69. Free Groups

$G$를 군이라 하고, $\{a_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 $G$의 원소들의 족이라고 하자. $G$의 모든 원소가 $a_{\alpha }$ 원소들의 거듭제곱의 곱으로 쓰일 수 있을 때, 원소 $\{a_{\alpha }\}$들이 $G$를 생성한다(generate)고 말한다. 만약 족 $\{a_{\alpha }\}$가 유한하다면, $G$는 유한 생성(finitely generated)되었다고 말한다.

정의

$\{a_{\alpha }\}$를 군 $G$의 원소들의 족이라고 하자. 각 $a_{\alpha }$가 $G$의 무한 순환 부분군(infinite cyclic subgroup) $G_{\alpha }$를 생성한다고 가정하자. 만약 $G$가 군 $\{G_{\alpha }\}$들의 자유 곱(free product)이라면, $G$는 자유 군 (free group)이라고 하며, 족 $\{a_{\alpha }\}$는 $G$의 자유 생성원계 (system of free generators)라고 한다.

이 경우, $G$의 각 원소 $x$에 대해, $x$를 나타내는 군 $G_{\alpha }$의 원소들로 이루어진 유일한 축소된 단어(reduced word)가 존재한다. 이는 $x\ne 1$이라면, $x$가 유일하게 다음과 같은 형태로 쓰일 수 있음을 의미한다.

$$x=(a_{{\alpha }_1}{)}^{n_1}\cdots (a_{{\alpha }_k}{)}^{n_k}$$

여기서 ${\alpha }_i\ne {\alpha }_{i+1}$이고 각 $i$에 대해 $n_i\ne 0$이다. (물론, $n_i$는 음수일 수 있다.)

자유 군은 다음 확장 속성(extension property)으로 특징지어진다.

보조정리 69.1

$G$를 군이라 하고, $\{a_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 $G$의 원소들의 족이라고 하자. 만약 $G$가 자유 생성원계 $\{a_{\alpha }\}$를 가지는 자유 군이라면, $G$는 다음 조건을 만족한다:

임의의 군 $H$와 임의의 $H$의 원소들의 족 $\{y_{\alpha }\}$가 주어졌을 때, 각 $\alpha$에 대해 $h(a_{\alpha })=y_{\alpha }$를 만족하는 준동형사상 $h:G\to H$가 존재한다. ($\ast$)

더욱이, $h$는 유일하다. 역으로, 확장 조건 ($\ast$)가 성립하면, $G$는 자유 생성원계 $\{a_{\alpha }\}$를 가지는 자유 군이다.

증명

만약 $G$가 자유 군이라면, 각 $\alpha$에 대해 $a_{\alpha }$에 의해 생성된 군 $G_{\alpha }$는 무한 순환군이므로, $h_{\alpha }(a_{\alpha })=y_{\alpha }$를 만족하는 준동형사상 $h_{\alpha }:G_{\alpha }\to H$가 존재한다. 그러면 보조정리 68.1이 적용된다. 역을 증명하기 위해, 고정된 첨수 $\beta$가 있다고 하자. 가정에 의해, $h(a_{\beta })=1$이고 $\alpha \ne \beta$에 대해 $h(a_{\alpha })=0$인 준동형사상 $h:G\to \mathbb{Z}$가 존재한다. 이로부터 군 $G_{\beta }$가 무한 순환군임이 따라 나온다. 그러면 보조정리 68.5가 적용된다.

이전 절의 결과들(특히, 보조정리 68.6)은 다음을 의미한다.

정리 69.2

$G=G_1\ast G_2$이고, $G_1$과 $G_2$가 각각 자유 생성원계 $\{a_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$와 $\{a_{\alpha }{\}}_{\alpha \in K}$를 가지는 자유 군이라고 하자. 만약 $J$와 $K$가 서로소이면, $G$는 자유 생성원계 $\{a_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J\cup K}$를 가지는 자유 군이다.

