80. The Universal Covering Space

$p : E \to B$ 를 $p (e_{0}) = b_{0}$ 인 덮개 사상(covering map)이라 하자. 만약 $E$ 가 단일 연결(simply connected)이면, $E$ 는 $B$ 의 보편 덮개 공간(universal covering space) 이라 불린다. $π_{1} (E, e_{0})$ 가 자명군이므로, 이 덮개 공간은 이전 절에서 정의한 대응 관계에 따라 $π_{1} (B, b_{0})$ 의 자명한 부분군에 대응된다. 따라서 정리 79.4는 $B$ 의 임의의 두 보편 덮개 공간은 동치임을 함의한다. 이러한 이유로, 우리는 종종 주어진 공간 $B$ 의 “그” 보편 덮개 공간에 대해 말한다. 모든 공간이 보편 덮개 공간을 갖는 것은 아니며, 이는 곧 보게 될 것이다. 지금은 일단 $B$ 가 보편 덮개 공간을 갖는다고 가정하고, 이 가정으로부터 몇 가지 결론을 도출할 것이다.

우선 두 개의 예비 보조정리를 증명한다.

보조정리 80.1

$B$ 가 경로 연결이고 국소 경로 연결이라 하자. $p : E \to B$ 를 이전의 의미에서의 덮개 사상이라 하자 (즉, $E$ 는 경로 연결일 필요가 없다). 만약 $E_{0}$ 가 $E$ 의 경로 성분이면, $p$ 를 제한하여 얻은 사상 $p_{0} : E_{0} \to B$ 는 덮개 사상이다.

증명

먼저 $p_{0}$ 가 전사(surjective)임을 보인다. 공간 $E$ 는 $B$ 와 국소적으로 위상동형이므로, 국소 경로 연결이다. 따라서 $E_{0}$ 는 $E$ 에서 열린 집합이다. 이로부터 $p (E_{0})$ 는 $B$ 에서 열린 집합임을 알 수 있다. 우리는 $p (E_{0})$ 가 $B$ 에서 닫힌 집합이기도 함을 보여, $p (E_{0}) = B$ 임을 보일 것이다.

$p (E_{0})$ 의 폐포에 속하는 $B$ 의 한 점 $x$ 를 생각하자. $p$ 에 의해 고르게 덮이는(evenly covered) $x$ 의 경로 연결 이웃 $U$ 를 택하자. $U$ 가 $p (E_{0})$ 의 점을 포함하므로, $p^{- 1} (U)$ 의 어떤 조각(slice) $V_{α}$ 는 $E_{0}$ 와 만나야 한다. $V_{α}$ 는 $U$ 와 위상동형이므로 경로 연결이다. 따라서 $V_{α}$ 는 $E_{0}$ 에 포함되어야 한다. 그러면 $p (V_{α}) = U$ 는 $p (E_{0})$ 에 포함되므로, 특히 $x \in p (E_{0})$ 이다.

이제 $p_{0} : E_{0} \to B$ 가 덮개 사상임을 보인다. $x \in B$ 가 주어졌을 때, 이전처럼 $x$ 의 이웃 $U$ 를 택하자. $V_{α}$ 가 $p^{- 1} (U)$ 의 조각이면, $V_{α}$ 는 경로 연결이다. 만약 $V_{α}$ 가 $E_{0}$ 와 만난다면, 그것은 $E_{0}$ 에 포함된다. 따라서, $p_{0}^{- 1} (U)$ 는 $E_{0}$ 와 만나는 $p^{- 1} (U)$ 의 조각 $V_{α}$ 들의 합집합과 같다. 이들 각각은 $E_{0}$ 에서 열린 집합이며, $p_{0}$ 에 의해 $U$ 위로 위상동형적으로 사상된다. 따라서 $U$ 는 $p_{0}$ 에 의해 고르게 덮인다.

보조정리 80.2

$p, q, r$ 이 다음 다이어그램과 같이 $p = r \circ q$ 를 만족하는 연속 사상이라 하자.

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "p"'] \arrow[r, "q"] & Y \arrow[dl, "r"] \\
Z &
\end{tikzcd}
}
 
\end{document}

(a) 만약 $p$ 와 $r$ 이 덮개 사상이면, $q$ 도 덮개 사상이다. *(b) 만약 $p$ 와 $q$ 가 덮개 사상이면, $r$ 도 덮개 사상이다.

증명

우리의 관례에 따라, $X, Y, Z$ 는 경로 연결이고 국소 경로 연결이다. $x_{0} \in X$ 라 하고, $y_{0} = q (x_{0})$ 와 $z_{0} = p (x_{0})$ 라 하자.

