82. Existence of Covering Spaces

우리는 각 덮개 사상 $p:E\to B$에 ${\pi }_1(B,b_0)$의 켤레류(conjugacy class)가 대응되고, 두 덮개 사상이 동치일 필요충분조건은 그들이 같은 켤레류에 대응되는 것임을 보였다. 따라서, $B$의 덮개의 동치류로부터 ${\pi }_1(B,b_0)$의 부분군들의 켤레류로 가는 단사 대응 관계가 있다. 이제 우리는 이 대응 관계가 전사(surjective)인지, 즉 ${\pi }_1(B,b_0)$의 모든 부분군의 켤레류에 대해, 이 켤레류에 대응하는 $B$의 덮개가 존재하는지를 묻는다.

일반적으로 이 질문에 대한 답은 “아니오”이다. §80에서, 우리는 단일 연결 덮개 공간이 없는, 즉 자명한 부분군의 켤레류에 대응하는 덮개 공간이 없는 경로 연결이고 국소 경로 연결인 공간 $B$의 예를 보였다. 이 예는 단일 연결 덮개 공간을 갖는 공간이 만족해야 하는 조건을 제시한 보조정리 80.4에 의존했다. 이제 이 조건을 형식적으로 도입한다.

정의

공간 $B$가 각 $b\in B$에 대해, 포함 사상 $i:U\to B$에 의해 유도된 준동형사상

$$i_{\ast }:{\pi }_1(U,b)\to {\pi }_1(B,b)$$

가 자명한 준동형사상이 되는 이웃 $U$가 존재할 때, 반국소 단일 연결(semilocally simply connected) 이라고 한다.

$U$가 이 조건을 만족하면, $b$의 임의의 더 작은 이웃도 이 조건을 만족하므로, $b$는 이 조건을 만족하는 “임의로 작은” 이웃들을 갖는다. 이 조건은 진정한 국소 단일 연결성보다 약한 조건인데, 국소 단일 연결성은 $b$의 각 이웃 내에 그 자체가 단일 연결인 이웃 $U$가 존재해야 함을 요구한다.

$B$의 반국소 단일 연결성은 ${\pi }_1(B,b_0)$의 모든 부분군의 켤레류에 대해 대응하는 $B$의 덮개 공간이 존재하기 위한 필요충분조건이다. 필요성은 보조정리 80.4에서 증명되었고, 충분성은 이 절에서 증명된다.

정리 82.1

$B$를 경로 연결이고, 국소 경로 연결이며, 반국소 단일 연결인 공간이라 하자. $b_0\in B$라 하자. ${\pi }_1(B,b_0)$의 부분군 $H$가 주어졌을 때, 덮개 사상 $p:E\to B$와 점 $e_0\in p^{-1}(b_0)$가 존재하여 다음을 만족한다.

$$p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))=H.$$

증명

1단계. E의 구성. $E$를 구성하는 절차는 복소해석학에서 리만 곡면을 구성하는 데 사용된 절차를 연상시킨다. $P$를 $B$에서 $b_0$에서 시작하는 모든 경로들의 집합이라 하자. $P$ 위에 동치 관계를 $\alpha$와 $\beta$가 $B$의 같은 점에서 끝나고 $[\alpha \ast \bar{\beta }]\in H$일 때 $\alpha \sim \beta$로 정의하자. 이 관계가 동치 관계임은 쉽게 알 수 있다. 경로 $\alpha$의 동치류를 ${\alpha }^{\#}$로 표기할 것이다.

$E$를 동치류들의 집합이라 하고, $p:E\to B$를 등식 $p({\alpha }^{\#})=\alpha (1)$로 정의하자. $B$가 경로 연결이므로 $p$는 전사이다. 우리는 $p$가 덮개 사상이 되도록 $E$에 위상을 부여할 것이다.

먼저 두 가지 사실을 주목하자: (1) 만약 $[\alpha ]=[\beta ]$이면, ${\alpha }^{\#}={\beta }^{\#}$이다. (2) 만약 ${\alpha }^{\#}={\beta }^{\#}$이면, $\alpha (1)$에서 시작하는 $B$의 임의의 경로 $\delta$에 대해 $(\alpha \ast \delta {)}^{\#}=(\beta \ast \delta {)}^{\#}$이다. 첫 번째 사실은 $[\alpha ]=[\beta ]$이면 $[\alpha \ast \bar{\beta }]$는 항등원이고 이는 $H$에 속한다는 점에서 따라 나온다. 두 번째 사실은 $\alpha \ast \delta$와 $\beta \ast \delta$가 $B$의 같은 점에서 끝나고

$$[(\alpha \ast \delta )\ast \overline{(\beta \ast \delta )}]=[(\alpha \ast \delta )\ast (\bar{\delta }\ast \bar{\beta })]=[\alpha \ast \bar{\beta }]$$

이며, 이는 가정에 의해 $H$에 속한다는 점에서 따라 나온다.