정의

임의의 첨수족 $\{a_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$가 있다고 하자. $G_{\alpha }$를 $n\in \mathbb{Z}$에 대한 $a_{\alpha }^n$ 형태의 모든 기호들의 집합이라고 하자.

$$a_{\alpha }^n\cdot a_{\alpha }^m=a_{\alpha }^{n+m}$$

으로 정의하여 $G_{\alpha }$를 군으로 만든다. 그러면 $a_{\alpha }^0$은 $G_{\alpha }$의 항등원이고, $a_{\alpha }^{-n}$은 $a_{\alpha }^n$의 역원이다. $a_{\alpha }^1$은 간단히 $a_{\alpha }$로 나타낸다. 군 $\{G_{\alpha }\}$들의 외부 자유 곱을 원소 $a_{\alpha }$들에 대한 자유 군 이라고 한다.

$G$가 원소 $a_{\alpha }$들에 대한 자유 군이면, 우리는 보통 표기를 남용하여 외부 자유 곱의 구성에 포함된 단사준동형사상 $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$에 의한 상과 군 $G_{\alpha }$의 원소들을 동일시한다. 그러면 각 $a_{\alpha }$는 $G$의 원소로 취급되며, 족 $\{a_{\alpha }\}$는 $G$에 대한 자유 생성원계를 형성한다.

자유 군과 자유 아벨 군 사이에는 중요한 관계가 있다. 이를 설명하기 위해, 대수학의 교환자 부분군(commutator subgroup) 개념을 상기해야 한다.

정의

$G$를 군이라고 하자. $x,y\in G$일 때, $G$의 원소

$[x,y]=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$

를 $x$와 $y$의 교환자 (commutator)라고 한다. $G$의 모든 교환자들의 집합에 의해 생성된 $G$의 부분군을 $G$의 교환자 부분군 이라고 하며 $[G,G]$로 나타낸다.

다음 결과는 익숙할 수 있지만, 완전성을 위해 증명을 제공한다.

보조정리 69.3

$G$가 주어졌을 때, 부분군 $[G,G]$는 $G$의 정규 부분군이며 몫군 $G/[G,G]$는 아벨 군이다. 만약 $h:G\to H$가 아벨 군 $H$로 가는 임의의 준동형사상이면, $h$의 핵은 $[G,G]$를 포함하므로, $h$는 준동형사상 $k:G/[G,G]\to H$를 유도한다.

증명

1단계. 먼저 교환자의 임의의 켤레가 $[G,G]$에 있음을 보인다. 다음과 같이 계산한다:

$$\begin{array}{rl}g[x,y]g^{-1}& =g(xy{x}^{-1}{y}^{-1})g^{-1}\\ & =(gxy{x}^{-1})(1)(y^{-1}{g}^{-1})\\ & =(gxy{x}^{-1})(g^{-1}{y}^{-1}yg)(y^{-1}{g}^{-1})\\ & =((gx)y(gx{)}^{-1}{y}^{-1})(yg{y}^{-1}{g}^{-1})\\ & =[gx,y]\cdot [y,g]\end{array}$$

이는 원하는 대로 $[G,G]$에 있다.

2단계. $[G,G]$가 $G$의 정규 부분군임을 보인다. $z$를 $[G,G]$의 임의의 원소라고 하자. $z$의 임의의 켤레 $gz{g}^{-1}$ 또한 $[G,G]$에 있음을 보인다. 원소 $z$는 교환자들과 그 역원들의 곱이다. $[x,y{]}^{-1}=(xy{x}^{-1}{y}^{-1}{)}^{-1}=[y,x]$이므로, $z$는 실제로 교환자들의 곱과 같다. $z=z_1\cdots z_n$이라 하자. 여기서 각 $z_i$는 교환자이다. 그러면

$$gz{g}^{-1}=(g{z}_1{g}^{-1})(g{z}_2{g}^{-1})\cdots (g{z}_n{g}^{-1})$$

이는 1단계에 의해 $[G,G]$의 원소들의 곱이므로 $[G,G]$에 속한다.

3단계. $G/[G,G]$가 아벨 군임을 보인다. $G^{\prime }=[G,G]$라고 하자. $(a{G}^{\prime })(b{G}^{\prime })=(b{G}^{\prime })(a{G}^{\prime })$임을 보이고자 한다. 즉, $ab{G}^{\prime }=ba{G}^{\prime }$이다. 이는 $a^{-1}{b}^{-1}ab{G}^{\prime }=G^{\prime }$라는 방정식과 동치이며, 이 방정식은 $a^{-1}{b}^{-1}ab=[a^{-1},b^{-1}]$가 $G^{\prime }$의 원소라는 사실로부터 따라 나온다.

