67. Direct Sums of Abelian Groups

이 절에서는 아벨 군(abelian group)만을 고려한다. 보통 그렇듯이, 이러한 군은 덧셈으로 표기한다. 그러면 $0$은 항등원을 나타내고, $-x$는 $x$의 역원을 나타내며, $nx$는 $x$를 $n$번 더한 합 $x+\cdots +x$를 나타낸다.

$G$가 아벨 군이고, $\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$가 $G$의 부분군(subgroup)들의 첨수족(indexed family)이라고 하자. $G$의 모든 원소 $x$가 $G_{\alpha }$에 속한 원소들의 유한 합으로 쓰일 수 있을 때, 군 $G_{\alpha }$들이 $G$를 생성한다(generate)고 말한다. $G$는 아벨 군이므로, 우리는 항상 이러한 합을 재배열하여 같은 $G_{\alpha }$에 속하는 항들을 함께 묶을 수 있다. 따라서 우리는 항상 $x$를 $x=x_{{\alpha }_1}+\cdots +x_{{\alpha }_n}$의 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 첨수 ${\alpha }_i$들은 서로 다르다. 이 경우, $x$를 형식적 합(formal sum) $x={\sum }_{\alpha \in J}{x}_{\alpha }$로 쓰기도 하는데, 여기서 $\alpha$가 첨수 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 중 하나가 아니면 $x_{\alpha }=0$임을 의미한다.

군 $G_{\alpha }$들이 $G$를 생성하면, 종종 $G$는 군 $G_{\alpha }$들의 합(sum)이라고 말하며, 일반적으로 $G={\sum }_{\alpha \in J}{G}_{\alpha }$로 쓰거나, 유한 첨수 집합 $\{1,\cdots ,n\}$의 경우 $G=G_1+\cdots +G_n$으로 쓴다.

이제 군 $G_{\alpha }$들이 $G$를 생성하고, $G$의 각 원소 $x$에 대해 $x=\sum x_{\alpha }$라는 표현이 유일하다고 가정하자. 즉, $G$의 각 원소 $x$에 대해, $x=\sum x_{\alpha }$를 만족하는 $J$-튜플 $(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in J}$이 유일하게 존재한다고 가정하자(여기서 $x_{\alpha }=0$은 유한개를 제외한 모든 $\alpha$에 대해 성립한다). 그러면 $G$는 군 $G_{\alpha }$들의 직합(direct sum)이라고 하며, 우리는 다음과 같이 쓴다.¹

$$G=\underset{\alpha \in J}{⨁}{G}_{\alpha }$$

또는 유한한 경우, $G=G_1\oplus \cdots \oplus G_n$이다.

예제 1

데카르트 곱(cartesian product) ${\mathbb{R}}^{\omega }$는 좌표별 덧셈(coordinate-wise addition) 연산에 대해 아벨 군이다. $i\ne n$일 때 $x_i=0$인 튜플 $(x_i)$들의 집합 $G_n$은 $\mathbb{R}$과 동형(isomorphic)인 부분군이다. 군 $G_n$들은 ${\mathbb{R}}^{\omega }$의 부분군 ${\mathbb{R}}^{\infty }$를 생성하며, 실제로 ${\mathbb{R}}^{\infty }$는 이들의 직합이다.

직합의 유용한 특징은 다음 보조정리에 주어진다. 우리는 이것을 직합에 대한 확장 조건(extension condition)이라고 부른다.

보조정리 67.1

$G$가 아벨 군이고, $\{G_{\alpha }\}$가 $G$의 부분군들의 족이라고 하자. 만약 $G$가 군 $G_{\alpha }$들의 직합이라면, $G$는 다음 조건을 만족한다:

임의의 아벨 군 $H$와 임의의 준동형사상(homomorphism) 족 $h_{\alpha }:G_{\alpha }\to H$가 주어졌을 때, 각 $\alpha$에 대해 $G_{\alpha }$로의 제한(restriction)이 $h_{\alpha }$와 같은 준동형사상 $h:G\to H$가 존재한다. ($\ast$)

더욱이, $h$는 유일하다. 역으로, 군 $G_{\alpha }$들이 $G$를 생성하고 확장 조건 ($\ast$)가 성립하면, $G$는 군 $G_{\alpha }$들의 직합이다.