2단계. E에 위상 부여하기. $E$에 위상을 부여하는 한 가지 방법은 $P$에 콤팩트-열린 위상(compact-open topology)(7장 참조)을 부여하고 $E$에 해당하는 몫위상(quotient topology)을 부여하는 것이다. 그러나 우리는 다음과 같이 $E$에 직접 위상을 부여할 수 있다:

$P$의 임의의 원소 $\alpha$와 $\alpha (1)$의 임의의 경로 연결 이웃 $U$에 대해,

$$B(U,\alpha )=\{(\alpha \ast \delta {)}^{\#}\mid \delta \text{는 }U\text{에서 }\alpha (1)\text{에서 시작하는 경로이다}\}$$

를 정의하자. ${\alpha }^{\#}$는 $B(U,\alpha )$의 원소인데, 왜냐하면 $b=\alpha (1)$이라 할 때 ${\alpha }^{\#}=(\alpha \ast e_b{)}^{\#}$이고, 이 원소는 정의에 의해 $B(U,\alpha )$에 속하기 때문이다. 우리는 집합 $B(U,\alpha )$들이 $E$의 위상에 대한 기저(basis)를 형성함을 주장한다.

먼저, 만약 ${\beta }^{\#}\in B(U,\alpha )$이면 ${\alpha }^{\#}\in B(U,\beta )$이고 $B(U,\alpha )=B(U,\beta )$임을 보인다. 만약 ${\beta }^{\#}\in B(U,\alpha )$이면, $U$ 안의 어떤 경로 $\delta$에 대해 ${\beta }^{\#}=(\alpha \ast \delta {)}^{\#}$이다. 그러면

$$\begin{array}{rlr}(\beta \ast \bar{\delta }{)}^{\#}& =((\alpha \ast \delta )\ast \bar{\delta }{)}^{\#}& \text{by (2)}\\ & ={\alpha }^{\#}& \text{by (1),}\end{array}$$

이므로 정의에 의해 ${\alpha }^{\#}\in B(U,\beta )$이다. 먼저 $B(U,\beta )\subset B(U,\alpha )$임을 보인다. $B(U,\beta )$의 일반적인 원소는 $U$ 안의 경로 $\gamma$에 대해 $(\beta \ast \gamma {)}^{\#}$ 형태이다. 그러면

$$(\beta \ast \gamma {)}^{\#}=((\alpha \ast \delta )\ast \gamma {)}^{\#}=(\alpha \ast (\delta \ast \gamma ){)}^{\#}$$

이며, 이는 정의에 의해 $B(U,\alpha )$에 속한다. 대칭성에 의해 $B(U,\alpha )\subset B(U,\beta )$ 포함 관계도 성립한다.

이제 집합 $B(U,\alpha )$들이 기저를 형성함을 보인다. ${\beta }^{\#}$가 교집합 $B(U_1,{\alpha }_1)\cap B(U_2,{\alpha }_2)$에 속한다면, $U_1\cap U_2$에 포함된 $\beta (1)$의 경로 연결 이웃 $V$를 선택하면 된다. 포함 관계

$$B(V,\beta )\subset B(U_1,\beta )\cap B(U_2,\beta )$$

는 이 집합들의 정의로부터 따라 나오고, 방금 증명한 결과에 의해 등식의 우변은 $B(U_1,{\alpha }_1)\cap B(U_2,a_2)$와 같다.

3단계. 사상 $p$는 연속이고 열린 사상이다. $p$가 열린 사상임은 쉽게 알 수 있는데, 왜냐하면 기저 원소 $B(U,\alpha )$의 상은 $B$의 열린 부분집합 $U$이기 때문이다: $x\in U$가 주어졌을 때, $\alpha (1)$에서 $x$로 가는 $U$ 안의 경로 $\delta$를 택하면, $(\alpha \ast \delta {)}^{\#}$는 $B(U,\alpha )$에 있고 $p((\alpha \ast \delta {)}^{\#})=x$이다. $p$가 연속임을 보이기 위해, $E$의 원소 ${\alpha }^{\#}$와 $p({\alpha }^{\#})$의 이웃 $W$를 택하자. 점 $p({\alpha }^{\#})=\alpha (1)$의 $W$에 포함되는 경로 연결 이웃 $U$를 택하자. 그러면 $B(U,\alpha )$는 ${\alpha }^{\#}$의 이웃이고 $p$는 이것을 $W$ 안으로 사상한다. 따라서 $p$는 ${\alpha }^{\#}$에서 연속이다.