4단계. 증명을 마치기 위해, $H$가 아벨 군이므로 $h$가 각 교환자를 $H$의 항등원으로 보낸다는 점에 유의한다. 따라서 $h$의 핵은 $[G,G]$를 포함하므로, $h$는 원하는 준동형사상 $k$를 유도한다.

정리 69.4

만약 $G$가 자유 생성원 $a_{\alpha }$들을 가지는 자유 군이면, $G/[G,G]$는 $[a_{\alpha }]$를 기저로 가지는 자유 아벨 군이다. 여기서 $[a_{\alpha }]$는 $G/[G,G]$에서 $a_{\alpha }$의 잉여류(coset)를 나타낸다.

증명

보조정리 67.7을 적용한다. 아벨 군 $H$의 임의의 원소들의 족 $\{y_{\alpha }\}$가 주어졌을 때, 각 $\alpha$에 대해 $h(a_{\alpha })=y_{\alpha }$를 만족하는 준동형사상 $h:G\to H$가 존재한다. $H$가 아벨 군이므로, $h$의 핵은 $[G,G]$를 포함한다. 따라서 $h$는 $[a_{\alpha }]$를 $y_{\alpha }$로 보내는 준동형사상 $k:G/[G,G]\to H$를 유도한다.

보조정리 69.5

만약 $G$가 $n$개의 자유 생성원을 가지는 자유 군이면, $G$의 임의의 자유 생성원계는 $n$개의 원소를 가진다.

증명

자유 아벨 군 $G/[G,G]$는 계수 $n$을 가진다.

자유 군의 속성은 여러 면에서 자유 아벨 군의 속성과 유사하다. 예를 들어, $H$가 자유 아벨 군 $G$의 부분군이면, $H$ 자체도 자유 아벨 군이다. (G가 유한 계수를 가지는 경우의 증명은 §67의 연습문제 6에 개요가 나와 있으며, 일반적인 경우의 증명도 비슷하다.) 자유 군에 대해서도 유사한 결과가 성립하지만, 그 증명은 상당히 더 어렵다. 우리는 14장에서 덮개 공간(covering space) 이론에 기반한 증명을 제시할 것이다.

다른 면에서, 자유 군은 자유 아벨 군과 매우 다르다. 계수 $n$의 자유 아벨 군이 주어졌을 때, 임의의 부분군의 계수는 최대 $n$이다. 그러나 자유 군에 대한 유사한 결과는 성립하지 않는다. $G$가 $n$개의 자유 생성원계를 가지는 자유 군일 때, $G$의 부분군에 대한 자유 생성원계의 크기는 $n$보다 클 수 있으며, 심지어 무한할 수도 있다! 우리는 나중에 이 상황을 탐구할 것이다.

생성원과 관계 (Generators and relations)

군론의 기본적인 문제 중 하나는 주어진 두 군이 동형인지 아닌지를 결정하는 것이다. 자유 아벨 군의 경우, 이 문제는 해결되었다. 두 자유 아벨 군은 같은 크기의 기저를 가질 때 그리고 그때에만 동형이다. 비슷하게, 두 자유 군은 그들의 자유 생성원계가 같은 크기를 가질 때 그리고 그때에만 동형이다. (우리는 유한한 크기의 경우에 대해 이 사실들을 증명했다.)

그러나 임의의 군에 대해서는 답이 그렇게 간단하지 않다. 유한 생성된 아벨 군의 경우에만 명확한 답이 있다.

