77. The Classification Theorem

우리는 이 절에서 표면에 대한 우리 분류 정리의 기하학적 부분을 증명한다. 우리는 다각형 영역(polygonal region)의 변들을 쌍으로 붙여서 얻은 모든 공간이 $S^2$나, $n$겹 원환면(n-fold torus) $T_n$이나, 또는 $m$겹 사영 평면(m-fold projective plane) $P_m$ 중 하나와 위상동형(homeomorphic)임을 보인다. 나중에 우리는 모든 콤팩트 표면(compact surface)이 이런 방식으로 얻어질 수 있다는 문제를 논의할 것이다.

$w_1,\dots ,w_k$가 다각형 영역 $P_1,\dots ,P_k$에 대한 라벨링 계획(labelling scheme)이라 하자. 만약 각 라벨링이 이 계획에 정확히 두 번 나타나면, 우리는 그것을 적절한 라벨링 계획(proper labelling scheme) 이라 부른다. 다음의 중요한 사실에 주목하자:

적절한 계획에 어떤 기본 연산(elementary operation)을 적용하더라도, 또 다른 적절한 계획을 얻는다.

정의

$w$를 단일 다각형 영역에 대한 적절한 라벨링 계획이라 하자. 만약 그 안의 각 라벨링이 한 번은 지수 $+1$로 나타나고 한 번은 지수 $-1$로 나타나면, $w$를 원환면 유형(torus type) 이라 말한다. 그렇지 않으면, $w$를 사영 유형(projective type) 이라 말한다.

우리는 사영 유형의 계획 $w$를 고려하는 것부터 시작한다. 우리는 $w$가 같은 지수를 가진 모든 라벨링들이 쌍을 이루어 계획의 시작 부분에 나타나는 (같은 길이의) 계획과 동치임을 보일 것이다. 즉, $w$는

$$(a_1{a}_1)(a_2{a}_2)\cdots (a_k{a}_k)w_1$$

형태의 계획과 동치이며, 여기서 $w_1$은 원환면 유형이거나 비어있다.

$w$가 사영 유형이므로, $w$에 있는 두 번의 등장이 모두 같은 지수를 갖는 라벨링, 가령 $a$가 적어도 하나 존재한다. 따라서, 우리는 $w$가

$$w=y_{0}a{y}_{1}a{y}_2$$

형태를 갖는다고 가정할 수 있으며, 여기서 $y_i$ 중 일부는 비어 있을 수 있다. 이 표현에서 시각적 편의를 위해 괄호를 삽입하여,

$$w=[y_0]a[y_1]a[y_2]$$

로 쓸 것이다. 우리는 다음 결과를 갖는다:

보조정리 77.1

$w$가

$$w=[y_0]a[y_1]a[y_2]$$

형태의 적절한 계획이라 하자. 여기서 $y_i$ 중 일부는 비어 있을 수 있다. 그러면

$$w\sim aa[y_0{y}_1^{-1}{y}_2]$$

라는 동치 관계가 성립하며, 여기서 $y_1^{-1}$은 $y_1$의 형식적 역(formal inverse)을 나타낸다.

증명

1단계. 먼저 $y_0$가 비어 있는 경우를 고려한다. 우리는

$$a[y_1]a[y_2]\sim aa[y_1^{-1}{y}_2]$$

임을 보인다. 만약 $y_1$이 비어 있으면 이 결과는 즉각적이며, 만약 $y_2$가 비어 있으면 뒤집기(flipping), 순열(permuting), 라벨링 바꾸기(relabelling)에 의해 따라 나온다. 만약 둘 다 비어 있지 않다면, 그림에 나타난 자르고 붙이기(cutting and pasting) 논증을 적용하고, 그 후에 라벨링을 바꾼다. 관련된 기본 연산의 순서를 적는 것은 독자에게 맡긴다.

2단계. 이제 일반적인 경우를 고려한다. $w=[y_0]a[y_1]a[y_2]$라 하고, 여기서 $y_0$는 비어 있지 않다. 만약 $y_1$과 $y_2$가 모두 비어 있다면, 보조정리는 순열에 의해 따라 나온다.

