60. Fundamental Groups of Some Surfaces

곡면(surface)이란 각 점이 $R^2$의 열린 부분집합과 위상동형인 이웃을 갖는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)이면서 가산 기저(countable basis)를 갖는 공간을 말한다. 곡면은 기하학, 위상수학, 복소 해석학을 포함한 수학의 여러 분야에서 중요하다. 여기서는 원환면(torus)과 이중 원환면(double torus)을 포함한 몇몇 곡면들을 살펴보고, 그들의 기본군(fundamental group)을 비교하여 서로 위상동형이 아님을 보일 것이다. 나중 장에서는 모든 콤팩트 곡면(compact surface)들을 위상동형 관계에 따라 분류할 것이다.

먼저 원환면을 살펴보자. 이전 연습문제에서 덮개 공간(covering space) 이론을 사용하여 그 기본군을 계산해 보라고 요청한 바 있다. 여기서는 곱공간(product space)의 기본군에 대한 정리를 사용하여 계산해 보자.

그룹 $A$와 $B$가 연산 $\cdot$를 가질 때, 데카르트 곱 $A\times B$는 연산

$$(a\times b)\cdot (a^{\prime }\times b^{\prime })=(a\cdot a^{\prime })\times (b\cdot b^{\prime })$$

을 사용하여 그룹 구조를 가짐을 상기하자.

또한 $h:C\to A$와 $k:C\to B$가 그룹 준동형사상(group homomorphism)일 때, $\varphi (c)=h(c)\times k(c)$로 정의된 사상 $\varphi :C\to A\times B$는 그룹 준동형사상임을 상기하자.

정리 60.1

${\pi }_1(X\times Y,x_0\times y_0)$는 ${\pi }_1(X,x_0)\times {\pi }_1(Y,y_0)$와 동형(isomorphic)이다.

증명

$p:X\times Y\to X$와 $q:X\times Y\to Y$를 사영 사상(projection mapping)이라 하자. 정리의 명제에서 주어진 밑점(base point)을 사용하면, 다음과 같은 유도된 준동형사상(induced homomorphism)을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{p}_{\ast }& :{\pi }_1(X\times Y,x_0\times y_0)\to {\pi }_1(X,x_0),\\ q_{\ast }& :{\pi }_1(X\times Y,x_0\times y_0)\to {\pi }_1(Y,y_0).\end{array}$$

다음과 같은 준동형사상을 정의하자.

$$\Phi :{\pi }_1(X\times Y,x_0\times y_0)\to {\pi }_1(X,x_0)\times {\pi }_1(Y,y_0)$$

이 사상은

$$\Phi ([f])=p_{\ast }([f])\times q_{\ast }([f])=[p\circ f]\times [q\circ f]$$

라는 방정식으로 정의된다. 우리는 $\Phi$가 동형사상(isomorphism)임을 보일 것이다.

$\Phi$는 전사(surjective)이다. $g:I\to X$를 $x_0$을 밑점(base point)으로 하는 고리(loop)라 하고, $h:I\to Y$를 $y_0$을 밑점으로 하는 고리라 하자. 우리는 원소 $[g]\times [h]$가 $\Phi$의 상(image)에 속함을 보이려 한다. $f:I\to X\times Y$를

$$f(s)=g(s)\times h(s)$$

라는 방정식으로 정의하자.

그러면 $f$는 $x_0\times y_0$를 밑점으로 하는 $X\times Y$ 안의 고리이고,

$$\Phi ([f])=[p\circ f]\times [q\circ f]=[g]\times [h]$$

이므로 원하는 결과를 얻는다.

$\Phi$의 핵(kernel)은 사라진다(vanishes). $f:I\to X\times Y$가 $x_0\times y_0$를 밑점으로 하는 고리이고 $\Phi ([f])=[p\circ f]\times [q\circ f]$가 항등원(identity element)이라 가정하자. 이것은 $p\circ f{\simeq }_p{e}_{x_0}$ 이고 $q\circ f{\simeq }_p{e}_{y_0}$임을 의미한다. $G$와 $H$를 각각의 경로 호모토피(path homotopy)라 하자. 그러면

$$F(s,t)=G(s,t)\times H(s,t)$$

로 정의된 사상 $F:I\times I\to X\times Y$는 $f$와 $x_0\times y_0$를 밑점으로 하는 상수 고리(constant loop) 사이의 경로 호모토피이다.