4단계. $B$의 모든 점은 $p$에 의해 고르게 덮이는 이웃을 갖는다. $b_1\in B$가 주어졌을 때, 포함 사상에 의해 유도된 준동형사상 ${\pi }_1(U,b_1)\to {\pi }_1(B,b_1)$이 자명하다는 추가 조건을 만족하는 $b_1$의 경로 연결 이웃 $U$를 택하자. 우리는 $U$가 $p$에 의해 고르게 덮임을 주장한다.

먼저, $p^{-1}(U)$는 $b_0$에서 $b_1$으로 가는 $B$ 안의 모든 경로 $\alpha$에 대해 집합 $B(U,\alpha )$들의 합집합과 같음을 보인다. $p$가 각 집합 $B(U,\alpha )$를 $U$ 위로 사상하므로, $p^{-1}(U)$가 이 합집합을 포함하는 것은 명확하다. 다른 한편, ${\beta }^{\#}$가 $p^{-1}(U)$에 속하면, $\beta (1)\in U$이다. $b_1$에서 $\beta (1)$로 가는 $U$ 안의 경로 $\delta$를 택하고, $\alpha$를 $b_0$에서 $b_1$으로 가는 경로 $\beta \ast \bar{\delta }$라 하자. 그러면 $[\beta ]=[\alpha \ast \delta ]$이므로, ${\beta }^{\#}=(\alpha \ast \delta {)}^{\#}$이며, 이는 $B(U,\alpha )$에 속한다. 따라서 $p^{-1}(U)$는 집합 $B(U,\alpha )$들의 합집합에 포함된다.

둘째, 서로 다른 집합 $B(U,\alpha )$들은 서로소이다. 왜냐하면 만약 ${\beta }^{\#}$가 $B(U,{\alpha }_1)\cap B(U,{\alpha }_2)$에 속하면, 2단계에 의해 $B(U,{\alpha }_1)=B(U,\beta )=B(U,{\alpha }_2)$이기 때문이다.

셋째, 우리는 $p$가 $B(U,\alpha )$와 $U$ 사이의 전단사 사상을 정의함을 보인다. 이로부터 $p{|}_{B(U,\alpha )}$는 전단사이고 연속이며 열린 사상이므로 위상동형사상임이 따라 나온다. 우리는 이미 $p$가 $B(U,\alpha )$를 $U$ 위로 사상함을 알고 있다. 단사임을 증명하기 위해,

$$p((\alpha \ast {\delta }_1{)}^{\#})=p((\alpha \ast {\delta }_2{)}^{\#})$$

라 가정하자. 여기서 ${\delta }_1,{\delta }_2$는 $U$ 안의 경로이다. 그러면 ${\delta }_1(1)={\delta }_2(1)$이다. 포함 사상에 의해 유도된 준동형사상 ${\pi }_1(U,b_1)\to {\pi }_1(B,b_1)$이 자명하므로, ${\delta }_1\ast {\bar{\delta }}_2$는 $B$에서 상수 고리와 경로 호모토픽하다. 그러면 $[\alpha \ast {\delta }_1]=[\alpha \ast {\delta }_2]$이므로, 원하는 대로 $(\alpha \ast {\delta }_1{)}^{\#}=(\alpha \ast {\delta }_2{)}^{\#}$이다. 이로부터 $p:E\to B$는 이전 장들에서 사용된 의미의 덮개 사상임이 따라 나온다. 이 장에서 사용된 의미의 덮개 사상임을 보이기 위해, 우리는 $E$가 경로 연결임을 보여야 한다. 이는 곧 보일 것이다.

