81. Covering Transformations

주어진 덮개 사상 $p:E\to B$에 대해, 이 덮개 공간과 자기 자신 사이의 모든 동치사상들의 집합을 고려하는 것은 어느 정도 흥미롭다. 그러한 동치사상을 덮개 변환(covering transformation) 이라 한다. 덮개 변환들의 합성과 역원은 덮개 변환이므로, 이 집합은 군을 이룬다. 이 군을 덮개 변환 군(group of covering transformations) 이라 하고 $\mathcal{C}(E,p,B)$로 표기한다.

이 절 전체에 걸쳐, 우리는 $p:E\to B$가 $p(e_0)=b_0$인 덮개 사상이라고 가정하고, $H_0=p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$라 할 것이다. 우리는 군 $\mathcal{C}(E,p,B)$가 군 ${\pi }_1(B,b_0)$와 부분군 $H_0$에 의해 완전히 결정됨을 보일 것이다. 구체적으로, 만약 $N(H_0)$가 $H_0$를 정규부분군으로 포함하는 ${\pi }_1(B,b_0)$의 가장 큰 부분군이라면, $\mathcal{C}(E,p,B)$는 $N(H_0)/H_0$와 동형임을 보일 것이다.

$N(H_0)$를 다음과 같이 형식적으로 정의한다.

정의

$G$의 부분군 $H$가 주어졌을 때, $G$에서 $H$의 정규화부분군(normalizer) 은 다음 등식으로 정의된 $G$의 부분집합이다.

$$N(H)=\{g\mid gH{g}^{-1}=H\}.$$

$N(H)$가 $G$의 부분군임을 쉽게 알 수 있다. 정의에 따라, $N(H)$는 $H$를 정규부분군으로 포함하며 $G$의 가장 큰 그러한 부분군이다.

$N(H_0)/H_0$ 군과 $\mathcal{C}(E,p,B)$ 군 사이의 대응 관계는 §54의 들어올림 대응(lifting correspondence)과 §79에서 증명된 동치사상의 존재에 관한 결과를 사용하여 설정된다. 우리는 다음과 같은 정의를 내린다.

정의

$p(e_0)=b_0$인 $p:E\to B$가 주어졌을 때, 집합 $F$를 $F=p^{-1}(e_0)$라 하자. 정리 54.6의 들어올림 대응 $\Phi :{\pi }_1(B,b_0)/H_0\to F$는 전단사이다. 또한 대응 관계

$$\Psi :\mathcal{C}(E,p,B)\to F$$

를 각 덮개 변환 $h:E\to E$에 대해 $\Psi (h)=h(e_0)$로 설정하여 정의한다. $h$는 $e_0$에서의 값이 알려지면 유일하게 결정되므로, 대응 $\Psi$는 단사이다.

보조정리 81.1

사상 $\Psi$의 상(image)은 ${\pi }_1(B,b_0)/H_0$의 부분군 $N(H_0)/H_0$의 $\Phi$에 의한 상과 같다.

증명

들어올림 대응 $\varphi :{\pi }_1(B,b_0)\to F$는 다음과 같이 정의됨을 상기하자: $b_0$에 기반을 둔 $B$의 고리 $\alpha$가 주어졌을 때, $\gamma$를 $e_0$에서 시작하는 그것의 $E$로의 들어올림이라 하자. $e_1=\gamma (1)$이라 하고, $\varphi ([\alpha ])=e_1$로 $\varphi$를 정의한다. 보조정리를 증명하기 위해, $h(e_0)=e_1$인 덮개 변환 $h:E\to E$가 존재할 필요충분조건이 $[\alpha ]\in N(H_0)$임을 보여야 한다.

이것은 쉽다. 보조정리 79.1은 $h$가 존재할 필요충분조건이 $H_0=H_1$임을 알려준다. 여기서 $H_1=p_{\ast }({\pi }_1(E,e_1))$이다. 그리고 보조정리 79.3은 $[\alpha ]\ast H_1\ast [\alpha {]}^{-1}=H_0$임을 알려준다. 따라서 $h$가 존재할 필요충분조건은 $[\alpha ]\ast H_0\ast [\alpha {]}^{-1}=H_0$이며, 이는 바로 $[\alpha ]\in N(H_0)$라는 진술이다.

