68. Free Products of Groups

이제 반드시 아벨 군일 필요는 없는 군 $G$를 고려한다. 이 경우, 우리는 $G$를 곱셈으로 표기한다. 우리는 $G$의 항등원을 $1$로, 원소 $x$의 역원을 $x^{-1}$로 나타낸다. 기호 $x^n$은 $x$를 $n$번 곱한 것을, $x^{-n}$은 $x^{-1}$을 $n$번 곱한 것을, $x^0$은 $1$을 나타낸다.

이 절에서는 아벨 군에 대한 직합(direct sum)과 비슷한 역할을 하는 개념을 연구한다. 이를 군의 자유 곱(free product)이라고 한다.

$G$를 군이라고 하자. $\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$가 $G$의 부분군(subgroup)들의 족일 때, $G$의 모든 원소 $x$가 $G_{\alpha }$에 속한 원소들의 유한 곱으로 쓰일 수 있으면, 이 군들이 $G$를 생성한다(generate)고 말한다. 이는 $G_{\alpha }$의 원소들로 이루어진 유한 수열 $(x_1,\dots ,x_n)$이 존재하여 $x=x_1\cdots x_n$임을 의미한다. 이러한 수열을 군 $G_{\alpha }$에서의 단어 (word) (길이 $n$의)라고 하며, $G$의 원소 $x$를 표현한다고 말한다.

가환성(commutativity)이 없기 때문에, $x$의 표현식에서 인자들을 재배열하여 단순군 $G_{\alpha }$에 속하는 인자들을 함께 묶을 수 없다는 점에 유의하자. 그러나, 만약 $x_i$와 $x_{i+1}$이 모두 같은 군 $G_{\alpha }$에 속한다면, 우리는 이들을 함께 묶어 길이 $n-1$의 단어

$$(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i{x}_{i+1},x_{i+2},\dots ,x_n)$$

를 얻을 수 있으며, 이 또한 $x$를 표현한다. 더욱이, 만약 어떤 $x_i$가 $1$과 같다면, 우리는 $x_i$를 수열에서 삭제하여 $x$를 표현하는 더 짧은 단어를 얻을 수 있다.

이러한 축소 연산(reduction operation)을 반복적으로 적용하면, 일반적으로 어떤 군 $G_{\alpha }$도 $y_i$와 $y_{i+1}$을 모두 포함하지 않고, 모든 $i$에 대해 $y_i\ne 1$인 형태 $(y_1,\dots ,y_m)$의 단어로 $x$를 표현할 수 있다. 이러한 단어를 축소된 단어 (reduced word)라고 한다. 그러나 이 논의는 $x$가 $G$의 항등원일 경우에는 적용되지 않는다. 왜냐하면 그 경우, $x$는 $(a,a^{-1})$과 같은 단어로 표현될 수 있으며, 이는 연속적으로 길이 1의 단어 $(a{a}^{-1})$로 축소되고, 그 다음에는 완전히 사라지기 때문이다! 따라서, 우리는 공집합을 항등원을 나타내는 (길이 0의) 축소된 단어로 간주하는 관례를 만든다. 이 관례를 사용하면, 군 $G_{\alpha }$들이 $G$를 생성할 경우, $G$의 모든 원소는 군 $G_{\alpha }$의 원소들로 이루어진 축소된 단어로 표현될 수 있다.

$(x_1,\dots ,x_n)$과 $(y_1,\dots ,y_m)$이 각각 $x$와 $y$를 나타내는 단어라면, $(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)$은 $xy$를 나타내는 단어이다. 처음 두 단어가 축소된 단어라 할지라도, 어떤 군 $G_{\alpha }$도 $x_n$과 $y_1$을 모두 포함하지 않는 한, 세 번째 단어는 축소된 단어가 아닐 것이다.

