limit point compactness

limit point compact

A space $X$ is said to be limit point compact if every infinite subset of $X$ has a limit point.

Fréchet

Maurice René Fréchet (1878–1973)는 프랑스의 수학자이며, 현대 위상수학과 함수해석학의 창시자 중 한 명입니다.

• “프레셰 공간(Fréchet space)”이라는 용어에서도 그의 이름을 본 적 있을 수 있습니다.
• 그는 추상 위상 공간 개념을 정립했고, 함수의 수렴이나 극한 개념을 집합 위에서 일반화하려고 시도했습니다.
• 그의 연구는 위상수학의 “초기 형식화”에 큰 영향을 주었습니다.

Bolzano–Weierstrass Property

유계이고 무한한 실수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

Sequentially compact

A space $X$ is said to be sequentially compact if every sequence in $X$ has a convergent subsequence whose limit is in $X$.

minimal uncountable well-ordered set $S_{\Omega }$

최소비가산 정렬집합 (Minimally Uncountable Well-ordered Set)

• 보통 기호로는 $S_{\Omega }$ 또는 $[0,{\omega }_1)$으로 표현합니다.
• 이는 모든 가산 순서수(countable ordinals)들의 집합입니다.
• 이 집합 자체는 ${\omega }_1$ (첫 번째 비가산 순서수)을 포함하지 않습니다.
• 이전 질문에서 다루었듯이, $[0,{\omega }_1)$은 컴팩트하지 않습니다. 하지만 극한점 컴팩트하고 수열 컴팩트합니다.

$\Omega =[0,{\omega }_1]$

• 이는 최소비가산 정렬집합 $[0,{\omega }_1)$에 가장 큰 원소(maximum element)로 ${\omega }_1$을 추가한 집합입니다.
• 즉, $[0,{\omega }_1]=[0,{\omega }_1)\cup \{{\omega }_1\}$ 입니다.
• 이 마지막 점 ${\omega }_1$의 추가가 바로 컴팩트성을 갖게 만드는 핵심적인 차이입니다.