따름정리 60.2

원환면 $T=S^1\times S^1$의 기본군은 그룹 $Z\times Z$와 동형이다.

이제 사영 평면(projective plane)이라는 곡면을 정의하고 그 기본군을 계산하자.

정리

사영 평면 $P^2$는 $S^2$의 각 점 $x$를 그 대척점(antipodal point) $-x$와 동일시하여 얻는 몫공간(quotient space)이다.

사영 평면은 여러분에게 익숙한 공간이 아닐 수도 있다. 이 공간은 $R^3$에 매립(imbed)될 수 없으므로 시각화하기 어렵다. 그러나 사영기하학(projective geometry)에서는 유클리드 평면 $R^2$가 일반 유클리드 기하학(euclidean geometry)에서 그러하듯이, 사영 평면이 기본적인 연구 대상이다. 위상수학자들은 주로 곡면의 한 예로서 이 공간에 관심을 가진다.

정리 60.3

사영 평면 $P^2$¹는 콤팩트 곡면(compact surface)이고, 몫사상(quotient map) $p:S^2\to P^2$는 덮개 사상(covering map)이다.

증명

먼저 $p$가 열린 사상(open map)임을 보이자. $U$가 $S^2$에서 열린 집합이라 하자. 대척 사상(antipodal map) $a:S^2\to S^2$는 $a(x)=-x$로 주어지며, 이는 $S^2$의 위상동형사상(homeomorphism)이다. 따라서 $a(U)$는 $S^2$에서 열린 집합이다.

$$p^{-1}(p(U))=U\cup a(U)$$

이므로, 이 집합 또한 $S^2$에서 열린 집합이다. 그러므로 정의에 의해 $p(U)$는 $P^2$에서 열린 집합이다. 비슷한 논증으로 $p$가 닫힌 사상(closed map)임을 보일 수 있다.

이제 $p$가 덮개 사상임을 보이자. $P^2$의 한 점 $y$가 주어졌을 때, $x\in p^{-1}(y)$를 택하자. 그리고 $R^3$의 유클리드 거리 $d$를 이용하여, 어떤 $ϵ<1$에 대해 $S^2$에서 $x$의 $ϵ$-근방(neighborhood) $U$를 택하자. 그러면 $U$는 $S^2$의 대척점 쌍 $\{z,a(z)\}$를 포함하지 않는데, 이는 $d(z,a(z))=2$이기 때문이다. 결과적으로 사상

$$p:U\to p(U)$$

는 전단사(bijective)이다. 연속이고 열린 사상이므로 위상동형사상이다. 비슷하게,

$$p:a(U)\to p(a(U))=p(U)$$

도 위상동형사상이다. 집합 $p^{-1}(p(U))$는 따라서 서로소인 두 열린 집합 $U$와 $a(U)$의 합집합이며, 각각은 $p$에 의해 $p(U)$ 위로 위상동형적으로 사상된다. 그러면 $p(U)$는 $p(x)=y$의 근방으로서 $p$에 의해 균등하게 덮인다(evenly covered).

$S^2$는 가산 기저 $\{U_n\}$을 가지므로, 공간 $P^2$는 가산 기저 $\{p(U_n)\}$을 가진다. $P^2$가 하우스도르프라는 사실은 $S^2$가 정규(normal)이고 $p$가 닫힌 사상이라는 사실로부터 나온다. (§31의 연습문제 6 참조.) 또는, 직접 증명할 수도 있다: $P^2$의 두 점 $y_1$과 $y_2$가 주어졌다고 하자. 집합 $p^{-1}(y_1)\cup p^{-1}(y_2)$는 네 점으로 이루어져 있다. 이들 사이의 최소 거리를 $2ϵ$이라 하자. $p^{-1}(y_1)$의 한 점의 $ϵ$-근방 $U_1$과 $p^{-1}(y_2)$의 한 점의 $ϵ$-근방 $U_2$를 택하자. 그러면

$$U_1\cup a(U_1)\text{과}{U}_2\cup a(U_2)$$

는 서로소이다. 따라서 $p(U_1)$과 $p(U_2)$는 각각 $P^2$에서 $y_1$과 $y_2$의 서로소인 근방이다.