정의

$G$를 군이라 하고, $\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 $G$를 생성하는 $G$의 부분군들의 족이라고 하자. $\alpha \ne \beta$일 때마다 $G_{\alpha }\cap G_{\beta }$가 항등원만으로 구성된다고 가정하자. 각 $x\in G$에 대해, $x$를 나타내는 $G_{\alpha }$에서의 축소된 단어가 오직 하나만 존재할 때, 우리는 $G$를 군 $G_{\alpha }$들의 자유 곱 이라고 말한다. 이 경우, 다음과 같이 쓴다.

$$G=\prod _{\alpha \in J}^{\ast }{G}_{\alpha }$$

또는 유한한 경우, $G=G_1\ast \cdots \ast G_n$이다.

$G$가 군 $G_{\alpha }$들의 자유 곱이고 $(x_1,\dots ,x_n)$이 모든 $i$에 대해 $x_i\ne 1$이라는 조건을 만족하는 군 $G_{\alpha }$의 원소들로 이루어진 단어라고 하자. 그러면, 각 $i$에 대해 $x_i\in G_{{\alpha }_i}$인 유일한 첨수 ${\alpha }_i$가 존재한다. 단어가 축소되었다는 것은 각 $i$에 대해 ${\alpha }_i\ne {\alpha }_{i+1}$이라는 것을 의미한다.

$\alpha \ne \beta$에 대해 $G_{\alpha }\cap G_{\beta }=\{1\}$인 군 $G_{\alpha }$들이 $G$를 생성한다고 가정하자. $G$가 이 군들의 자유 곱이 되기 위해서는, 공집합 단어에 의한 $1$의 표현이 유일하다는 것을 아는 것으로 충분하다. 이 약한 조건이 성립한다고 가정하고, $(x_1,\dots ,x_n)$과 $(y_1,\dots ,y_m)$이 $G$의 같은 원소 $x$를 나타내는 두 개의 축소된 단어라고 가정하자. ${\alpha }_i$와 ${\beta }_i$를 각각 $x_i\in G_{{\alpha }_i}$이고 $y_i\in G_{{\beta }_i}$인 첨수라고 하자.

$$x_1\cdots x_n=x=y_1\cdots y_m$$

이므로, 단어

$$(y_m^{-1},\dots ,y_1^{-1},x_1,\dots ,x_n)$$

는 $1$을 나타낸다. 이 단어는 축소될 수 있어야 하므로, ${\alpha }_1={\beta }_1$이어야 한다. 그러면 단어는

$$(y_m^{-1},\dots ,y_1^{-1}{x}_1,\dots ,x_n)$$

로 축소된다. 다시, 이 단어는 축소될 수 있어야 하므로, $y_1^{-1}{x}_1=1$이어야 한다. 그러면 $x_1=y_1$이므로, $1$은 단어

$$(y_m^{-1},\dots ,y_2^{-1},x_2,\dots ,x_n)$$

로 표현된다. 논증은 비슷하게 계속된다. 결국 $m=n$이고 모든 $i$에 대해 $x_i=y_i$라고 결론 내린다.

예제 1

집합 $\{0,1,2\}$ 위에서의 전단사 함수들의 군 $P$를 생각해보자. $i=1,2$에 대해, ${\pi }_i(i)=i-1$, ${\pi }_i(i-1)=i$ 그리고 그 외의 $j$에 대해서는 ${\pi }_i(j)=j$로 원소 ${\pi }_i\in P$를 정의하자. 그러면 ${\pi }_i$는 위수 2의 부분군 $G_i$를 생성한다. 확인해보면, 군 $G_1$과 $G_2$는 $P$를 생성한다. 그러나 $P$는 이들의 자유 곱이 아니다. 예를 들어, 축소된 단어 $({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_1)$과 $({\pi }_2,{\pi }_1,{\pi }_2)$는 $P$의 같은 원소를 나타낸다.

자유 곱은 직합이 만족하는 것과 유사한 확장 조건을 만족한다.

