78. Constructing Compact Surfaces

콤팩트 표면에 대한 우리의 분류를 완성하기 위해, 우리는 모든 콤팩트 연결 표면(compact connected surface)이 다각형 영역(polygonal region)의 변들을 쌍으로 붙여서 얻어질 수 있음을 보여야 한다. 우리는 실제로 이것보다 약간 약한 것을 증명할 것인데, 왜냐하면 문제의 표면이 소위 삼각분할(triangulation) 을 갖는다고 가정할 것이기 때문이다. 우리는 이 개념을 다음과 같이 정의한다:

정의

$X$를 콤팩트 하우스도르프 공간(compact Hausdorff space)이라 하자. $X$ 안의 굽은 삼각형(curved triangle) 은 $X$의 부분공간 $A$와 위상동형사상(homeomorphism) $h:T\to A$이며, 여기서 $T$는 평면 안의 닫힌 삼각형 영역(closed triangular region)이다. 만약 $e$가 $T$의 변(edge)이라면, $h(e)$는 $A$의 변 이라 불린다. 만약 $v$가 $T$의 꼭짓점(vertex)이라면, $h(v)$는 $A$의 꼭짓점 이라 불린다. $X$의 삼각분할 은 $X$ 안의 굽은 삼각형들 $A_1,\dots ,A_n$의 모음으로, 그 합집합이 $X$이며, $i\ne j$에 대해 교집합 $A_i\cap A_j$는 비어 있거나, $A_i$와 $A_j$ 모두의 꼭짓점이거나, 또는 둘 모두의 변이다. 더욱이, 만약 $h_i:T_i\to A_i$가 $A_i$와 연관된 위상동형사상이라면, $A_i\cap A_j$가 둘 모두의 변 $e$일 때, 사상 $h_j^{-1}\circ h_i$가 $T_i$의 변 $h_i^{-1}(e)$와 $T_j$의 변 $h_j^{-1}(e)$의 선형 위상동형사상(linear homeomorphism)을 정의하도록 요구한다. 만약 $X$가 삼각분할을 가지면, 삼각분할 가능하다(triangulable) 고 말한다.

모든 콤팩트 표면이 삼각분할 가능하다는 것은 기본적인 정리이다. 그 증명은 길지만 지나치게 어렵지는 않다.

정리 78.1

만약 $X$가 콤팩트 삼각분할 가능한 표면이라면, $X$는 평면 안의 서로소인(disjoint) 삼각형 영역들의 모음으로부터 그 변들을 쌍으로 붙여서 얻은 몫공간(quotient space)과 위상동형이다.

증명

$A_1,\dots ,A_n$을 $X$의 삼각분할이라 하고, 해당하는 위상동형사상을 $h_i:T_i\to A_i$라 하자. 우리는 삼각형 $T_i$들이 서로소라고 가정한다. 그러면 사상 $h_i$들은 합쳐져서 사상 $h:E=T_1\cup \cdots \cup T_n\to X$를 정의하며, 이것은 자동적으로 몫 사상(quotient map)이 된다. ($E$는 콤팩트이고 $X$는 하우스도르프이기 때문이다.) 더욱이, $A_i$와 $A_j$가 변에서 교차할 때마다 사상 $h_j^{-1}\circ h_i$가 선형이므로, $h$는 $T_i$와 $T_j$의 변들을 선형 위상동형사상으로 붙인다.

우리는 두 가지 사실을 증명해야 한다. 첫째, 삼각형 $A_i$의 각 변 $e$에 대해, $A_i\cap A_j=e$인 또 다른 삼각형 $A_j$가 정확히 하나 존재함을 보여야 한다. 이것은 몫 사상 $h$가 삼각형 $T_i$들의 변들을 쌍으로 붙인다는 것을 보여줄 것이다.

두 번째는 조금 덜 명백하다. 만약 교집합 $A_i\cap A_j$가 각자의 꼭짓점 $v$와 같다면, $A_i$에서 시작하여 $A_j$에서 끝나는, $v$를 꼭짓점으로 갖는 삼각형들의 수열이 존재하며, 이 수열에서 각 삼각형과 그 다음 삼각형의 교집합은 각자의 변과 같음을 보여야 한다. 그림을 보라.

만약 이것이 사실이 아니라면, 그림 78.2와 같은 상황이 발생할 수 있다. 여기서, 몫 사상 $h$는 삼각형 $T_i$들의 변들이 어떻게 붙여져야 하는지를 명시하는 것만으로는 지정할 수 없으며, 변들의 붙이기에 의해 강제되지 않을 때 꼭짓점들이 어떻게 동일시되어야 하는지도 나타내야 한다.