정리 81.2

전단사

$${\Phi }^{-1}\circ \Psi :\mathcal{C}(E,p,B)\to N(H_0)/H_0$$

는 군의 동형사상(isomorphism)이다.

증명

${\Phi }^{-1}\circ \Psi$가 준동형사상임을 보이면 충분하다. $h,k:E\to E$를 덮개 변환이라 하자. $h(e_0)=e_1$과 $k(e_0)=e_2$라 하자. 그러면 정의에 의해

$$\Psi (h)=e_1\text{이고}\Psi (k)=e_2$$

이다. $e_0$에서 $e_1$과 $e_2$로 가는 $E$ 안의 경로를 각각 $\gamma$와 $\delta$로 택하자. $\alpha =p\circ \gamma$와 $\beta =p\circ \delta$라 하면, 정의에 의해

$$\Phi ([\alpha ]H_0)=e_1\text{이고}\Phi ([\beta ]H_0)=e_2$$

이다. $e_3=h(k(e_0))$라 하자. 그러면 $\Psi (h\circ k)=e_3$이다. 우리는

$$\Phi ([\alpha \ast \beta ]H_0)=e_3$$

임을 보이면 증명이 완료된다.

$\delta$가 $e_0$에서 $e_2$로 가는 경로이므로, 경로 $h\circ \delta$는 $h(e_0)=e_1$에서 $h(e_2)=h(k(e_0))=e_3$으로 가는 경로이다. 그러면 곱 $\gamma \ast (h\circ \delta )$가 정의되고, 이는 $e_0$에서 $e_3$으로 가는 경로이다. 이것은 $\alpha \ast \beta$의 들어올림인데, 왜냐하면 $p\circ \gamma =\alpha$이고 $p\circ h\circ \delta =p\circ \delta =\beta$이기 때문이다. 따라서 원하는 대로 $\Phi ([\alpha \ast \beta ]H_0)=e_3$이다.

따름정리 81.3

$H_0$가 ${\pi }_1(B,b_0)$의 정규부분군일 필요충분조건은 $p^{-1}(b_0)$의 모든 점 쌍 $e_1,e_2$에 대해 $h(e_1)=e_2$인 덮개 변환 $h:E\to E$가 존재하는 것이다. 이 경우, 동형사상

$${\Phi }^{-1}\circ \Psi :\mathcal{C}(E,p,B)\to {\pi }_1(B,b_0)/H_0$$

이 존재한다.

따름정리 81.4

$p:E\to B$를 덮개 사상이라 하자. 만약 $E$가 단일 연결이면, $\mathcal{C}(E,p,B)\cong {\pi }_1(B,b_0)$이다.

$H_0$가 ${\pi }_1(B,b_0)$의 정규부분군이면, $p:E\to B$는 정규 덮개 사상(regular covering map) 이라 불린다. (여기서 친숙한 용어의 과용의 또 다른 예가 있다. “정규(normal)“와 “정칙(regular)“이라는 단어는 이미 상당히 다른 것을 의미하는 데 사용되었다!)

예제 1

원의 기본군이 아벨군이므로, $S^1$의 모든 덮개는 정규 덮개이다. 예를 들어, $p:\mathbb{R}\to S^1$이 표준 덮개 사상이라면, 덮개 변환은 위상동형사상 $x\to x+n$이다. 이러한 변환들의 군은 $\mathbb{Z}$와 동형이다.

예제 2

다른 극단적인 예로, 그림 81.2에 나타난 8자 모양 공간의 덮개 공간을 생각해보자. (§60에서 이 덮개를 고려했다. $x$축은 원 $A$ 주위를 감싸고, $y$축은 $B$ 주위를 감싼다. 원 $A_i$와 $B_i$는 각각 $A$와 $B$ 위로 위상동형적으로 사상된다.) 이 경우, 군 $\mathcal{C}(E,p,B)$는 자명군임을 보인다.