보조정리 68.1

$G$를 군이라 하고, $\{G_{\alpha }\}$를 $G$의 부분군들의 족이라고 하자. 만약 $G$가 군 $G_{\alpha }$들의 자유 곱이라면, $G$는 다음 조건을 만족한다:

임의의 군 $H$와 임의의 준동형사상 족 $h_{\alpha }:G_{\alpha }\to H$가 주어졌을 때, 각 $\alpha$에 대해 $G_{\alpha }$로의 제한이 $h_{\alpha }$와 같은 준동형사상 $h:G\to H$가 존재한다. ($\ast$)

더욱이, $h$는 유일하다.

이 보조정리의 역도 성립하지만, 증명은 직합의 경우만큼 쉽지 않다. 나중으로 미룬다.

증명

$x\ne 1$인 $x\in G$가 주어졌을 때, $(x_1,\dots ,x_n)$을 $x$를 나타내는 축소된 단어라고 하자. 만약 $h$가 존재한다면, 다음 방정식을 만족해야 한다.

$$h(x)=h(x_1)\cdots h(x_n)=h_{{\alpha }_1}(x_1)\cdots h_{{\alpha }_n}(x_n)(\ast )$$

여기서 ${\alpha }_i$는 $x_i\in G_{{\alpha }_i}$인 첨수이다. 따라서 $h$는 유일하다.

$h$가 존재함을 보이기 위해, $x\ne 1$이면 방정식 $(\ast )$로 정의하고, $h(1)=1$로 둔다. $x$의 축소된 단어 표현이 유일하므로, $h$는 잘 정의된다. 우리는 이것이 준동형사상임을 보여야 한다.

먼저 예비 결과를 증명한다. 양의 길이를 가진 군 $G_{\alpha }$의 원소들로 이루어진 단어 $w=(x_1,\dots ,x_n)$이 주어졌을 때, $H$의 원소 $\varphi (w)$를 다음 방정식으로 정의하자.

$$\varphi (w)=h_{{\alpha }_1}(x_1)\cdots h_{{\alpha }_n}(x_n)(\ast \ast )$$

여기서 ${\alpha }_i$는 $x_i\in G_{{\alpha }_i}$를 만족하는 임의의 첨수이다. $x_i=1$이 아닌 한 ${\alpha }_i$는 유일하므로, $\varphi$는 잘 정의된다. $w$가 공집합 단어이면, $\varphi (w)$는 $H$의 항등원과 같다고 하자. $w^{\prime }$가 축소 연산 중 하나를 $w$에 적용하여 얻은 단어라면, $\varphi (w^{\prime })=\varphi (w)$임을 보인다. 먼저, $w^{\prime }$가 $w$에서 $x_i=1$을 삭제하여 얻어졌다고 가정하자. 그러면 $h_{{\alpha }_i}(x_i)=1$이므로 $\varphi (w^{\prime })=\varphi (w)$가 성립한다. 둘째로, ${\alpha }_i={\alpha }_{i+1}$이고

$$w^{\prime }=(x_1,\dots ,x_i{x}_{i+1},\dots ,x_n)$$

이라고 가정하자. $\alpha ={\alpha }_i={\alpha }_{i+1}$일 때 $h_{\alpha }(x_i)h_{\alpha }(x_{i+1})=h_{\alpha }(x_i{x}_{i+1})$이므로, $\varphi (w)=\varphi (w^{\prime })$가 성립한다.

$w$가 $x$를 나타내는 군 $G_{\alpha }$의 임의의 단어라면, $h(x)=\varphi (w)$임이 즉시 따라 나온다. 왜냐하면 $h$의 정의에 의해, 이 방정식은 임의의 축소된 단어 $w$에 대해 성립하며, 축소 과정은 $\varphi$의 값을 바꾸지 않기 때문이다.

이제 $h$가 준동형사상임을 보인다. $w=(x_1,\dots ,x_n)$와 $w^{\prime }=(y_1,\dots ,y_m)$이 각각 $x$와 $y$를 나타내는 단어라고 가정하자. $(w,w^{\prime })$를 $xy$를 나타내는 단어 $(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)$라고 하자. 방정식 $(\ast \ast )$로부터 $\varphi (w,w^{\prime })=\varphi (w)\varphi (w^{\prime })$임이 따라 나온다. 그러면 $h(xy)=h(x)h(y)$이다.

