66. The Cauchy Integral Formula

복소 변수 함수 연구의 핵심 정리 중 하나는 해석 함수(analytic function)에 대한 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)에 관한 것이다. 이 정리의 고전적인 버전을 위해서는 조르당 곡선 정리뿐만 아니라, 지난 절에서 다룬 감김수 정리도 가정해야 한다. 그러나 이러한 결과를 사용하지 않고 코시 적분 정리를 재구성하는 방법이 있다. 이 버전의 정리는 다소 덜 자연스럽지만, 현재 이 주제에 관한 교재에서 흔히 볼 수 있는 것이다.

우리는 조르당 곡선 정리를 마음대로 사용할 수 있으므로, 재구성된 버전으로부터 고전적인 버전의 코시 적분 공식을 유도하는 것을 목표로 삼을 것이다.

우리는 “감김수(winding number)“의 개념을 더 형식적으로 도입하는 것으로 시작한다.

정의

$f$를 ${\mathbb{R}}^2$ 안의 루프라 하고, $a$를 $f$의 상(image)에 있지 않은 점이라고 하자. $g$를

$$g(s)=[f(s)-a]/\Vert f(s)-a\Vert$$

로 두면 $S^1$ 안의 루프이다. $p:\mathbb{R}\to S^1$을 표준 덮개 사상(standard covering map)이라 하고, $\tilde{g}$를 $g$의 $\mathbb{R}$로의 들어올림(lifting)이라고 하자. $g$는 루프이므로, 차이 $\tilde{g}(1)-\tilde{g}(0)$은 정수이다. 이 정수를 $a$에 대한 $f$의 감김수(winding number) 라고 부르고, $n(f,a)$로 표기한다.

$n(f,a)$는 $g$의 들어올림 선택에 독립적이라는 점에 유의하자. 만약 $\tilde{g}$가 $g$의 한 들어올림이라면, 들어올림의 유일성은 $g$의 다른 모든 들어올림이 어떤 정수 $m$에 대해 $\tilde{g}(s)+m$ 형태를 가짐을 의미한다.

정의

$F:I\times I\to X$를 모든 $t$에 대해 $F(0,t)=F(1,t)$를 만족하는 연속 함수라고 하자. 그러면 각 $t$에 대해, 사상 $f_t(s)=F(s,t)$는 $X$ 안의 루프이다. 사상 $F$를 루프 $f_0$와 $f_1$ 사이의 자유 호모토피(free homotopy) 라고 부른다. 이것은 루프의 밑점(base point)이 호모토피 동안 움직이는 것이 허용되는 루프의 호모토피이다.

보조정리 66.1

$f$를 ${\mathbb{R}}^2-a$ 안의 루프라고 하자. (a) 만약 $\bar{f}$가 $f$의 역경로(reverse)라면, $n(\bar{f},a)=-n(f,a)$이다. (b) 만약 $f$가 ${\mathbb{R}}^2-a$ 안에 놓인 루프들을 통해 $f^{\prime }$와 자유 호모토픽(freely homotopic)하다면, $n(f,a)=n(f^{\prime },a)$이다. (c) 만약 $a$와 $b$가 ${\mathbb{R}}^2-f(I)$의 같은 성분에 속한다면, $n(f,a)=n(f,b)$이다.

증명

(a) $n(\bar{f},a)$를 계산하기 위해, 정의 전반에 걸쳐 $s$를 $1-s$로 바꾼다. 이는 $\tilde{g}(1)-\tilde{g}(0)$에 부호를 바꾸는 효과를 가진다. (b) $F$를 $f$와 $f^{\prime }$ 사이의 자유 호모토피라고 하자. $G:I\times I\to S^1$을 다음 방정식으로 정의하자.

$$G(s,t)=[F(s,t)-a]/\Vert F(s,t)-a\Vert .$$

$\tilde{G}$를 $G$의 $\mathbb{R}$로의 들어올림이라고 하자. 그러면 $\tilde{G}(1,t)-\tilde{G}(0,t)$는 각 $t$에 대한 정수이다. 연속적이므로, 이것은 상수이다. (c) $\alpha$를 ${\mathbb{R}}^2-f(I)$에서 $a$에서 $b$로 가는 경로라고 하자. 정의에 의해, $n(f,a)=n(f-a,0)$이다. $f(s)-\alpha (t)$는 ${\mathbb{R}}^2-0$에서 $f-a$와 $f-b$ 사이의 자유 호모토피이므로, 우리의 결과가 따른다.