(a) $p$ 와 $r$ 이 덮개 사상이라 가정하자. 먼저 $q$ 가 전사임을 보인다. $y \in Y$ 가 주어졌을 때, $y_{0}$ 에서 $y$ 로 가는 $Y$ 안의 경로 $\tilde{α}$ 를 택하자. 그러면 $α = r \circ \tilde{α}$ 는 $z_{0}$ 에서 시작하는 $Z$ 안의 경로이다. $α$ 를 $x_{0}$ 에서 시작하는 $X$ 안의 경로 $\tilde{\tilde{α}}$ 로 들어올리자. 그러면 $q \circ \tilde{\tilde{α}}$ 는 $y_{0}$ 에서 시작하는 $α$ 의 $Y$ 로의 들어올림이다. 경로 들어올림의 유일성에 의해, $\tilde{α} = q \circ \tilde{\tilde{α}}$ 이다. 그러면 $q$ 는 $\tilde{\tilde{α}}$ 의 끝점을 $\tilde{α}$ 의 끝점 $y$ 로 사상한다. 따라서 $q$ 는 전사이다.

$y \in Y$ 가 주어졌을 때, $q$ 에 의해 고르게 덮이는 $y$ 의 이웃을 찾는다. $z = r (y)$ 라 하자. $p$ 와 $r$ 이 덮개 사상이므로, $p$ 와 $r$ 양쪽에 의해 고르게 덮이는 $z$ 의 경로 연결 이웃 $U$ 를 찾을 수 있다. 점 $y$ 를 포함하는 $r^{- 1} (U)$ 의 조각을 $V$ 라 하자. 우리는 $V$ 가 $q$ 에 의해 고르게 덮임을 보인다. ${U_{α}}$ 를 $p^{- 1} (U)$ 의 조각들의 집합이라 하자. 이제 $q$ 는 각 집합 $U_{α}$ 를 집합 $r^{- 1} (U)$ 안으로 사상한다. $U_{α}$ 가 연결 공간이므로, $q$ 에 의해 $r^{- 1} (U)$ 의 단일 조각 안으로 사상되어야 한다. 따라서 $q^{- 1} (V)$ 는 $q$ 에 의해 $V$ 안으로 사상되는 조각 $U_{α}$ 들의 합집합과 같다. 각각의 그러한 $U_{α}$ 는 $q$ 에 의해 $V$ 위로 위상동형적으로 사상됨을 쉽게 알 수 있다. $p_{0}, q_{0}, r_{0}$ 를 각각 $p, q, r$ 을 제한하여 얻은 사상이라 하면 다음 다이어그램이 성립한다.

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzcd}
U_\alpha \arrow[d, "p_0"'] \arrow[r, "q_0"] & V \arrow[dl, "r_0"] \\
U &
\end{tikzcd}
}
 
\end{document}

$p_{0}$ 와 $r_{0}$ 가 위상동형사상이므로, $q_{0} = r_{0}^{- 1} \circ p_{0}$ 도 위상동형사상이다.

*(b) 이 결과는 연습문제에서만 사용될 것이다. $p$ 와 $q$ 가 덮개 사상이라 가정하자. $p = r \circ q$ 이고 $p$ 가 전사이므로, $r$ 도 전사이다. $z \in Z$ 가 주어졌을 때, $p$ 에 의해 고르게 덮이는 $z$ 의 경로 연결 이웃 $U$ 를 생각하자. 우리는 $U$ 가 $r$ 에 의해서도 고르게 덮임을 보인다. ${V_{β}}$ 를 $r^{- 1} (U)$ 의 경로 성분들의 집합이라 하자. 이 집합들은 서로소이고 $Y$ 에서 열린 집합이다. 우리는 각 $β$ 에 대해, 사상 $r$ 이 $V_{β}$ 를 $U$ 위로 위상동형적으로 사상함을 보인다.

${U_{α}}$ 를 $p^{- 1} (U)$ 의 조각들의 집합이라 하자. 이들은 서로소이고, 열린 집합이며, 경로 연결이므로, $p^{- 1} (U)$ 의 경로 성분들이다. 이제 $q$ 는 각 $U_{α}$ 를 집합 $r^{- 1} (U)$ 안으로 사상한다. $U_{α}$ 가 연결 공간이므로, $q$ 에 의해 집합 $V_{β}$ 중 하나 안으로 사상되어야 한다. 따라서 $q^{- 1} (V_{β})$ 는 집합 ${U_{α}}$ 의 부분집합의 합집합과 같다. 정리 53.2와 보조정리 80.1은 만약 $U_{α_{0}}$ 가 $q^{- 1} (V_{β})$ 의 경로 성분 중 하나이면, $q$ 를 제한하여 얻은 사상 $q_{0} : U_{α_{0}} \to V_{β}$ 는 덮개 사상임을 함께 함의한다. 특히, $q_{0}$ 는 전사이다. 따라서 $q_{0}$ 는 연속이고, 열린 사상이며, 단사이므로 위상동형사상이다. $p, q, r$ 을 제한하여 얻은 사상들을 생각해보자.

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzcd}[column sep=3.2em, row sep=3.2em]
U_{\alpha_0} \arrow[d, "p_0"'] \arrow[r, "q_0"] & V_{\beta} \arrow[dl, "r_0"] \\
U &
\end{tikzcd}
}
 
\end{document}

$p_{0}$ 와 $q_{0}$ 가 위상동형사상이므로, $r_{0}$ 도 위상동형사상이다.