이제 우리는 임의의 군들의 족 $\{G_{\alpha }\}$를 가지고, $G_{\alpha }$와 동형인 부분군 $G_{\alpha }^{\prime }$를 포함하며 $G$가 이 군들의 자유 곱이 되는 군 $G$를 찾는 문제를 고려한다. 이는 실제로 가능하며, 외부 자유 곱(external free product)의 개념으로 이어진다.

정의

$\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 군들의 첨수족이라고 하자. $G$가 군이고 $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$가 단사준동형사상들의 족이며, $G$가 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 자유 곱이라면, 우리는 $G$를 단사준동형사상 $i_{\alpha }$에 대한 군 $G_{\alpha }$들의 외부 자유 곱 이라고 말한다.

물론 군 $G$는 유일하지 않다. 우리는 나중에 그것이 동형사상을 제외하고 유일함을 보일 것이다. $G$를 구성하는 것은 외부 직합을 구성하는 것보다 훨씬 더 어렵다.

정리 68.2

군들의 족 $\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$가 주어졌을 때, 군 $G$와 단사준동형사상 족 $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$가 존재하여 $G$가 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 자유 곱이 된다.

증명

편의상, 군 $G_{\alpha }$들이 집합으로서 서로소라고 가정한다. (필요하다면, 각 첨수 $\alpha$에 대해 $G_{\alpha }$를 $G_{\alpha }\times \{\alpha \}$로 대체하여 이를 달성할 수 있다.) 그러면 이전과 같이, 군 $G_{\alpha }$의 원소들로 이루어진 (길이 $n$의) 단어를 $n$-튜플 $w=(x_1,\dots ,x_n)$으로 정의한다. ${\alpha }_i\ne {\alpha }_{i+1}$이고 각 $i$에 대해 $x_i$가 $G_{{\alpha }_i}$의 항등원이 아닐 때, 이를 축소된 단어라고 한다. 여기서 ${\alpha }_i$는 $x_i\in G_{{\alpha }_i}$인 첨수이다. 공집합을 길이 0의 유일한 축소된 단어로 정의한다. 모든 $G_{\alpha }$를 부분군으로 포함하는 군 $G$가 주어지지 않았으므로, 단어가 $G$의 원소를 “표현한다”고 말할 수 없다는 점에 유의하자.

$W$를 군 $G_{\alpha }$의 원소들로 이루어진 모든 축소된 단어들의 집합이라고 하자. $P(W)$를 모든 전단사 함수 $\pi :W\to W$들의 집합이라고 하자. 그러면 $P(W)$는 함수 합성을 군 연산으로 하는 군이다. 우리는 원하는 군 $G$를 $P(W)$의 부분군으로 얻을 것이다.