증명

먼저, 만약 $G$가 명시된 확장 조건(extension condition)을 만족하면, $G$가 $G_{\alpha }$들의 직합임을 보이자. $x=\sum x_{\alpha }=\sum y_{\alpha }$라고 가정하자. 임의의 특정 첨수 $\beta$에 대해 $x_{\beta }=y_{\beta }$임을 보여야 한다. $H$를 군 $G_{\beta }$로 두고, $\alpha \ne \beta$에 대해서는 $h_{\alpha }:G_{\alpha }\to H$를 자명한 준동형사상으로, $\alpha =\beta$에 대해서는 항등 준동형사상으로 정의하자. 가정에 의해 존재하는 준동형사상 $h:G\to H$를 $h_{\alpha }$들의 확장이라고 하자. 그러면,

$$\begin{array}{rl}h(x)& =\sum h_{\alpha }(x_{\alpha })=x_{\beta },\\ h(x)& =\sum h_{\alpha }(y_{\alpha })=y_{\beta },\end{array}$$

이므로 $x_{\beta }=y_{\beta }$이다.

이제 $G$가 $G_{\alpha }$들의 직합이면 확장 조건이 성립함을 보이자. 준동형사상 $h_{\alpha }$들이 주어졌을 때, $h(x)$를 다음과 같이 정의한다: $x=\sum x_{\alpha }$이면, $h(x)=\sum h_{\alpha }(x_{\alpha })$로 두자. 이 합은 유한하므로 의미가 있고, $x$의 표현이 유일하므로 $h$는 잘 정의된다. $h$가 원하는 준동형사상임은 쉽게 확인할 수 있다. 유일성은 각 $\alpha$에 대해 $G_{\alpha }$ 위에서 $h_{\alpha }$와 같은 준동형사상이라면 이 방정식을 만족해야 한다는 점에서 나온다.

이 보조정리는 직합에 대한 여러 결과를 아주 쉽게 증명하게 해준다.

보조정리 67.2

$G=G_1\oplus G_2$라고 하자. $G_1$이 $\alpha \in J$에 대한 부분군 $H_{\alpha }$들의 직합이고, $G_2$가 $\beta \in K$에 대한 부분군 $H_{\beta }$들의 직합이며, 첨수 집합 $J$와 $K$가 서로소라고 가정하자. 그러면 $G$는 $\gamma \in J\cup K$에 대한 부분군 $H_{\gamma }$들의 직합이다.

증명

만약 $h_{\alpha }:H_{\alpha }\to H$와 $h_{\beta }:H_{\beta }\to H$가 준동형사상 족들이라면, 이전 보조정리에 의해 이들은 각각 준동형사상 $h_1:G_1\to H$와 $h_2:G_2\to H$로 확장된다. 그러면 $h_1$과 $h_2$는 준동형사상 $h:G\to H$로 확장된다.

이 보조정리는 예를 들어 다음을 의미한다.

$$(G_1\oplus G_2)\oplus G_3=G_1\oplus G_2\oplus G_3=G_1\oplus (G_2\oplus G_3)$$

보조정리 67.3

$G=G_1\oplus G_2$이면, $G/G_2$는 $G_1$과 동형이다.

증명

$H=G_1$으로 두고, $h_1:G_1\to H$는 항등 준동형사상, $h_2:G_2\to H$는 자명한 준동형사상으로 하자. $h:G\to H$를 이들의 확장으로 하자. 그러면 $h$는 핵(kernel)이 $G_2$인 전사(surjective) 준동형사상이다.

많은 경우, 우리는 아벨 군들의 족 $\{G_{\alpha }\}$가 주어졌을 때, $G_{\alpha }$와 동형인 부분군 $G_{\alpha }^{\prime }$들을 포함하고, $G$가 이 부분군들의 직합이 되는 군 $G$를 찾기를 원한다. 이는 실제로 항상 가능하며, 이는 외부 직합(external direct sum)이라는 개념으로 이어진다.