1단계. 먼저 두 번째 문제를 다루자. 우리는 공간 $X$가 표면이기 때문에 아래 그림에 나타난 것과 같은 상황이 발생할 수 없음을 보인다.

주어진 $v$에 대해, 꼭짓점 $v$를 갖는 두 삼각형 $A_i$와 $A_j$를, 만약 $A_i$에서 시작하여 $A_j$에서 끝나는, $v$를 꼭짓점으로 갖는 삼각형들의 수열이 존재하며, 각 삼각형과 그 다음 삼각형의 교집합이 각자의 변일 때, 동치(equivalent)라고 정의하자. 만약 동치류가 하나 이상이라면, $B$를 한 동치류에 속하는 삼각형들의 합집합이라 하고 $C$를 나머지들의 합집합이라 하자. $B$에 있는 어떤 삼각형도 $C$에 있는 삼각형과 변을 공유하지 않으므로, 집합 $B$와 $C$는 $v$에서만 교차한다. 우리는 $X$ 안의 $v$의 모든 충분히 작은 근방(neighborhood) $W$에 대해, 공간 $W-v$가 비연결(nonconnected)이라는 결론을 내린다.

다른 한편으로, 만약 $X$가 표면이라면, $v$는 ${\mathbb{R}}^2$의 열린 2-공(open 2-ball)과 위상동형인 근방을 갖는다. 이 경우, $v$는 $W-v$가 연결(connected)인 임의로 작은 근방 $W$들을 갖는다.

2단계. 이제 첫 번째 질문을 다루자. 이것은 조금 더 작업이 필요하다. 먼저, 삼각형 $A_i$의 변 $e$가 주어졌을 때, $e$를 변으로 갖는 적어도 하나의 추가적인 삼각형 $A_j$가 존재함을 보인다. 이것은 다음 결과의 귀결이다:

만약 $X$가 평면 안의 삼각형 영역이고 $x$가 $X$의 변들 중 하나의 내점(interior point)이라면, $x$는 $X$ 안에서 열린 2-공과 위상동형인 근방을 갖지 않는다.

이 사실을 증명하기 위해, 우리는 $x$가 $W-x$가 단일 연결(simply connected)인 임의로 작은 근방 $W$들을 가짐에 주목한다. 실제로, 만약 $W$가 작은 $ϵ$에 대해 $X$ 안의 $x$의 $ϵ$-근방이라면, $W-x$가 한 점으로 축약 가능하다(contractible)는 것을 쉽게 알 수 있다. 아래 그림을 보라.

다른 한편으로, $x$가 ${\mathbb{R}}^2$의 열린 공과 위상동형인 근방 $U$를 갖는다고 가정하자. 위상동형사상이 $x$를 $0$으로 보낸다고 하자. 우리는 $x$가 $W-x$가 단일 연결인 임의로 작은 근방 $W$들을 갖지 않음을 보인다. 실제로, $B$를 원점을 중심으로 하는 ${\mathbb{R}}^2$의 열린 단위 공이라 하고, $V$가 $B$에 포함된 $0$의 어떤 근방이라 하자. $0$을 중심으로 하는 반지름 $ϵ$의 열린 공 $B_{ϵ}$이 $V$에 놓이도록 $ϵ$을 선택하고, 다음 포함 사상들을 고려하자.

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document}
\Large
\begin{tikzpicture}
  \matrix (m) [matrix of math nodes, row sep=4em, column sep=6em]{
    B_{\epsilon}\!-\!\mathbf{0} & & B\!-\!\mathbf{0} \\
    & V\!-\!\mathbf{0} & \\
  };
  \draw[->] (m-1-1) -- node[above] {$i$} (m-1-3);
  \draw[->] (m-1-1) -- node[pos=.5, above] {$j$} (m-2-2);
  \draw[->] (m-2-2) -- node[pos=.5, above] {$k$} (m-1-3);
\end{tikzpicture}
\end{document}

포함 사상 $i$는 위상동형사상 $h(x)=x/ϵ$과 호모토픽(homotopic)이므로, 이는 기본 군들의 동형사상을 유도한다. 따라서, $k_{\ast }$는 전사(surjective)이다. 이로부터 $V-0$은 단일 연결일 수 없다는 결론이 나온다. 아래 그림을 보라.

3단계. 이제 우리는 삼각형 $A_i$의 변 $e$가 주어졌을 때, $e$를 변으로 갖는 추가적인 삼각형 $A_j$가 하나 이하임을 보인다. 이것은 다음 결과의 귀결이다:

$X$를 ${\mathbb{R}}^3$에서 공통 변 $e$에서만 각 쌍이 교차하는 $k$개의 삼각형들의 합집합이라 하자. $x$를 $e$의 내점이라 하자. 만약 $k\ge 3$이면, $x$는 $X$ 안에서 열린 2-공과 위상동형인 근방을 갖지 않는다.