1단계. 각 첨수 $\alpha$와 각 $x\in G_{\alpha }$에 대해, 집합 사상 ${\pi }_x:W\to W$를 정의한다. 이는 다음 조건들을 만족할 것이다: (1) $x=1_{\alpha }$ (군 $G_{\alpha }$의 항등원)이면, ${\pi }_x$는 $W$의 항등사상이다. (2) $x,y\in G_{\alpha }$이고 $z=xy$이면, ${\pi }_z={\pi }_x\circ {\pi }_y$이다. 다음과 같이 진행한다: $x\in G_{\alpha }$라 하자. 표기상의 편의를 위해, $w=(x_1,\dots ,x_n)$을 $W$의 임의의 비공집합 원소로, ${\alpha }_1$을 $x_1\in G_{{\alpha }_1}$인 첨수로 나타내자. $x\ne 1_{\alpha }$이면, ${\pi }_x$를 다음과 같이 정의한다: (i) ${\pi }_x(\varnothing )=(x)$ (ii) ${\pi }_x(w)=(x,x_1,\dots ,x_n)$ 만약 ${\alpha }_1\ne \alpha$ (iii) ${\pi }_x(w)=(x{x}_1,\dots ,x_n)$ 만약 ${\alpha }_1=\alpha$이고 $x_1\ne x^{-1}$ (iv) ${\pi }_x(w)=(x_2,\dots ,x_n)$ 만약 ${\alpha }_1=\alpha$이고 $x_1=x^{-1}$ $x=1_{\alpha }$이면, ${\pi }_x$를 $W$의 항등사상으로 정의한다. 각 경우 ${\pi }_x$의 값은 축소된 단어, 즉 $W$의 원소라는 점에 유의하자. (i)과 (ii)의 경우 ${\pi }_x$의 작용은 단어의 길이를 증가시키고, (iii)의 경우는 길이를 그대로 두고, (iv)의 경우는 단어의 길이를 줄인다. (iv)가 길이 1의 단어 $w$에 적용될 때, $w$를 공집합 단어로 보낸다.

2단계. $x,y\in G_{\alpha }$이고 $z=xy$이면, ${\pi }_z={\pi }_x\circ {\pi }_y$임을 보인다. $x$ 또는 $y$가 $1_{\alpha }$와 같으면 결과는 자명하다. 따라서 $x\ne 1_{\alpha }$이고 $y\ne 1_{\alpha }$라고 가정하자. 축소된 단어 $w$에 대한 ${\pi }_z$와 ${\pi }_x\circ {\pi }_y$의 값을 계산한다. 네 가지 경우를 고려해야 한다. (i) $w$가 공집합 단어인 경우. ${\pi }_y(\varnothing )=(y)$이다. $z=1_{\alpha }$이면, $y=x^{-1}$이고 (iv)에 의해 ${\pi }_x{\pi }_y(\varnothing )=\varnothing$이며, ${\pi }_z(\varnothing )$도 ${\pi }_z$가 항등사상이므로 같다. $z\ne 1_{\alpha }$이면,

$${\pi }_x{\pi }_y(\varnothing )=(xy)=(z)={\pi }_z(\varnothing ).$$

나머지 경우, $w=(x_1,\dots ,x_n)$이고 $x_1\in G_{{\alpha }_1}$이라고 가정한다. (ii) $\alpha \ne {\alpha }_1$인 경우. 그러면 ${\pi }_y(w)=(y,x_1,\dots ,x_n)$이다. $z=1_{\alpha }$이면, $y=x^{-1}$이고 (iv)에 의해 ${\pi }_x{\pi }_y(w)=(x_1,\dots ,x_n)$이며, ${\pi }_z(w)$도 ${\pi }_z$가 항등사상이므로 같다. $z\ne 1_{\alpha }$이면,

$${\pi }_x{\pi }_y(w)=(xy,x_1,\dots ,x_n)=(z,x_1,\dots ,x_n)={\pi }_z(w).$$

(iii) $\alpha ={\alpha }_1$이고 $y{x}_1\ne 1_{\alpha }$인 경우. 그러면 ${\pi }_y(w)=(y{x}_1,x_2,\dots ,x_n)$이다. $xy{x}_1=1_{\alpha }$이면, ${\pi }_x{\pi }_y(w)=(x_2,\dots ,x_n)$이며, $z{x}_1=xy{x}_1=1_{\alpha }$이므로 ${\pi }_z(w)$도 같다. $xy{x}_1\ne 1_{\alpha }$이면,

$${\pi }_x{\pi }_y(w)=(xy{x}_1,x_2,\dots ,x_n)=(z{x}_1,x_2,\dots ,x_n)={\pi }_z(w).$$

(iv) 마지막으로, $\alpha ={\alpha }_1$이고 $y{x}_1=1_{\alpha }$인 경우. 그러면 ${\pi }_y(w)=(x_2,\dots ,x_n)$이며, $n=1$이면 공집합이다.