정의

$\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 아벨 군들의 첨수족이라고 하자. 만약 $G$가 아벨 군이고, $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$가 단사준동형사상(monomorphism)들의 족이며, $G$가 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 직합이라면, 우리는 $G$를 단사준동형사상 $i_{\alpha }$에 대한 군 $G_{\alpha }$들의 외부 직합 이라고 말한다.

물론 군 $G$는 유일하지 않다. 우리는 나중에 그것이 동형사상(isomorphism)을 제외하고 유일함을 보일 것이다. $G$를 구성하는 한 가지 방법은 다음과 같다.

정리 67.4

아벨 군들의 족 $\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$가 주어졌을 때, 아벨 군 $G$와 단사준동형사상 족 $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$가 존재하여, $G$가 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 직합이 된다.

증명

먼저 데카르트 곱 ${\prod }_{\alpha \in J}{G}_{\alpha }$를 생각하자. 이는 좌표별로 더함으로써 아벨 군이 된다. $G$를 데카르트 곱의 부분군으로, 유한개를 제외한 모든 $\alpha$에 대해 $x_{\alpha }=0_{\alpha }$ (여기서 $0_{\alpha }$는 $G_{\alpha }$의 항등원)인 튜플 $(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in J}$들로 구성된 집합으로 정의한다. 주어진 첨수 $\beta$에 대해, $i_{\beta }:G_{\beta }\to G$를 $i_{\beta }(x)$가 $\beta$번째 좌표가 $x$이고 모든 다른 $\alpha \ne \beta$에 대해 $\alpha$번째 좌표가 $0_{\alpha }$인 튜플이 되도록 정의한다. $i_{\beta }$가 단사준동형사상임은 즉시 알 수 있다. 또한, $G$의 각 원소 $x$는 유한개의 0이 아닌 좌표만을 가지므로, $x$는 군 $i_{\beta }(G_{\beta })$의 원소들의 유한 합으로 유일하게 쓰일 수 있음도 즉시 알 수 있다.

일반적인 직합을 특징짓는 확장 조건은 외부 직합에 대한 확장 조건으로 즉시 번역된다.

보조정리 67.5

$\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 아벨 군들의 첨수족이라 하고, $G$를 아벨 군, $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$를 준동형사상들의 족이라고 하자. 만약 각 $i_{\alpha }$가 단사준동형사상이고 $G$가 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 직합이라면, $G$는 다음 확장 조건을 만족한다:

임의의 아벨 군 $H$와 임의의 준동형사상 족 $h_{\alpha }:G_{\alpha }\to H$가 주어졌을 때, 각 $\alpha$에 대해 $h\circ i_{\alpha }=h_{\alpha }$를 만족하는 준동형사상 $h:G\to H$가 존재한다. ($\ast$)

더욱이, $h$는 유일하다. 역으로, 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들이 $G$를 생성하고 확장 조건 ($\ast$)가 성립한다고 가정하자. 그러면 각 $i_{\alpha }$는 단사준동형사상이며, $G$는 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 직합이다.

증명

증명이 필요한 유일한 부분은 확장 조건이 성립하면 각 $i_{\alpha }$가 단사준동형사상이라는 명제이다. 이는 다음과 같이 증명된다. 주어진 첨수 $\beta$에 대해, $H=G_{\beta }$로 두고, $\alpha =\beta$이면 $h_{\alpha }:G_{\alpha }\to H$를 항등 준동형사상으로, $\alpha \ne \beta$이면 자명한 준동형사상으로 하자. $h:G\to H$를 가정된 확장이라고 하자. 그러면 특히 $h\circ i_{\beta }=h_{\beta }$이므로, $i_{\beta }$는 단사(injective)이다.

즉각적인 결과는 직합의 유일성 정리이다.