우리는 $X$ 안의 $x$의 어떤 근방 $W$도 $W-x$가 아벨 기본 군(abelian fundamental group)을 갖지 않음을 보인다. 이로부터 $x$의 어떤 근방도 열린 2-공과 위상동형일 수 없다는 결론이 나온다.

시작하기 위해, $A$를 $e$와 다른 $X$의 삼각형들의 모든 변들의 합집합이라 하면, $A$의 기본 군이 아벨 군이 아님을 보인다. 공간 $A$는 그들의 끝점에서만 각 쌍이 교차하는 $k$개의 호(arcs)들의 모음의 합집합이다. 만약 $B$가 $A$를 구성하는 세 개의 호의 합집합이라면, $B$에 있지 않은 각 호를 $B$에 있는 호 중 하나 위로 끝점을 고정한 채 위상동형적으로 사상함으로써 얻어지는 $A$에서 $B$로의 축약(retraction) $r$이 존재한다. 그러면 $r_{\ast }$는 전사 동형사상(epimorphism)이다. $B$의 기본 군이 아벨 군이 아니므로(§70의 예제 1 또는 §58의 예제 3에 의해), $A$의 기본 군도 마찬가지이다.

$A$가 $X-x$의 변형 축약(deformation retract)임을 쉽게 알 수 있으므로, $X-x$의 기본 군이 아벨 군이 아니라는 결론이 나온다. 그림 78.5를 보라.

이제 우리의 결과를 증명한다. 편의상, $x$가 ${\mathbb{R}}^3$의 원점이라고 가정하자. 만약 $W$가 0의 임의의 근방이라면, $X$를 $W$ 안으로 보내는 “축소 사상” $f(x)=ϵx$를 찾을 수 있다. 공간 $X^{\prime }=f(X)$는 $W$ 내부에 놓인 $X$의 복사본이다. 다음 포함 사상들을 고려하자.

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
 
\begin{document}
\Large
\begin{tikzpicture}
  \matrix (m) [matrix of math nodes, row sep=4em, column sep=6em]{
    X_{\epsilon}\!-\!\mathbf{0} & & X\!-\!\mathbf{0} \\
    & W\!-\!\mathbf{0} & \\
  };
  \draw[->] (m-1-1) -- node[above] {$i$} (m-1-3);
  \draw[->] (m-1-1) -- node[pos=.5, above] {$j$} (m-2-2);
  \draw[->] (m-2-2) -- node[pos=.5, above] {$k$} (m-1-3);
\end{tikzpicture}
\end{document}

포함 사상 $i$는 위상동형사상 $h(x)=x/ϵ$과 호모토픽이므로, 기본 군들의 동형사상을 유도한다. 이로부터 $k_{\ast }$가 전사임이 따라 나오므로, $W-0$의 기본 군은 아벨 군일 수 없다.

정리 78.2

만약 $X$가 콤팩트 연결 삼각분할 가능한 표면이라면, $X$는 평면의 다각형 영역으로부터 그 변들을 쌍으로 붙여서 얻은 공간과 위상동형이다.

증명

앞선 정리로부터, 평면 안의 삼각형 영역들의 모음 $T_1,\dots ,T_n$과 그 변들의 방향 및 표지 달기가 존재하며, 여기서 각 표지는 전체 표지 달기 계획에 정확히 두 번 나타나고, $X$는 이 표지 달기 계획에 의해 이 영역들로부터 얻어진 몫공간과 위상동형이라는 결론이 나온다.

우리는 §76의 붙이기 연산을 적용한다. 만약 두 삼각형 영역이 같은 표지를 가진 변들을 갖는다면, 우리는 (필요하다면 영역 중 하나를 뒤집은 후) 이 두 변을 따라 영역들을 붙일 수 있다. 그 결과는 두 삼각형 영역을 단일 사변형 다각형 영역으로 대체하는 것이며, 그 변들은 여전히 방향과 표지를 갖는다. 우리는 유사하게 계속한다. 같은 표지를 가진 변들을 갖는 두 영역이 있는 한, 이 과정은 계속될 수 있다.

결국, 우리는 단일 다각형 영역을 갖게 되는 상황에 도달하거나, 이 경우 정리가 증명되며, 또는 여러 다각형 영역을 갖게 되는데, 그 중 어떤 두 영역도 같은 표지를 가진 변을 갖지 않는 상황에 도달한다. 그러한 경우, 표시된 변들의 붙이기를 수행하여 형성된 공간은 연결되어 있지 않다. 사실, 각 영역은 이 공간의 한 연결 성분(component)을 낳는다. 공간 $X$가 연결되어 있으므로, 이 상황은 발생할 수 없다.