$S^2$는 곡면이고 $P^2$의 모든 점은 $S^2$의 열린 부분집합과 위상동형인 근방을 가지므로, 공간 $P^2$ 또한 곡면이다.

따름정리 60.4

${\pi }_1(P^2,y)$는 위수(order)²가 2인 그룹이다.

증명

사영 $p:S^2\to P^2$는 덮개 사상이다. $S^2$가 단순 연결(simply connected)이므로, 정리 54.4를 적용할 수 있다. 이 정리는 ${\pi }_1(P^2,y)$와 집합 $p^{-1}(y)$ 사이에 전단사 대응이 존재함을 말해준다. 이 집합은 두 개의 원소를 가지므로, ${\pi }_1(P^2,y)$는 위수가 2인 그룹이다.

물론, 위수가 2인 모든 그룹은 $\mathbb{Z}/2$, 즉 정수 ${\mathbb{Z}}_2$ 그룹과 동형이다.

비슷한 방법으로, 임의의 $n\in Z_{+}$에 대해 $P^n$을 각 점 $x$를 그 대척점 $-x$와 동일시하여 $S^n$으로부터 얻은 공간으로 정의할 수 있다. 이를 사영 $n$-공간(projective $n$-space)이라 한다. 정리 60.3의 증명은 그대로 적용되어 사영 $p:S^n\to P^n$이 덮개 사상임을 증명한다. $n\ge 2$일 때 $S^n$은 단순 연결이므로, $n\ge 2$일 때 ${\pi }_1(P^n,y)$는 두 원소 그룹이 된다. $n=1$일 때 어떤 일이 일어나는지는 여러분이 직접 알아내도록 남겨둔다.

이제 이중 원환면을 연구해 보자. 8자 모양(figure eight)에 대한 보조정리로 시작한다.

보조정리 60.5

8자 모양의 기본군은 아벨 군(abelian)이 아니다.

증명

$X$를 $R^2$에서 교집합이 한 점 $x_0$인 두 원 $A$와 $B$의 합집합이라 하자. $X$의 어떤 덮개 공간 $E$를 설명하겠다.

공간 $E$는 평면의 부분집합으로, $x$-축과 $y$-축, 그리고 이 축들에 접하는 작은 원들로 이루어져 있다. 각 $0$이 아닌 정수 점들에서 $x$-축에 접하는 원 들과, 각 $0$이 아닌 정수 점에서 $y$-축에 접하는 원들이 있다.

사영 사상 $p:E\to X$는 $x$-축을 원 $A$ 둘레로 감고, $y$-축을 다른 원 $B$ 둘레로 감는다. 각 경우에 정수 점들은 $p$에 의해 밑점 $x_0$로 사상된다. $x$-축의 정수 점에 접하는 각 원은 $p$에 의해 $B$ 위로 위상동형적으로 사상되고, $y$-축의 정수 점에 접하는 각 원은 $A$ 위로 위상동형적으로 사상된다. 각 경우에 접점은 점 $x_0$ 위로 사상된다. 사상 $p$가 실제로 덮개 사상이라는 것은 여러분이 머릿속으로 확인해 볼 수 있다.

원한다면 이 설명을 방정식으로 쓸 수도 있겠지만, 비형식적인 설명이 더 이해하기 쉽다고 생각한다.

이제 $\tilde{f}:I\to E$를 $x$-축을 따라 원점에서 점 $1\times 0$까지 가는 경로 $\tilde{f}(s)=s\times 0$이라 하자. $\tilde{g}:I\to E$를 $y$-축을 따라 원점에서 점 $0\times 1$까지 가는 경로 $\tilde{g}(s)=0\times s$라 하자. $f=p\circ \tilde{f}$이고 $g=p\circ \tilde{g}$라 하면, $f$와 $g$는 각각 원 $A$와 $B$를 한 바퀴 도는 8자 모양의 $x_0$를 밑점으로 하는 고리이다.