$${\pi }_x{\pi }_y(w)=(x,x_2,\dots ,x_n)=(x(y{x}_1),x_2,\dots ,x_n)=(z{x}_1,x_2,\dots ,x_n)={\pi }_z(w).$$

3단계. 사상 ${\pi }_x$는 $P(W)$의 원소이며, $i_{\alpha }(x)={\pi }_x$로 정의된 사상 $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to P(W)$는 단사준동형사상이다. ${\pi }_x$가 전단사임을 보이기 위해, $y=x^{-1}$이면 조건 (1)과 (2)가 ${\pi }_y\circ {\pi }_x$와 ${\pi }_x\circ {\pi }_y$가 $W$의 항등사상임을 의미한다는 점에 유의한다. 따라서 ${\pi }_x$는 $P(W)$에 속한다. $i_{\alpha }$가 준동형사상이라는 사실은 조건 (2)의 결과이다. $i_{\alpha }$가 단사준동형사상임을 보이기 위해, $x\ne 1_{\alpha }$이면 ${\pi }_x(\varnothing )=(x)$이므로 ${\pi }_x$는 $W$의 항등사상이 아니라는 점에 유의한다.

4단계. $G$를 군 $G_{\alpha }^{\prime }=i_{\alpha }(G_{\alpha })$들에 의해 생성된 $P(W)$의 부분군이라고 하자. 우리는 $G$가 군 $G_{\alpha }^{\prime }$들의 자유 곱임을 보인다. 먼저, $\alpha \ne \beta$이면 $G_{\alpha }^{\prime }\cap G_{\beta }^{\prime }$가 항등원만으로 구성됨을 보인다. $x\in G_{\alpha }$이고 $y\in G_{\beta }$라 하자. ${\pi }_x$와 ${\pi }_y$가 모두 $W$의 항등사상이 아니라고 가정하고 ${\pi }_x\ne {\pi }_y$임을 보인다. 그러나 이것은 쉽다. 왜냐하면 ${\pi }_x(\varnothing )=(x)$이고 ${\pi }_y(\varnothing )=(y)$이며, 이것들은 다른 단어들이기 때문이다. 둘째, 군 $G_{\alpha }^{\prime }$들로 이루어진 비공집합 축소된 단어

$$w^{\prime }=({\pi }_{x_1},\dots ,{\pi }_{x_n})$$

가 $G$의 항등원을 나타내지 않음을 보인다. ${\alpha }_i$를 $x_i\in G_{{\alpha }_i}$인 첨수라고 하면, ${\alpha }_i\ne {\alpha }_{i+1}$이고 각 $i$에 대해 $x_i\ne 1_{{\alpha }_i}$이다. 계산하면,

$${\pi }_{x_1}({\pi }_{x_2}(\dots ({\pi }_{x_n}(\varnothing ))))=(x_1,\dots ,x_n)$$

이므로, $w^{\prime }$가 나타내는 $G$의 원소는 $P(W)$의 항등원이 아니다.

보조정리 68.3

$\{G_{\alpha }\}$를 군들의 족이라 하고, $G$를 군, $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$를 준동형사상들의 족이라고 하자. 만약 각 $i_{\alpha }$가 단사준동형사상이고 $G$가 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 자유 곱이라면, $G$는 다음 조건을 만족한다:

임의의 군 $H$와 임의의 준동형사상 족 $h_{\alpha }:G_{\alpha }\to H$가 주어졌을 때, 각 $\alpha$에 대해 $h\circ i_{\alpha }=h_{\alpha }$를 만족하는 준동형사상 $h:G\to H$가 존재한다. ($\ast$)

더욱이, $h$는 유일하다.

즉각적인 결과는 자유 곱의 유일성 정리이다. 증명은 직합의 경우와 매우 유사하여 독자에게 맡긴다.

