는 어떤 열린 구간 $(\alpha ,{\omega }_1]$ (여기서 $\alpha <{\omega }_1$)을 포함합니다.
• 이제 닫힌 부분집합 $[0,\alpha ]$를 고려합니다. 이 집합은 이전 질문에서 다룬 $[0,{\omega }_1)$과 유사하게 생각할 수 있는데, 모든 원소가 가산 순서수인 정렬 집합의 초기 부분입니다. 하지만 여기서 중요한 점은 $[0,\alpha ]$는 ${\omega }_1$보다 “작은” 부분이라는 것입니다.
• 컴팩트성을 증명하는 표준적인 방법은 최소 원소 원리(well-ordering principle)를 이용합니다. 만약 유한 부분덮개가 존재하지 않는다고 가정하면, 덮이지 않는 가장 작은 원소 $\beta \in [0,{\omega }_1]$가 존재해야 합니다.
• $\beta =0$일 수 없습니다. (0은 어떤 열린집합에 포함되므로)
• $\beta$가 극한 순서수가 아니라면 (즉, 직전 원소 $\beta -1$이 존재한다면), $\beta -1$은 어떤 유한 부분덮개로 덮여야 하고, $\beta$ 자신도 어떤 열린집합에 속하므로 모순이 발생합니다.
• $\beta$가 극한 순서수라면, $\beta$를 포함하는 어떤 열린집합 $U_j$는 $(\gamma ,\beta ]$ 형태의 구간을 포함해야 합니다 ($\gamma <\beta$). 가정에 의해 $\gamma$는 유한 부분덮개로 덮여야 하는데, 이는 $\beta$도 덮일 수 있음을 의미하여 모순입니다.
• 따라서 $[0,{\omega }_1]$은 컴팩트합니다.

거리화 불가능 (Non-metrizable) 공간

$[0,{\omega }_1]$은 거리화 가능하지 않습니다. 그 이유는 여러 가지가 있지만, 대표적인 이유는 다음과 같습니다.

• 제1가산공리(First-countable axiom)를 만족하지 않습니다: 점 ${\omega }_1$에서 가산 국소 기저(countable local base)가 존재하지 않습니다. ${\omega }_1$의 모든 근방은 $(\alpha ,{\omega }_1]$ 형태의 구간을 포함해야 합니다 (어떤 $\alpha <{\omega }_1$에 대해). 만약 ${\omega }_1$에서 가산 국소 기저 $\{({\alpha }_n,{\omega }_1]{\}}_{n\in \mathbb{N}}$가 존재한다면, ${\alpha }^{\ast }={\sup }_{n\in \mathbb{N}}{\alpha }_n$을 생각할 수 있습니다. 가산 개의 가산 순서수들의 상한은 여전히 가산 순서수이므로 ${\alpha }^{\ast }<{\omega }_1$ 입니다. 그러면 $({\alpha }^{\ast },{\omega }_1]$은 ${\omega }_1$의 근방이지만, 어떤 $n$에 대해서도 $({\alpha }_n,{\omega }_1]⊈({\alpha }^{\ast },{\omega }_1]$ 이므로, 이는 가산 국소 기저가 될 수 없습니다. 거리화 가능 공간은 항상 제1가산공리를 만족해야 하므로, $[0,{\omega }_1]$은 거리화 가능하지 않습니다.

• 분해 불가능(Non-separable)합니다: 거리화 가능한 컴팩트 공간은 분해 가능(separable, 즉 가산 조밀 부분집합을 가짐)해야 합니다. 하지만 $[0,{\omega }_1]$은 분해 가능하지 않습니다. 만약 $D\subseteq [0,{\omega }_1]$가 가산 조밀 부분집합이라면, $D$의 모든 원소는 가산 순서수입니다. $\sup (D)=\alpha <{\omega }_1$가 됩니다. 그러면 $(\alpha ,{\omega }_1]$은 공집합이 아닌 열린집합인데 $D$와 만나지 않으므로, $D$는 조밀하지 않습니다.

또 다른 유명한 예시로는 “긴 직선 (Long Line)“의 컴팩트화 버전이나, 티호노프 판 (Tychonoff Plank) 등이 있습니다.