만약 $G$가 아벨 군이고 유한 생성되었다면, $G$가 두 부분군 $H$와 $T$의 직합 $G=H\oplus T$라는 기본 정리가 있다. 여기서 $H$는 유한 계수의 자유 아벨 군이고, $T$는 $G$의 모든 유한 위수 원소들로 구성된 부분군이다. ($T$를 $G$의 꼬임 부분군(torsion subgroup)이라고 한다.) $H$의 계수는 $G$의 꼬임 부분군에 의한 몫군의 계수와 같기 때문에 $G$에 의해 유일하게 결정된다. 이 수는 종종 $G$의 베티 수(betti number)라고 불린다. 더욱이, 부분군 $T$ 자체도 직합이다. 그것은 위수가 소수의 거듭제곱인 유한 순환군들의 유한 직합이다. 이 군들의 위수는 $T$에 의해 (따라서 $G$에 의해) 유일하게 결정되며, $G$의 기본 약수(elementary divisor)라고 불린다. 따라서 $G$의 동형류는 베티 수와 기본 약수를 명시함으로써 완전히 결정된다.

$G$가 아벨 군이 아닐 경우, $G$가 유한 생성되었더라도 상황은 그리 만족스럽지 않다. $G$를 결정하기 위해 무엇을 명시할 수 있을까? 우리가 할 수 있는 최선은 다음과 같다:

$G$가 주어졌을 때, $G$에 대한 생성원 족 $\{a_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$가 주어졌다고 하자. $F$를 원소 $\{a_{\alpha }\}$들에 대한 자유 군이라고 하자. 그러면 $h(a_{\alpha })=a_{\alpha }$라는 명백한 사상은 $F$에서 $G$로 가는 전사 준동형사상 $h:F\to G$로 확장된다. $N$이 $h$의 핵과 같다면, $F/N\cong G$이다. 따라서 $G$를 명시하는 한 가지 방법은 $G$에 대한 생성원 족 $\{a_{\alpha }\}$를 주고, 어떻게든 부분군 $N$을 명시하는 것이다. $N$의 각 원소는 $F$ 위의 관계(relation)라고 불리며, $N$은 관계 부분군(relations subgroup)이라고 불린다. 우리는 $N$에 대한 생성원 집합을 줌으로써 $N$을 명시할 수 있다. 그러나 $N$은 $F$에서 정규이므로, 더 작은 집합으로 $N$을 명시할 수도 있다. 구체적으로, 우리는 $\{r_{\beta }\}$ 원소들을 포함하는 $F$의 최소 정규 부분군이 $N$이 되도록 하는 $F$의 원소들의 족 $\{r_{\beta }\}$를 줌으로써 $N$을 명시할 수 있다. 이 경우, 우리는 족 $\{r_{\beta }\}$를 $G$에 대한 완전한 관계 집합(complete set of relations)이라고 부른다.

$N$의 각 원소는 $F$에 속하므로, 물론 생성원 $\{a_{\alpha }\}$들의 거듭제곱으로 이루어진 유일한 축소된 단어로 표현될 수 있다. $G$의 생성원들에 대한 관계를 말할 때, 우리는 때때로 그것이 나타내는 $N$의 원소 대신 이 축소된 단어를 지칭하기도 한다. 문맥이 의미를 명확하게 할 것이다.

정의

$G$가 군일 때, $G$의 표현 (presentation)은 $G$에 대한 생성원 족 $\{a_{\alpha }\}$와 $G$에 대한 완전한 관계 집합 $\{r_{\beta }\}$로 구성된다. 여기서 각 $r_{\beta }$는 집합 $\{a_{\alpha }\}$에 대한 자유 군의 원소이다. 만약 족 $\{a_{\alpha }\}$가 유한하다면, $G$는 물론 유한 생성된다. 만약 $\{a_{\alpha }\}$와 $\{r_{\beta }\}$ 족이 모두 유한하다면, $G$는 유한 표현되었다 (finitely presented)고 하며, 이 족들은 $G$에 대한 유한 표현 (finite presentation)을 형성한다.

$G$를 명시하는 이 절차는 만족스럽지 않다. $G$에 대한 표현은 동형사상을 제외하고 $G$를 유일하게 결정한다. 그러나 완전히 다른 두 표현이 동형인 군들을 낳을 수 있다. 더욱이, 유한한 경우에도 두 다른 표현으로부터 그들이 결정하는 군들이 동형인지 아닌지를 결정할 효과적인 절차가 없다. 이 결과는 군에 대한 “동형 문제의 비가해성(unsolvability of the isomorphism problem)“으로 알려져 있다.

만족스럽지 않지만, 이것이 우리가 할 수 있는 최선이다!