정리 68.4 (자유 곱의 유일성)

$\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 군들의 족이라고 하자. $G$와 $G^{\prime }$가 군이고 $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$와 $i_{\alpha }^{\prime }:G_{\alpha }\to G^{\prime }$가 각각 족 $\{i_{\alpha }(G_{\alpha })\}$와 $\{i_{\alpha }^{\prime }(G_{\alpha })\}$가 $G$와 $G^{\prime }$를 생성하는 단사준동형사상들의 족이라고 하자. 만약 $G$와 $G^{\prime }$가 모두 이전 보조정리에서 언급된 확장 속성을 가진다면, 모든 $\alpha$에 대해 $\varphi \circ i_{\alpha }=i_{\alpha }^{\prime }$를 만족하는 유일한 동형사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$가 존재한다.

이제 마침내 확장 조건이 자유 곱을 특징짓는다는 것을 증명하여, 보조정리 68.1과 68.3의 역을 증명할 수 있다.

보조정리 68.5

$\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 군들의 족이라 하고, $G$를 군, $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$를 준동형사상들의 족이라고 하자. 만약 보조정리 68.3의 확장 조건이 성립한다면, 각 $i_{\alpha }$는 단사준동형사상이며 $G$는 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 자유 곱이다.

증명

먼저 각 $i_{\alpha }$가 단사준동형사상임을 보인다. 주어진 첨수 $\beta$에 대해 $H=G_{\beta }$로 두자. $\alpha =\beta$이면 $h_{\alpha }:G_{\alpha }\to H$를 항등 준동형사상으로, $\alpha \ne \beta$이면 자명한 준동형사상으로 하자. $h:G\to H$를 확장 조건에 의해 주어진 준동형사상이라고 하자. 그러면 $h\circ i_{\beta }=h_{\beta }$이므로 $i_{\beta }$는 단사이다. 정리 68.2에 의해, 군 $G^{\prime }$와 단사준동형사상 족 $i_{\alpha }^{\prime }:G_{\alpha }\to G^{\prime }$가 존재하여 $G^{\prime }$가 군 $i_{\alpha }^{\prime }(G_{\alpha })$들의 자유 곱이 된다. $G$와 $G^{\prime }$는 모두 보조정리 68.3의 확장 속성을 가진다. 이전 정리는 $\varphi \circ i_{\alpha }=i_{\alpha }^{\prime }$를 만족하는 동형사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$가 존재함을 의미한다. $G$가 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 자유 곱이라는 것이 즉시 따라 나온다.

우리는 이제 보조정리 67.2와 67.3에 대응하는 두 결과를 증명한다.

보조정리 68.6

$G=G_1\ast G_2$이고, $G_1$은 부분군 $\{H_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$들의 자유 곱이며 $G_2$는 부분군 $\{H_{\beta }{\}}_{\beta \in K}$들의 자유 곱이라고 하자. 만약 첨수 집합 $J$와 $K$가 서로소이면, $G$는 부분군 $\{H_{\gamma }{\}}_{\gamma \in J\cup K}$들의 자유 곱이다.

증명

증명은 보조정리 67.2의 증명과 거의 동일하다.

이 결과는 특히 다음을 의미한다.

$$G_1\ast G_2\ast G_3=G_1\ast (G_2\ast G_3)=(G_1\ast G_2)\ast G_3$$

다음 정리를 서술하기 위해 군론의 몇 가지 용어를 상기해야 한다. 군 $G$의 원소 $x,y$에 대해, $y=cx{c}^{-1}$ (어떤 $c\in G$에 대해)일 때 $y$는 $x$에 켤레(conjugate)라고 한다. 정규 부분군(normal subgroup)은 자신의 모든 원소의 켤레를 포함하는 부분군이다.

$S$가 $G$의 부분집합일 때, $S$를 포함하는 모든 정규 부분군들의 교집합 $N$을 생각할 수 있다. $N$ 자체가 $G$의 정규 부분군임을 쉽게 알 수 있으며, 이를 $S$를 포함하는 $G$의 최소 정규 부분군(least normal subgroup)이라고 한다.