정리 80.3

$p : E \to B$ 를 $E$ 가 단일 연결인 덮개 사상이라 하자. 임의의 덮개 사상 $r : Y \to B$ 가 주어졌을 때, $r \circ q = p$ 를 만족하는 덮개 사상 $q : E \to Y$ 가 존재한다.

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzcd}[column sep=3.2em, row sep=3.2em]
E \arrow[d, "p"'] \arrow[r, "q"] & Y \arrow[dl, "r"] \\
B &
\end{tikzcd}
}
 
\end{document}

이 정리는 왜 $E$ 가 $B$ 의 보편 덮개 공간이라 불리는지를 보여준다. 즉, $E$ 는 $B$ 의 다른 모든 덮개 공간을 덮기 때문이다.

증명

$b_{0} \in B$ 라 하고, $p (e_{0}) = b_{0}$ 와 $r (y_{0}) = b_{0}$ 를 만족하는 $e_{0}$ 와 $y_{0}$ 를 택하자. $q$ 를 구성하기 위해 보조정리 79.1을 적용한다. 사상 $r$ 은 덮개 사상이고, 조건

p_{*} (π_{1} (E, e_{0})) \subset r_{*} (π_{1} (Y, y_{0}))

은 $E$ 가 단일 연결이므로 자명하게 만족된다. 따라서, $r \circ q = p$ 이고 $q (e_{0}) = y_{0}$ 를 만족하는 사상 $q : E \to Y$ 가 존재한다. 앞선 보조정리에 의해 $q$ 는 덮개 사상이다.

이제 보편 덮개 공간을 갖지 않는 공간의 예를 보인다. 다음 보조정리가 필요하다.

보조정리 80.4

$p : E \to B$ 를 덮개 사상이라 하고, $p (e_{0}) = b_{0}$ 라 하자. 만약 $E$ 가 단일 연결이면, 포함 사상(inclusion) $i : U \to B$ 가 자명한 준동형사상

i_{*} : π_{1} (U, b_{0}) \to π_{1} (B, b_{0})

을 유도하는 $b_{0}$ 의 이웃 $U$ 가 존재한다.

증명

$p$ 에 의해 고르게 덮이는 $b_{0}$ 의 이웃 $U$ 를 택하자. $p^{- 1} (U)$ 를 조각들로 분할하고, $e_{0}$ 를 포함하는 조각을 $U_{α}$ 라 하자. $U$ 에 기반을 둔 고리 $f$ 를 생각하자. $p$ 가 $U_{α}$ 와 $U$ 의 위상동형사상을 정의하므로, 고리 $f$ 는 $e_{0}$ 에 기반을 둔 $U_{α}$ 안의 고리 $\tilde{f}$ 로 들어올려진다. $E$ 가 단일 연결이므로, $\tilde{f}$ 와 상수 고리 사이에 경로 호모토피 $\tilde{F}$ 가 $E$ 에 존재한다. 그러면 $p \circ \tilde{F}$ 는 $f$ 와 상수 고리 사이의 $B$ 안의 경로 호모토피이다.

예제 1

평면에서 우리의 친숙한 “무한 귀걸이(infinite earring)” $X$ 를 생각하자. 만약 $C_{n}$ 이 평면에서 점 $(1/ n, 0)$ 을 중심으로 하는 반지름 $1/ n$ 의 원이라면, $X$ 는 원 $C_{n}$ 들의 합집합이다. $b_{0}$ 를 원점이라 하자. 우리는 $b_{0}$ 의 임의의 이웃 $U$ 에 대해, 포함 사상 $i : U \to X$ 에 의해 유도된 기본군들의 준동형사상이 자명하지 않음을 보인다.

$n$ 이 주어졌을 때, $i \neq = n$ 인 각 원 $C_{i}$ 를 점 $b_{0}$ 로 사상하는 방법으로 얻어지는 수축(retraction) $r : X \to C_{n}$ 이 있다. $C_{n}$ 이 $U$ 에 포함되도록 충분히 큰 $n$ 을 택하자. 그러면 포함 사상에 의해 유도된 다음 준동형사상 다이어그램에서, $j_{*}$ 는 단사이다. 따라서 $i_{*}$ 는 자명할 수 없다.

\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzpicture}
  \node (A) at (0,0)   {$\pi_{1}(C_n,b_0)$};
  \node (B) at (6,0) {$\pi_{1}(X,b_0)$};
  \node (U) at (3,-3) {$\pi_{1}(U,b_0)$};
  \draw[->] (A) -- node[above] {$j_*$} (B);
  \draw[->] (A) -- node[left]  {$k_*$} (U);
  \draw[->] (U) -- node[right] {$i_*$} (B);
\end{tikzpicture}
}
 
\end{document}

이로부터 $X$ 는 경로 연결이고 국소 경로 연결임에도 불구하고 보편 덮개 공간을 갖지 않음을 알 수 있다.

Ray

Explorer