5단계. $B$ 안의 경로 들어올리기. $e_0$를 $b_0$에서의 상수 경로의 동치류라 하자. 그러면 정의에 의해 $p(e_0)=b_0$이다. $b_0$에서 시작하는 $B$의 경로 $\alpha$가 주어졌을 때, $e_0$에서 시작하여 ${\alpha }^{\#}$에서 끝나는 $E$ 안의 경로로의 들어올림을 계산한다. 먼저, $c\in [0,1]$가 주어졌을 때, ${\alpha }_c:I\to B$를 등식 ${\alpha }_c(t)=\alpha (tc)$ for $0\le t\le 1$로 정의된 경로라 하자. 그러면 ${\alpha }_c$는 $\alpha (0)$에서 $\alpha (c)$까지 이어지는 $\alpha$의 “부분”이다. 특히, ${\alpha }_0$는 $b_0$에서의 상수 경로이고, ${\alpha }_1$은 경로 $\alpha$ 자신이다. 우리는 $\tilde{\alpha }:I\to E$를 등식 $\tilde{\alpha }(c)=({\alpha }_c{)}^{\#}$로 정의하고, $\tilde{\alpha }$가 연속임을 보인다. 그러면 $\tilde{\alpha }$는 $\alpha$의 들어올림이다. 왜냐하면 $p(\tilde{\alpha }(c))={\alpha }_c(1)=\alpha (c)$이기 때문이다. 더욱이, $\tilde{\alpha }$는 $({\alpha }_0{)}^{\#}=e_0$에서 시작하고 $({\alpha }_1{)}^{\#}={\alpha }^{\#}$에서 끝난다. 연속성을 확인하기 위해, 다음 표기법을 도입한다. $0\le c<d\le 1$이 주어졌을 때, ${\delta }_{c,d}$를 $[c,d]$ 위로의 양의 선형 사상 다음에 $\alpha$를 합성한 경로라 하자. 경로 ${\alpha }_d$와 ${\alpha }_c\ast {\delta }_{c,d}$는 경로 호모토픽하다. 왜냐하면 하나는 다른 하나의 재매개변수화이기 때문이다. 이제 $[0,1]$의 점 $c$에서 $\tilde{\alpha }$의 연속성을 확인한다. $W$를 점 $\tilde{\alpha }(c)$에 대한 $E$의 기저 원소라 하자. 그러면 $W$는 $\alpha (c)$의 어떤 경로 연결 이웃 $U$에 대해 $B(U,{\alpha }_c)$와 같다. $|c-t|<ϵ$에 대해 점 $\alpha (t)$가 $U$에 있도록 $ϵ>0$을 택하자. 우리는 $|c-d|<ϵ$인 $[0,1]$의 점 $d$에 대해 $\tilde{\alpha }(d)\in W$임을 보일 것이며, 이는 $c$에서 $\tilde{\alpha }$의 연속성을 증명한다. $|c-d|<ϵ$이라 하자. 먼저 $d>c$인 경우를 생각하자. $\delta ={\delta }_{c,d}$라 하자. 그러면 $[{\alpha }_d]=[{\alpha }_c\ast \delta ]$이므로, $\tilde{\alpha }(d)=({\alpha }_d{)}^{\#}=({\alpha }_c\ast \delta {)}^{\#}$이다. $\delta$가 $U$에 있으므로, 원하는 대로 $\tilde{\alpha }(d)\in B(U,{\alpha }_c)$이다. $d<c$인 경우, $\delta ={\delta }_{d,c}$라 하고 비슷하게 진행한다.

6단계. 사상 $p:E\to B$는 덮개 사상이다. $E$가 경로 연결임을 확인하면 되는데, 이것은 쉽다. 왜냐하면 $E$의 임의의 점 ${\alpha }^{\#}$에 대해, 경로 $\alpha$의 들어올림 $\tilde{\alpha }$는 $e_0$에서 ${\alpha }^{\#}$로 가는 $E$ 안의 경로이기 때문이다.

7단계. 마지막으로, $H=p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$이다. $b_0$에 기반을 둔 $B$의 고리 $\alpha$를 생각하자. $\tilde{\alpha }$를 $e_0$에서 시작하는 그것의 $E$로의 들어올림이라 하자. 정리 54.6은 $[\alpha ]\in p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$일 필요충분조건은 $\tilde{\alpha }$가 $E$의 고리인 것임을 알려준다. 이제 $\tilde{\alpha }$의 끝점은 ${\alpha }^{\#}$이고, ${\alpha }^{\#}=e_0$일 필요충분조건은 $\alpha$가 $b_0$에서의 상수 경로와 동치인 것, 즉 $[\alpha \ast {\bar{e}}_{b_0}]\in H$인 것이다. 이는 정확히 $[\alpha ]\in H$일 때 발생한다.

따름정리 82.2

공간 $B$가 보편 덮개 공간을 가질 필요충분조건은 $B$가 경로 연결이고, 국소 경로 연결이며, 반국소 단일 연결인 것이다.