정리 68.7

$G=G_1\ast G_2$라 하자. $i=1,2$에 대해 $N_i$를 $G_i$의 정규 부분군이라고 하자. 만약 $N$이 $N_1$과 $N_2$를 포함하는 $G$의 최소 정규 부분군이라면,

$$G/N\cong (G_1/N_1)\ast (G_2/N_2)$$

이다.

증명

포함사상과 사영 준동형사상의 합성은

$$G_1\to G_1\ast G_2\to (G_1\ast G_2)/N$$

$N_1$을 항등원으로 보내므로, 준동형사상

$$i_1:G_1/N_1\to (G_1\ast G_2)/N$$

을 유도한다. 비슷하게, 포함사상과 사영 준동형사상의 합성은 준동형사상

$$i_2:G_2/N_2\to (G_1\ast G_2)/N$$

을 유도한다. 우리는 보조정리 68.5의 확장 조건이 $i_1,i_2$에 대해 성립함을 보인다. 그러면 $i_1,i_2$가 단사준동형사상이고 $(G_1\ast G_2)/N$이 이 단사준동형사상들에 대한 $G_1/N_1$과 $G_2/N_2$의 외부 자유 곱이라는 것이 따라 나온다.

$h_1:G_1/N_1\to H$와 $h_2:G_2/N_2\to H$를 임의의 준동형사상이라고 하자. $G_1\ast G_2$에 대한 확장 조건은 $G_1\ast G_2$에서 $H$로 가는 준동형사상이 존재하여, $i=1,2$에 대해 $G_i$ 위에서 사영사상과 $h_i$의 합성

$$G_i\to G_i/N_i\to H$$

와 같다는 것을 의미한다. 이 준동형사상은 $N_1$과 $N_2$의 원소들을 항등원으로 보내므로, 그것의 핵은 $N$을 포함한다. 따라서, $h_1=h\circ i_1$과 $h_2=h\circ i_2$라는 조건을 만족하는 준동형사상 $h:(G_1\ast G_2)/N\to H$를 유도한다.

보조정리 68.8

만약 $N$이 $G_1$을 포함하는 $G_1\ast G_2$의 최소 정규 부분군이라면, $(G_1\ast G_2)/N\cong G_2$이다.

“최소 정규 부분군”이라는 개념은 우리가 진행하면서 자주 나타날 개념이다. 분명히, $N$이 $G$의 부분집합 $S$를 포함하는 최소 정규 부분군이라면, $N$은 $S$와 $S$의 원소들의 모든 켤레들을 포함한다. 나중에 사용하기 위해, 우리는 이제 이 원소들이 실제로 $N$을 생성한다는 것을 확인한다.

보조정리 68.9

$S$를 군 $G$의 부분집합이라고 하자. 만약 $N$이 $S$를 포함하는 $G$의 최소 정규 부분군이라면, $N$은 $S$의 원소들의 모든 켤레들에 의해 생성된다.

증명

$N^{\prime }$을 $S$의 원소들의 모든 켤레들에 의해 생성된 $G$의 부분군이라고 하자. 우리는 $N^{\prime }\subset N$임을 안다. 역 포함관계를 확인하기 위해, 우리는 $N^{\prime }$가 $G$에서 정규 부분군임을 보이기만 하면 된다. 주어진 $x\in N^{\prime }$과 $c\in G$에 대해, $cx{c}^{-1}\in N^{\prime }$임을 보인다. 우리는 $x$를 $x=x_1{x}_2\cdots x_n$의 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 각 $x_i$는 $S$의 원소 $s_i$의 켤레이다. 그러면 $c{x}_i{c}^{-1}$ 또한 $s_i$의 켤레이다.

$$cx{c}^{-1}=(c{x}_1{c}^{-1})(c{x}_2{c}^{-1})\cdots (c{x}_n{c}^{-1})$$

이므로, $cx{c}^{-1}$는 $S$의 원소들의 켤레들의 곱이므로 $cx{c}^{-1}\in N^{\prime }$이다.