그렇지 않으면, 그림에 나타난 자르고 붙이기 논증을 적용하여

$$w\sim b[y_2]b[y_1{y}_0^{-1}]$$

임을 보인다. 이로부터

$$\begin{array}{rlrl}w& \sim bb[y_2^{-1}{y}_1{y}_0^{-1}]& & \text{by Step 1}\\ & \sim [y_0{y}_1^{-1}{y}_2]b^{-1}{b}^{-1}& & \text{by flipping}\\ & \sim aa[y_0{y}_1^{-1}{y}_2]& & \text{by permuting and relabelling}\end{array}$$

이 성립한다.

보조정리 77.2

만약 $w$가 사영 유형의 계획이라면, $w$는

$$(a_1{a}_1)(a_2{a}_2)\cdots (a_k{a}_k)w_1$$

형태의 같은 길이를 갖는 계획과 동치이며, 여기서 $k\ge 1$이고 $w_1$은 비어 있거나 원환면 유형이다.

증명

계획 $w$는

$$w=[y_0]a[y_1]a[y_2]$$

형태로 쓸 수 있다. 그러면 앞선 보조정리는 $w$가 $w$와 같은 길이를 갖는 $w^{\prime }=aa{w}_1$ 형태의 계획과 동치임을 암시한다. 만약 $w_1$이 원환면 유형이면, 증명은 끝난다. 그렇지 않으면, $w^{\prime }$를

$$w^{\prime }=aa[z_0]b[z_1]b[z_2]=[aa{z}_0]b[z_1]b[z_2]$$

형태로 쓸 수 있다. 앞선 보조정리를 다시 적용하면, $w^{\prime }$가

$$w^{\prime \prime }=bb[aa{z}_0{z}_1^{-1}{z}_2]=bbaa{w}_2$$

형태의 계획 $w^{\prime \prime }$과 동치라고 결론 내릴 수 있으며, 여기서 $w^{\prime \prime }$은 $w$와 같은 길이를 갖는다. 만약 $w_2$가 원환면 유형이면, 증명은 끝난다. 그렇지 않으면, 논증을 유사하게 계속한다.

앞선 보조정리로부터, 만약 $w$가 다각형 영역에 대한 적절한 라벨링 계획이라면, (1) $w$는 원환면 유형이거나, (2) $w$는 $(a_1{a}_1)\cdots (a_k{a}_k)w_1$ 형태의 계획과 동치이며, 여기서 $w_1$은 원환면 유형이거나, (3) $w$는 $(a_1{a}_1)\cdots (a_k{a}_k)$ 형태의 계획과 동치이다. 경우 (3)에서는, 그러한 계획은 사영 평면들의 연결합을 나타내므로 증명이 끝난다. 따라서 경우 (1)과 (2)를 고려하자.

이 시점에서, 만약 $w$가 경우 (1) 또는 (2)에 나타난 형태이고 길이가 4보다 크며, 같은 라벨링을 가지지만 반대 지수를 갖는 두 인접한 항을 포함한다면, 상쇄 연산이 적용되어 $w$를 더 짧은 계획으로 줄일 수 있으며, 이 역시 경우 (1), (2), 또는 (3)에 나타난 형태이다. 따라서, 우리는 $w$를 길이가 4인 계획이나, 그러한 두 인접한 항을 포함하지 않는 계획으로 줄일 수 있다.

길이가 4인 계획은 나중에 볼 것처럼 다루기 쉽다. 따라서 $w$가 같은 라벨링을 가지지만 반대 지수를 갖는 두 인접한 항을 포함하지 않는다고 가정하자. 그 경우, $w$가 $w$와 같은 길이를 가지며

$$\begin{array}{rl}{w}^{\prime }& =ab{a}^{-1}{b}^{-1}{w}^{\prime \prime }\text{in case (1) or}\\ w^{\prime }& =(a_1{a}_1)\cdots (a_k{a}_k)ab{a}^{-1}{b}^{-1}{w}^{\prime \prime }\text{in case (2)}\end{array}$$

형태를 갖는 계획 $w^{\prime }$과 동치임을 보인다. 여기서 $w^{\prime \prime }$은 원환면 유형이거나 비어있다. 이것이 다음 보조정리의 내용이다.

보조정리 77.3

$w$를 $w=w_0{w}_1$ 형태의 적절한 계획이라 하자. 여기서 $w_1$은 같은 라벨링을 가진 두 인접한 항을 포함하지 않는 원환면 유형의 계획이다. 그러면 $w$는 $w_0{w}_2$ 형태의 계획과 동치이며, 여기서 $w_2$는 $w_1$과 같은 길이를 갖고

$$w_2=ab{a}^{-1}{b}^{-1}{w}_3$$

형태를 갖는다. 여기서 $w_3$은 원환면 유형이거나 비어있다.