일반적으로, $h:E\to E$가 덮개 변환이면, $e_0$에서 $E$의 고리로 들어올려지는 밑공간(base space)의 모든 고리는 $h(e_0)$에서 시작하여 들어올려질 때도 고리로 들어올려진다. 현재의 경우, $A$의 기본군을 생성하는 고리는 $e_0$를 시작점으로 하여 들어올려지면 고리가 아니고, $y$축 위의 $p^{-1}(b_0)$의 다른 점에서 시작하면 고리로 들어올려진다. 비슷하게, $B$의 기본군을 생성하는 고리는 $e_0$에서 시작하면 고리가 아니고, $x$축 위의 $p^{-1}(b_0)$의 다른 점에서 시작하면 고리로 들어올려진다. 따라서 $h(e_0)=e_0$이어야 하며, $h$는 항등 사상이다.

정규 덮개를 자동적으로 만드는 덮개 공간 구성 방법이 있으며, 사실 모든 정규 덮개 공간은 이 방법으로 구성될 수 있다. 이는 공간 $X$ 위에서의 군 $G$의 작용(action)을 포함한다.

정의

$X$를 공간이라 하고, $G$를 $X$ 위에서의 위상동형사상 군의 부분군이라 하자. 궤도 공간(orbit space) $X/G$는 모든 $x\in X$와 모든 $g\in G$에 대해 $x\sim g(x)$라는 동치 관계에 의해 $X$로부터 얻어지는 몫공간(quotient space)으로 정의된다. $x$의 동치류를 $x$의 궤도(orbit) 라 한다.

정의

만약 $G$가 $X$의 위상동형사상 군이면, 모든 $x\in X$에 대해 $g\ne e$일 때마다 $g(U)$가 $U$와 서로소인 $x$의 이웃 $U$가 존재할 때, $G$의 $X$ 위에서의 작용은 제대로 불연속(properly discontinuous) 이라고 한다. (여기서 $e$는 $G$의 항등원이다.) 이로부터 $g_0\ne g_1$일 때마다 $g_0(U)$와 $g_1(U)$가 서로소임이 따라 나온다. 그렇지 않으면 $U$와 $g_0^{-1}{g}_1(U)$가 서로소가 아니기 때문이다.

정리 81.5

$X$를 경로 연결이고 국소 경로 연결 공간이라 하고, $G$를 $X$의 위상동형사상 군이라 하자. 몫 사상 $\pi :X\to X/G$가 덮개 사상일 필요충분조건은 $G$의 작용이 제대로 불연속인 것이다. 이 경우, 덮개 사상 $\pi$는 정규 덮개이고 $G$는 그것의 덮개 변환 군이다.

증명

$\pi$가 열린 사상임을 보인다. $U$가 $X$에서 열린 집합이면, ${\pi }^{-1}\pi (U)$는 $g\in G$에 대한 $X$의 열린 집합 $g(U)$들의 합집합이다. 따라서 ${\pi }^{-1}\pi (U)$는 $X$에서 열린 집합이므로, 정의에 의해 $\pi (U)$는 $X/G$에서 열린 집합이다. 따라서 $\pi$는 열린 사상이다.

1단계. $G$의 작용이 제대로 불연속이라 가정하고 $\pi$가 덮개 사상임을 보인다. $x\in X$가 주어졌을 때, $g_0\ne g_1$일 때마다 $g_0(U)$와 $g_1(U)$가 서로소인 $x$의 이웃 $U$를 택하자. 그러면 $\pi (U)$는 $\pi$에 의해 고르게 덮인다. 실제로 ${\pi }^{-1}\pi (U)$는 $g\in G$에 대한 서로소인 열린 집합 $g(U)$들의 합집합과 같고, 각 $g(U)$는 각 궤도의 점을 최대 하나만 포함한다. 따라서 $\pi$를 제한하여 얻은 사상 $g(U)\to \pi (U)$는 전단사이다. 연속이고 열린 사상이므로 위상동형사상이다. 따라서 $g\in G$에 대한 집합 $g(U)$들은 ${\pi }^{-1}\pi (U)$를 조각들로 분할한다.