정리 67.6 (직합의 유일성)

$\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 아벨 군들의 족이라고 하자. $G$와 $G^{\prime }$가 아벨 군이고 $i_{\alpha }:G_{\alpha }\to G$와 $i_{\alpha }^{\prime }:G_{\alpha }\to G^{\prime }$가 각각 단사준동형사상들의 족이며, $G$는 군 $i_{\alpha }(G_{\alpha })$들의 직합이고 $G^{\prime }$는 군 $i_{\alpha }^{\prime }(G_{\alpha }^{\prime })$들의 직합이라고 가정하자. 그러면 각 $\alpha$에 대해 $\varphi \circ i_{\alpha }=i_{\alpha }^{\prime }$를 만족하는 유일한 동형사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$가 존재한다.

증명

우리는 이전 보조정리를 (네 번!) 적용한다. $G$는 $G_{\alpha }$들의 외부 직합이고 $\{i_{\alpha }^{\prime }\}$는 준동형사상들의 족이므로, 각 $\alpha$에 대해 $\varphi \circ i_{\alpha }=i_{\alpha }^{\prime }$를 만족하는 유일한 준동형사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$가 존재한다. 비슷하게, $G^{\prime }$는 $G_{\alpha }$들의 외부 직합이고 $\{i_{\alpha }\}$는 준동형사상들의 족이므로, 각 $\alpha$에 대해 $\psi \circ i_{\alpha }^{\prime }=i_{\alpha }$를 만족하는 유일한 준동형사상 $\psi :G^{\prime }\to G$가 존재한다. 이제 $\psi \circ \varphi :G\to G$는 각 $\alpha$에 대해 $\psi \circ \varphi \circ i_{\alpha }=i_{\alpha }$라는 성질을 가진다. $G$의 항등사상도 같은 성질을 가지므로, 보조정리의 유일성 부분에 의해 $\psi \circ \varphi$는 $G$의 항등사상이어야 한다. 비슷하게, $\varphi \circ \psi$는 $G^{\prime }$의 항등사상이어야 한다.

만약 $G$가 단사준동형사상 $i_{\alpha }$에 대해 군 $G_{\alpha }$들의 외부 직합이라면, 비록 $G_{\alpha }$들이 $G$의 부분군이 아니더라도, 우리는 종종 표기를 남용하여 $G=⨁G_{\alpha }$라고 쓴다. 즉, 우리는 각 군 $G_{\alpha }$를 $i_{\alpha }$에 의한 상과 동일시하고, $G$를 외부 직합이 아닌 일반적인 직합으로 취급한다. 각 경우 문맥이 의미를 명확하게 할 것이다.

이제 자유 아벨 군(free abelian group)에 대해 논의하자.

정의

$G$를 아벨 군이라 하고 $\{a_{\alpha }\}$를 $G$의 원소들의 첨수족이라고 하자. $G_{\alpha }$를 $a_{\alpha }$에 의해 생성된 $G$의 부분군이라고 하자. 군 $G_{\alpha }$들이 $G$를 생성하면, 우리는 또한 원소 $a_{\alpha }$들이 $G$를 생성한다고 말한다. 만약 각 군 $G_{\alpha }$가 무한 순환군(infinite cyclic group)이고 $G$가 군 $G_{\alpha }$들의 직합이라면, $G$는 원소 $\{a_{\alpha }\}$들을 기저(basis)로 가지는 자유 아벨 군 이라고 한다.²

직합에 대한 확장 조건은 자유 아벨 군에 대한 다음 확장 조건을 의미한다.

보조정리 67.7

$G$를 아벨 군이라 하고, $\{a_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$를 $G$를 생성하는 $G$의 원소들의 족이라고 하자. 그러면 $G$가 $\{a_{\alpha }\}$를 기저로 가지는 자유 아벨 군이라는 것은, 임의의 아벨 군 $H$와 임의의 $H$의 원소들의 족 $\{y_{\alpha }\}$에 대해, 각 $\alpha$에 대해 $h(a_{\alpha })=y_{\alpha }$를 만족하는 준동형사상 $h:G\to H$가 존재하는 것과 동치이다. 이 경우, $h$는 유일하다.