증명

이것은 이 절에서 가장 정교한 증명이다; 세 번의 자르고 붙이기가 포함된다. 우리는 먼저, 라벨링과 지수를 바꾸면 필요에 따라 $w$를

$$w=w_0[y_1]a[y_2]b[y_3]a^{-1}[y_4]b^{-1}[y_5](\ast )$$

형태로 쓸 수 있음을 보인다. 여기서 $y_i$ 중 일부는 비어 있을 수 있다.

$w_1$에 나타나는 라벨링들 중에서, (물론 반대 지수를 가진) 두 번의 등장이 가능한 한 서로 가까이 있는 라벨링 $a$를 택하자. 이 등장들은 가정에 의해 인접하지 않다. 필요하다면 지수를 바꾸어, 항 $a$가 먼저 나타나고 항 $a^{-1}$이 두 번째로 나타난다고 가정할 수 있다. $a$와 $a^{-1}$ 사이에 나타나는 어떤 라벨링 $b$를 택하고, 그 지수가 $+1$이라고 가정할 수 있다. 이제 항 $b^{-1}$은 $w_1$에 나타나지만, $a$와 $a^{-1}$이 가능한 한 가깝기 때문에 이 둘 사이에는 나타날 수 없다. 만약 $b^{-1}$이 $a^{-1}$ 뒤에 나타난다면, 증명은 끝난다. 만약 그것이 $a$ 앞에 나타난다면, 우리가 해야 할 일은 $b$ 항들의 지수를 바꾸고, 그 다음 라벨링 $a$와 $b$를 바꾸어 원하는 형태의 계획을 얻는 것이다.

따라서 $w$가 $(\ast )$ 형태를 갖는다고 가정하자.

첫 번째 자르고 붙이기. $w$가 계획

$$w^{\prime }=w_{0}a[y_2]b[y_3]a^{-1}[y_1{y}_4]b^{-1}[y_5]$$

와 동치임을 보인다. 이 결과를 증명하기 위해, $w$를

$$w=w_0[y_1]a[y_{2}b{y}_3]a^{-1}[y_4{b}^{-1}{y}_5]$$

형태로 다시 쓴다. 그 다음 그림 77.3에 나타난 자르고 붙이기 논증을 적용하여

$$w\sim w_{0}c[y_{2}b{y}_3]c^{-1}[y_1{y}_4{b}^{-1}{y}_5]\sim w_{0}a[y_2]b[y_3]a^{-1}[y_1{y}_4]b^{-1}[y_5]$$

라고 결론짓는다. 이는 라벨링을 바꾼 것이다. $c$에서의 자르기는 결과적인 두 다각형이 모두 적어도 세 개의 변을 가지기 때문에 가능하다는 점에 주목하자.

두 번째 자르고 붙이기.

$$w^{\prime }=w_{0}a[y_2]b[y_3]a^{-1}[y_1{y}_4]b^{-1}[y_5]$$

가 주어졌을 때, $w^{\prime }$이 계획

$$w^{\prime \prime }=w_{0}a[y_1{y}_4{y}_3]b{a}^{-1}{b}^{-1}[y_2{y}_5]$$

와 동치임을 보인다. 만약 모든 계획 $y_1,y_4,y_5$와 $w_0$가 비어 있다면, 논증은 쉽다. 왜냐하면 그 경우

$$\begin{array}{rlrl}{w}^{\prime }& =a[y_2]b[y_3]a^{-1}{b}^{-1}& & \\ & \sim b[y_3]a^{-1}{b}^{-1}a[y_2]& & \text{by permuting}\\ & \sim a[y_3]b{a}^{-1}{b}^{-1}[y_2]& & \text{by relabelling}\\ & =w^{\prime \prime }& & \end{array}$$

이기 때문이다. 그렇지 않으면, 그림에 나타난 논증을 적용하여

$$\begin{array}{rl}{w}^{\prime }& =w_{0}a[y_2]b[y_3]a^{-1}[y_1{y}_4]b^{-1}[y_5]\\ & \sim w_{0}c[y_1{y}_4{y}_3]a^{-1}{c}^{-1}a[y_2{y}_5]\\ & \sim w_{0}a[y_1{y}_4{y}_3]b{a}^{-1}{b}^{-1}[y_2{y}_5]\end{array}$$

라고 결론짓는다. 이는 라벨링을 바꾼 것이다.