정의

$f$를 $X$ 안의 루프라고 하자. 만약 $s=s^{\prime }$이거나 점들 중 하나가 $s,s^{\prime }$가 $0$이고 다른 하나가 $1$일 때만 $f(s)=f(s^{\prime })$이라면, $f$를 단순 루프(simple loop) 라고 부른다. 만약 $f$가 단순 루프라면, 그 상집합(image set)은 $X$ 안의 단순 닫힌 곡선이다.

정리 66.2

$f$를 ${\mathbb{R}}^2$ 안의 단순 루프라고 하자. 만약 $a$가 ${\mathbb{R}}^2-f(I)$의 유계가 아닌 성분에 속한다면, $n(f,a)=0$이다. 반면에 $a$가 유계 성분에 속한다면, $n(f,a)=\pm 1$이다.

증명

$n(f,a)=n(f-a,0)$이므로, 우리는 $a=0$인 경우로 제한할 수 있다. 더욱이, 우리는 $f$의 밑점이 양의 $x$-축 위에 있다고 가정할 수 있다. 왜냐하면 $f$의 밑점이 그러한 점이 될 때까지 ${\mathbb{R}}^2-0$을 점진적으로 회전시킬 수 있기 때문이다. 이것은 $f$를 자유 호모토피에 의해 수정하므로, 정리의 결론에 영향을 미치지 않는다.

따라서 $f$를 양의 $x$-축 위의 한 점 $x_0$을 밑점으로 하는 $X={\mathbb{R}}^2-0$ 안의 단순 루프라고 하자. $C$를 단순 닫힌 곡선 $f(I)$라고 하자. 만약 $0$이 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계 성분에 속한다면 $[f]$는 ${\pi }_1(X,x_0)$를 생성하고, 반면에 $0$이 유계가 아닌 성분에 속한다면 $[f]$는 자명(trivial)함을 보인다.

$p:I\to S^1$을 표준 몫 사상(standard quotient map)이라 하면, 사상 $f$는 위상동형사상 $h:S^1\to C$를 유도한다. 원소 $[p]$는 $S^1$의 기본군을 생성하므로, $h_{\ast }[p]$는 $C$의 기본군을 생성한다. 만약 $0$이 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계 성분에 속한다면, 정리 65.2는 $j_{\ast }{h}_{\ast }[p]=[f]$가 ${\mathbb{R}}^2-0$의 기본군을 생성함을 말해준다. 여기서 $j:C\to {\mathbb{R}}^2-0$은 포함사상이다. 다른 한편, 만약 $0$이 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계가 아닌 성분에 속한다면, 보조정리 61.2에 의해 $j\circ h$는 널호모토픽하므로, $[f]$는 자명하다.

이제 우리는 만약 $[f]$가 ${\pi }_1(X,x_0)$를 생성하면 $n(f,0)=\pm 1$이고, 만약 $[f]$가 자명하면 $n(f,0)=0$임을 보인다. ${\mathbb{R}}^2-0$에서 $S^1$으로의 축소(retraction) $x\to x/\Vert x\Vert$가 기본군의 동형사상을 유도하므로, 루프 $g(s)=f(s)/\Vert f(s)\Vert$는 첫 번째 경우에 ${\pi }_1(S^1,b_0)$의 생성원을 나타내고, 두 번째 경우에 항등원을 나타낸다. 만약 우리가 정리 54.5의 증명에서 구성한 동형사상 $\varphi :{\pi }_1(S^1,b_0)\to \mathbb{Z}$를 살펴보면, 이는 우리가 $g$를 $0$에서 시작하는 $\mathbb{R}$의 경로 $\tilde{g}$로 들어올릴 때, 경로 $\tilde{g}$가 첫 번째 경우에는 $\pm 1$에서 끝나고, 두 번째 경우에는 $0$에서 끝남을 의미한다.