2단계. 이제 $\pi$가 덮개 사상이라 가정하고 $G$의 작용이 제대로 불연속임을 보인다. $x\in X$가 주어졌을 때, $\pi (x)$의 이웃으로 $\pi$에 의해 고르게 덮이는 $V$를 택하자. ${\pi }^{-1}(V)$를 조각들로 분할하고, $x$를 포함하는 조각을 $U_{\alpha }$라 하자. $g\ne e$인 $g\in G$가 주어졌을 때, 집합 $g(U_{\alpha })$는 $U_{\alpha }$와 서로소여야 한다. 그렇지 않으면 $U_{\alpha }$의 두 점이 같은 궤도에 속하게 되어 $\pi$를 $U_{\alpha }$에 제한한 것이 단사가 아니게 되기 때문이다. 따라서 $G$의 작용은 제대로 불연속이다.

3단계. $\pi$가 덮개 사상이면, $G$가 그것의 덮개 변환 군이고 $\pi$가 정규 덮개임을 보인다. 확실히 모든 $g\in G$는 덮개 변환이다. 왜냐하면 $g(x)$의 궤도는 $x$의 궤도와 같으므로 $\pi \circ g=\pi$이기 때문이다. 다른 한편으로, $h(x_1)=x_2$인 덮개 변환 $h$를 생각하자. $\pi \circ h=\pi$이므로, 점 $x_1$과 $x_2$는 $\pi$ 아래에서 같은 점으로 사상된다. 따라서 $g(x_1)=x_2$인 원소 $g\in G$가 존재한다. 그러면 정리 79.2의 유일성 부분은 $h=g$임을 함의한다.

따라서 $\pi$는 정규 덮개이다. 실제로, 같은 궤도에 있는 임의의 두 점 $x_1,x_2$에 대해 $g(x_1)=x_2$인 원소 $g\in G$가 있다. 그러면 따름정리 81.3이 적용된다.

정리 81.6

$p:X\to B$가 정규 덮개 사상이고 $G$가 그것의 덮개 변환 군이면, $p=k\circ \pi$를 만족하는 위상동형사상 $k:X/G\to B$가 존재한다. 여기서 $\pi :X\to X/G$는 사영(projection)이다.

$$\begin{array}{ccc}X& \stackrel{\pi }{\to }& X/G\\ p\downarrow & & \downarrow k\\ B& =& B\end{array}$$

증명

만약 $g$가 덮개 변환이면, 정의에 의해 $p(g(x))=p(x)$이다. 따라서 $p$는 각 궤도 위에서 상수이므로, 몫공간 $X/G$에서 $B$로 가는 연속 사상 $k$를 유도한다. 다른 한편으로, $p$는 연속이고 전사이며 열린 사상이므로 몫 사상이다. $p$가 정규 덮개이므로, $p^{-1}(b)$의 임의의 두 점은 $G$의 작용 하에 같은 궤도에 속한다. 따라서 $\pi$는 $k$의 역함수인 연속 사상 $B\to X/G$를 유도한다.

예제 3

$X$를 원통 $S^1\times I$라 하고, $h:X\to X$를 위상동형사상 $h(x,t)=(-x,t)$라 하고, $k:X\to X$를 위상동형사상 $k(x,t)=(-x,1-t)$라 하자. 군 $G_1=\{e,h\}$와 $G_2=\{e,k\}$는 2차 순환군(integers modulo 2)과 동형이며, 둘 다 $X$ 위에서 제대로 불연속으로 작용한다. 그러나 $X/G_1$은 $X$와 위상동형이고, $X/G_2$는 뫼비우스의 띠(Möbius band)와 위상동형임을 확인할 수 있다.