우리는 $f\ast g$와 $g\ast f$가 경로 호모토픽(path homotopic)하지 않음을 주장한다. 따라서 8자 모양의 기본군은 아벨 군이 아니다.

이 주장을 증명하기 위해, 이들 각각을 원점에서 시작하는 $E$ 안의 경로로 들어올려(lift) 보자. 경로 $f\ast g$는 $x$-축을 따라 원점에서 $1\times 0$까지 간 다음, $1\times 0$에서 $x$-축에 접하는 원을 한 바퀴 도는 경로로 들어올려진다. 반면에, 경로 $g\ast f$는 $y$-축을 따라 원점에서 $0\times 1$까지 간 다음, $0\times 1$에서 $y$-축에 접하는 원을 한 바퀴 도는 경로로 들어올려진다. 들어올려진 경로들이 같은 점에서 끝나지 않으므로, $f\ast g$와 $g\ast f$는 경로 호모토픽할 수 없다.

우리는 나중에 8자 모양의 기본군이 대수학자들이 “두 생성원에 대한 자유군(free group on two generators)“이라고 부르는 군이라는 것을 증명할 것이다.

정리 60.6

이중 원환면의 기본군은 아벨 군이 아니다.

증명

이중 원환면 $T\#T$는 두 개의 원환면 복사본을 가져와 각각에서 작은 열린 원판을 제거하고, 남은 조각들을 그들의 경계를 따라 붙여서 얻는 곡면이다. 우리는 8자 모양 $X$가 $T\#T$의 수축(retract)임을 주장한다.

이 사실은 포함사상(inclusion) $j:X\to T\#T$가 단사(monomorphism)인 준동형사상 $j_{\ast }$를 유도함을 의미하므로, ${\pi }_1(T\#T,x_0)$는 아벨 군이 아니다.

수축 $r:T\#T\to X$에 대한 방정식을 쓸 수도 있지만, 그림으로 나타내는 것이 더 간단하다. 점선으로 된 원을 한 점으로 축소시키지만 그 외에는 일대일인 사상으로 $T\#T$를 $Y$ 위로 사상한다. 이 사상은 $T\#T$ 안의 8자 모양과 $Y$ 안의 8자 모양 사이의 위상동형사상 $h$를 정의한다. 그런 다음, 각 단면 원을 8자 모양과 교차하는 점으로 사상하여 $Y$를 그 8자 모양으로 수축시킨다. 그리고 나서 사상 $h^{-1}$을 이용하여 $Y$ 안의 8자 모양을 $T\#T$ 안의 8자 모양으로 다시 사상한다.

따름정리 60.7

2차원 구(2-sphere), 원환면, 사영 평면, 이중 원환면은 위상적으로 구별된다.³

Footnotes

1. cross cap 또는 roman surface 와 같다. ↩

2. 원소의 개수 ↩

3. 네 공간이 위상적으로 구별된다는 것은 각각의 기본군(fundamental group)이 서로 동형이 아님을 보임으로써 증명할 수 있다. 2차원 구($S^2$)는 구멍이 없는 단순 연결 공간이므로 기본군이 자명한 군($\{e\}$)이다. 반면, 원환면(torus)은 $S^1\times S^1$으로 표현되며, 그 기본군은 두 개의 독립적인 고리를 나타내는 $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$이다. 사영평면($P^2$)은 $S^2$의 대척점을 동일시하여 얻어지는데, 이 ‘꼬임’으로 인해 기본군은 원소가 두 개인 유한군 $\mathbb{Z}/2$가 되어 앞선 공간과 구별된다. 이중 원환면(double torus)은 원환면(double torus)은 8자 모양 모양 공간을 수축(retract)으로 가지기 때문에, 그 기본군은 기본군은 교환법칙이 교환법칙이 성립하지 않는 비가환군(non-abelian group)의 성질을 갖는다. 이처럼 네 공간의 기본군은 각각 자명군, 무한 아벨군, 유한 아벨군, 비가환군으로, 그룹의 구조 자체가 근본적으로 다르기 때문에 이들은 결코 위상동형일 수 없습니다. ↩