세 번째 자르고 붙이기. 증명을 완성한다.

$$w^{\prime \prime }=w_{0}a[y_1{y}_4{y}_3]b{a}^{-1}{b}^{-1}[y_2{y}_5]$$

가 주어졌을 때, $w^{\prime \prime }$이 계획

$$w^{\prime \prime \prime }=w_{0}ab{a}^{-1}{b}^{-1}[y_1{y}_4{y}_3{y}_2{y}_5]$$

와 동치임을 보인다. 만약 계획 $w_0,y_5,y_2$가 비어 있다면, 논증은 쉽다. 왜냐하면 그 경우

$$\begin{array}{rlrl}{w}^{\prime \prime }& =a[y_1{y}_4{y}_3]b{a}^{-1}{b}^{-1}& & \\ & \sim b{a}^{-1}{b}^{-1}a[y_1{y}_4{y}_3]& & \text{by permuting}\\ & \sim ab{a}^{-1}{b}^{-1}[y_1{y}_4{y}_3]& & \text{by relabelling}\\ & =w^{\prime \prime \prime }& & \end{array}$$

이기 때문이다. 그렇지 않으면, 그림에 나타난 논증을 적용하여

$$\begin{array}{rl}{w}^{\prime \prime }& =w_{0}a[y_1{y}_4{y}_3]b{a}^{-1}{b}^{-1}[y_2{y}_5]\\ & \sim w_{0}c{a}^{-1}{c}^{-1}a[y_1{y}_4{y}_3{y}_2{y}_5]\\ & \sim w_{0}ab{a}^{-1}{b}^{-1}[y_1{y}_4{y}_3{y}_2{y}_5]\end{array}$$

라고 결론짓는다. 이는 라벨링을 바꾼 것이며 원하는 결과이다.

분류 절차의 마지막 단계는 사영 평면들과 원환면들의 연결합이 사영 평면들만의 연결합과 동치임을 보이는 것이다.

보조정리 77.4

$w$를

$$w=w_0(cc)(ab{a}^{-1}{b}^{-1})w_1$$

형태의 적절한 계획이라 하자. 그러면 $w$는 계획

$$w^{\prime }=w_0(aabbcc)w_1$$

과 동치이다.

증명

적절한 계획에 대해

$$[y_0]a[y_1]a[y_2]\sim aa[y_0{y}_1^{-1}{y}_2](\ast )$$

가 성립함을 보조정리 77.1에서 상기하자. 우리는 다음과 같이 진행한다:

$$\begin{array}{rlrl}w& \sim (cc)(ab{a}^{-1}{b}^{-1})w_1{w}_0& & \text{by permuting}\\ & =cc[ab][ba{]}^{-1}[w_1{w}_0]& & \\ & \sim [ab]c[ba]c[w_1{w}_0]& & \text{by }(\ast )\text{ read backwards}\\ & =[a]b[c]b[ac{w}_1{w}_0]& & \\ & \sim bb[a{c}^{-1}ac{w}_1{w}_0]& & \text{by }(\ast )\\ & =[bb]a[c{]}^{-1}a[c{w}_1{w}_0]& & \\ & \sim aa[bbcc{w}_1{w}_0]& & \text{by }(\ast )\\ & \sim w_{0}aabbcc{w}_1& & \text{by permuting}\end{array}$$

정리 77.5 (분류 정리, The classification theorem)

$X$가 평면의 다각형 영역으로부터 그 변들을 쌍으로 붙여서 얻은 몫공간이라 하자. 그러면 $X$는 $S^2$, $n$겹 원환면 $T_n$, 또는 $m$겹 사영 평면 $P_m$ 중 하나와 위상동형이다.

증명

$w$를 공간 $X$를 다각형 영역 $P$로부터 형성하는 라벨링 계획이라 하자. 그러면 $w$는 길이가 최소 4인 적절한 계획이다. 우리는 $w$가 다음 계획들 중 하나와 동치임을 보인다:

1. $a{a}^{-1}b{b}^{-1}$
2. $abab$
3. $(a_1{a}_1)(a_2{a}_2)\cdots (a_m{a}_m)$ (단, $m\ge 2$)
4. $(a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1})(a_2{b}_2{a}_2^{-1}{b}_2^{-1})\cdots (a_n{b}_n{a}_n^{-1}{b}_n^{-1})$ (단, $n\ge 1$)

첫 번째 계획은 §74의 예제 2와 4에서 언급했듯이 공간 $S^2$를, 두 번째 계획은 공간 $P^2$를 낳는다. 세 번째는 공간 $P_m$으로, 네 번째는 공간 $T_n$으로 이어진다.