정의

$f$를 ${\mathbb{R}}^2$ 안의 단순 루프라고 하자. 만약 유계 성분의 어떤 $a$(따라서 모든 $a$)에 대해 $n(f,a)=+1$이면, $f$를 반시계 방향 루프(counterclockwise loop) 라고 한다. 만약 $n(f,a)=-1$이면, 시계 방향 루프(clockwise loop) 라고 한다. 표준 루프 $p(s)=(\cos 2\pi s,\sin 2\pi s)$는 따라서 반시계 방향 루프이다.

복소 변수에의 응용

이제 감김수를 복소 선적분(complex line integral)과 관련시킨다.

보조정리 66.3

$f$를 복소 평면 안의 조각마다 미분 가능한(piecewise-differentiable) 루프라 하고, $a$를 $f$의 상에 있지 않은 점이라고 하자. 그러면

$$n(f,a)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_f\frac{dz}{z-a}.$$

이 방정식은 종종 $f$의 감김수의 정의로 사용된다.

증명

증명은 간단한 계산 연습이다. $p:\mathbb{R}\to S^1$을 표준 덮개 사상이라고 하자. $r(s)=|f(s)-a|$와 $g(s)=[f(s)-a]/r(s)$라고 하자. $\tilde{g}$를 $g$의 $\mathbb{R}$로의 들어올림이라고 하자. $\theta (s)=2\pi \tilde{g}(s)$라고 하자. 그러면 $f(s)-a=r(s)e^{i\theta (s)}$이므로,

$$\begin{array}{rl}{\int }_f\frac{dz}{z-a}& ={\int }_0^1\frac{r^{\prime }(s)e^{i\theta (s)}+ir(s){\theta }^{\prime }(s)e^{i\theta (s)}}{r(s)e^{i\theta (s)}}ds\\ & =[\log r(s)+i\theta (s){]}_0^1\\ & =i[\theta (1)-\theta (0)]\\ & =2\pi i[\tilde{g}(1)-\tilde{g}(0)].\end{array}$$

정리 66.4 (코시 적분 공식-고전적 버전)

$C$를 복소 평면 안의 단순 닫힌 조각마다 미분 가능한 곡선이라고 하자. $B$를 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계 성분이라고 하자. 만약 $F(z)$가 $B$와 $C$를 포함하는 열린 집합 $\Omega$에서 해석적(analytic)이라면, $B$의 각 점 $a$에 대해 다음이 성립한다.

$$F(a)=\pm \frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{F(z)}{z-a}dz.$$

부호는 $C$가 반시계 방향으로 향하면 $+$이고, 그렇지 않으면 $-$이다.

증명

우리는 이 공식을 Ahlfors [A]에서 증명된 버전으로부터 유도한다. 그 버전은 다음과 같다: $F$를 영역 $\Omega$에서 해석적이라고 하자. $f$를 $\Omega$ 안의 조각마다 미분 가능한 루프라고 하자. $\Omega$에 있지 않은 각 $b$에 대해 $n(f,b)=0$이라고 가정하자. 만약 $a\in \Omega$이고 $a$가 $f$의 상에 있지 않다면,

$$n(f,a)\cdot F(a)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_f\frac{F(z)}{z-a}dz.$$

우리는 이 결과를 우리의 단순 닫힌 곡선 $C$의 조각마다 미분 가능한 매개화(parametrization) $f$에 적용한다. $\Omega$에 있지 않은 각 $b$에 대해 $n(f,b)=0$ 조건은 성립하는데, 왜냐하면 그러한 $b$는 ${\mathbb{R}}^2-C$의 유계가 아닌 성분에 놓여 있기 때문이다. 더욱이, $a$가 $B$에 있을 때마다 $n(f,a)=\pm 1$이며, 부호는 정리 66.2에 의해 $C$의 방향에 따라 결정된다. 정리가 따른다.

고전적인 버전의 코시 적분 정리는 조르당 곡선 정리를 알지 못하면 기술조차 할 수 없다는 점에 유의해야 한다. 그것을 증명하려면 단순 닫힌 곡선의 감김수에 대한 지식까지, 훨씬 더 많은 것이 필요하다. 이 후자의 결과는 (적어도 미분 가능한 경우에) 해석학에서 증명되는 그린 정리(Green’s Theorem)의 일반적인 버전을 사용하여 완전히 다른 방법으로 증명될 수 있다는 점이 흥미롭다. 이 증명은 연습문제 2에 개요가 나와 있다.