증명

$G$가 자유라고 가정하자. $G_{\alpha }$를 $a_{\alpha }$에 의해 생성된 부분군이라고 하자. 먼저 확장 속성이 성립한다고 가정하자. 우리는 먼저 각 군 $G_{\alpha }$가 무한 순환군임을 보인다. 어떤 첨수 $\beta$에 대해 원소 $a_{\beta }$가 유한 순환 부분군을 생성한다고 가정하자. 그러면 $H=\mathbb{Z}$로 두면, 각 $a_{\alpha }$를 숫자 1로 보내는 준동형사상 $h:G\to H$는 존재하지 않는다. 왜냐하면 $a_{\beta }$는 유한 위수(order)를 가지지만 1은 그렇지 않기 때문이다! $G$가 $G_{\alpha }$들의 직합임을 보이기 위해, 우리는 보조정리 67.1을 적용하기만 하면 된다.

역으로, $G$가 $\{a_{\alpha }\}$를 기저로 하는 자유 아벨 군이면, $H$의 원소 $\{y_{\alpha }\}$가 주어졌을 때, $h_{\alpha }(a_{\alpha })=y_{\alpha }$를 만족하는 준동형사상 $h_{\alpha }:G_{\alpha }\to H$가 존재한다($G_{\alpha }$가 무한 순환군이기 때문). 그러면 보조정리 67.1이 적용된다.

정리 67.8

만약 $G$가 $\{a_1,\dots ,a_n\}$을 기저로 가지는 자유 아벨 군이면, $n$은 $G$에 의해 유일하게 결정된다.

증명

군 $G$는 $n$번의 데카르트 곱 $\mathbb{Z}\times \cdots \times \mathbb{Z}$와 동형이다. 부분군 $2G$는 곱 $(2\mathbb{Z})\times \cdots \times (2\mathbb{Z})$에 대응한다. 그러면 몫군(quotient group) $G/2G$는 집합 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$와 일대일 대응 관계에 있으므로, $G/2G$의 크기(cardinality)는 $2^n$이다. 따라서 $n$은 $G$에 의해 유일하게 결정된다.

만약 $G$가 유한 기저를 가지는 자유 아벨 군이면, $G$의 기저에 있는 원소의 수를 $G$의 계수(rank)라고 한다.

Footnotes

1. 직합(direct sum)이라는 용어는 본래 외재적(external) 정의에서 출발한다. 외재적 직합 ${⨁}_{\alpha \in J}{G}_{\alpha }$는 서로 다른 군 $G_{\alpha }$들을 좌표별로 배열한 뒤, 그 중 $0$이 아닌 성분이 유한 개만 존재하는 원소들의 집합으로 정의된다. 이때 각 $G_{\alpha }$는 서로 다른 좌표축에 놓이므로 교차가 자명하여, 하나의 원소를 표현하는 방법이 유일함이 자동으로 보장된다. 다시 말해, 외재적 정의에서는 “$0$이 아닌 성분이 유한 개”라는 조건이 이미 유일성을 내포한다. 반면 내부적(internal) 직합은 하나의 군 $G$ 안에 부분군 $G_{\alpha }$들이 주어졌을 때를 말하며, 이 경우에는 서로 다른 부분군들이 교차할 가능성이 있으므로, 유한성 조건만으로는 유일성이 보장되지 않는다. 따라서 내부적 직합에서는 $G_{\alpha }\cap {\sum }_{\beta \ne \alpha }{G}_{\beta }=\{0\}$와 같은 교차 자명성 조건을 추가해야 한다. ↩

2. 자유 아벨 군은 아벨 군의 공리(교환법칙 포함)에서 필연적으로 따라오는 관계 이외의 추가 관계(relation)가 전혀 없다는 사실을 뜻한다. “정수계수 선형 결합”만으로 원소가 결정되고 그 표현이 유일하여, 가장 제약 없는(=자유로운) 생성 구조를 갖기 때문에 ‘자유’라 부른다. ↩