1단계. $w$를 원환면 유형의 적절한 계획이라 하자. 우리는 $w$가 계획 (1) 또는 계획 (4) 유형 중 하나와 동치임을 보인다. 만약 $w$의 길이가 4라면, 이는

$$a{a}^{-1}b{b}^{-1}\text{or}ab{a}^{-1}{b}^{-1}$$

형태 중 하나로 쓰여질 수 있다. 첫 번째는 (1) 유형이고 두 번째는 (4) 유형이다. 우리는 $w$의 길이에 대한 귀납법으로 진행한다. $w$의 길이가 4보다 크다고 가정하자. 만약 $w$가 더 짧은 원환면 유형의 계획과 동치라면, 귀납적 가정이 적용된다. 그렇지 않으면, 우리는 $w$가 같은 라벨링을 가진 인접한 두 항을 포함하지 않음을 안다. 우리는 보조정리 77.3 (단, $w_0$는 비어 있음)을 적용하여 $w$가

$$ab{a}^{-1}{b}^{-1}{w}_3$$

형태의 $w$와 같은 길이를 갖는 계획과 동치라고 결론 내린다. 여기서 $w_3$은 원환면 유형이다. $w$의 길이가 4보다 크므로 $w_3$은 비어 있지 않다. 다시, $w$가 더 짧은 원환면 유형의 계획과 동치이지 않으므로, $w_3$은 같은 라벨링을 가진 두 인접한 항을 포함할 수 없다. 보조정리를 다시 적용하면, $w_0=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$로 하여, $w$가

$$(ab{a}^{-1}{b}^{-1})(cd{c}^{-1}{d}^{-1})w_4$$

형태의 계획과 동치라고 결론 내린다. 여기서 $w_4$는 비어 있거나 원환면 유형이다. 만약 $w_4$가 비어 있다면, 증명은 끝난다. 그렇지 않으면, 보조정리를 다시 적용한다. 유사하게 계속한다.

2단계. 이제 $w$를 사영 유형의 적절한 계획이라 하자. 우리는 $w$가 계획 (2) 또는 계획 (3) 유형 중 하나와 동치임을 보인다. 만약 $w$의 길이가 4라면, 보조정리 77.2는 $w$가 계획 $aabb$ 또는 $aa{b}^{-1}b$ 중 하나와 동치임을 암시한다. 첫 번째는 (3) 유형이다. 두 번째는 $y_1=y_2=b$인 $aa{y}_1^{-1}{y}_2$ 형태로 쓸 수 있다. 그러면 보조정리 77.1은 그것이 계획 $a{y}_{1}a{y}_2=abab$와 동치임을 암시하며, 이는 (2) 유형이다. 우리는 $w$의 길이에 대한 귀납법으로 진행한다. $w$의 길이가 4보다 크다고 가정하자. 보조정리 77.2는 $w$가

$$w^{\prime }=(a_1{a}_1)\cdots (a_k{a}_k)w_1$$

형태의 계획과 동치라고 말한다. 여기서 $k\ge 1$이고 $w_1$은 원환면 유형이거나 비어있다. 만약 $w_1$이 비어 있다면, 증명은 끝난다. 만약 $w_1$이 같은 라벨링을 가진 두 인접한 항을 가진다면, $w^{\prime }$는 더 짧은 사영 유형의 계획과 동치이며 귀납적 가정이 적용된다. 그렇지 않으면, 보조정리 77.3은 $w^{\prime }$가

$$w^{\prime \prime }=(a_1{a}_1)\cdots (a_k{a}_k)ab{a}^{-1}{b}^{-1}{w}_2$$

형태의 계획과 동치라고 말한다. 여기서 $w_2$는 비어 있거나 원환면 유형이다. 그러면 우리는 보조정리 77.4를 적용하여 $w^{\prime \prime }$이 계획

$$(a_1{a}_1)\cdots (a_k{a}_k)aabb{w}_2$$

와 동치라고 결론 내린다. 우리는 유사하게 계속한다. 결국 우리는 (3) 유형의 계획에 도달한다.