57. The Borsuk-Ulam Theorem

다음과 같은 “수수께끼 문제가 있다: 평면 $R^2$에 유계인 다각형 영역 $A$가 주어졌다고 가정하자. $A$가 어떤 모양이든, $A$를 이등분하는 직선, 즉 $A$의 넓이를 절반으로 자르는 직선이 존재함을 보이는 것은 쉽다. 수평선 $y=c$를 생각하고, 이 직선 아래에 있는 $A$ 부분의 넓이를 $f(c)$라 하자. $f$는 $c$의 연속 함수이므로, 중간값 정리를 사용하여 $f(c)$가 $A$의 넓이의 정확히 절반이 되는 $c$의 값을 찾을 수 있다.

하지만 이제 두 개의 영역 $A_1$과 $A_2$가 주어지고, 두 영역을 모두 이등분하는 단일한 직선을 찾으라는 문제가 주어졌다고 가정하자. 그러한 직선이 존재한다는 것조차 명백하지 않다. 의심이 든다면 임의의 두 삼각형 영역에 대해 하나를 찾아보라!

사실, 그러한 직선은 항상 존재한다. 이 결과는 이제 우리가 다룰 보르수크-울람 정리(Borsuk-Ulam theorem)라고 알려진 유명한 정리의 따름정리이다.

정의

$S^n$의 점 $x$에 대해, 그 대척점(antipode) 은 점 $-x$이다. 사상 $h:S^n\to S^m$이 모든 $x\in S^n$에 대해 $h(-x)=-h(x)$를 만족하면 대척점 보존(antipode-preserving) 이라고 한다.

정리 57.1

만약 $h:S^1\to S^1$이 연속이고 대척점을 보존한다면, $h$는 널호모토픽(nulhomotopic)이 아니다.

증명

$S^1$의 점 $b_0$를 $(1,0)$이라 하자. $h(b_0)$를 $b_0$로 보내는 $S^1$의 회전(rotation) $\rho :S^1\to S^1$을 생각하자. $\rho$는 대척점을 보존하므로, 합성 함수 $\rho \circ h$도 그러하다. 더욱이, 만약 $H$가 $h$와 상수 사상 사이의 호모토피라면, $\rho \circ H$는 $\rho \circ h$와 상수 사상 사이의 호모토피가 된다. 따라서, $h(b_0)=b_0$라는 추가적인 가정 하에 정리를 증명하는 것으로 충분하다.

1단계. 복소수 $z$에 대해 $q(z)=z^2$으로 주어진 사상 $q:S^1\to S^1$를 생각하자. 또는 실수 좌표로는 $q(\cos \theta ,\sin \theta )=(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$이다. 사상 $q$는 연속이고, 닫힌 사상이며, 전사 함수이므로 몫 사상(quotient map)이다. $S^1$의 임의의 점에 대한 $q$의 원상은 $S^1$의 두 대척점 $z$와 $-z$로 구성된다. $h(-z)=-h(z)$이므로, 등식 $q(h(-z))=q(h(z))$가 성립한다. 따라서 $q$가 몫 사상이므로, 사상 $q\circ h$는 $k\circ q=q\circ h$를 만족하는 연속 사상 $k:S^1\to S^1$를 유도한다.

\usepackage{tikz-cd}
 
\begin{document}
 
\Large{
\begin{tikzcd}
S^1 \arrow[r, "h"] \arrow[d, "q"'] & S^1 \arrow[d, "q"] \\
S^1 \arrow[r, "k", dotted] & S^1
\end{tikzcd}
}
 
\end{document}

$q(b_0)=h(b_0)=b_0$이므로, $k(b_0)=b_0$임에 주목하자. 또한, $h(-b_0)=-b_0$이다.

2단계. ${\pi }_1(S^1,b_0)$에 대한 준동형사상 $k_{\ast }$가 자명하지 않음(nontrivial)을 보이겠다.

이를 위해, 먼저 $q$가 덮개 사상(covering map)임을 보인다. (§53의 연습문제로 제시되었다.) 증명은 표준 사상 $p:\mathbb{R}\to S^1$이 덮개 사상이라는 증명과 유사하다. 예를 들어, $U$가 양의 두 번째 좌표를 갖는 점들로 구성된 $S^1$의 부분집합이라면, $p^{-1}(U)$는 ${\mathbb{R}}^2$의 1사분면과 3사분면에 있는 $S^1$의 점들로 구성된다. 사상 $q$는 이들 각 집합을 $U$ 위로 위상동형적으로 보낸다. 유사한 논증이 $S^1$과 열린 아래쪽 반평면, 또는 열린 오른쪽 및 왼쪽 반평면의 교집합에도 적용된다.

둘째로, 만약 $\tilde{f}$가 $b_0$에서 $-b_0$로 가는 $S^1$ 안의 임의의 경로라면, 루프 $f=q\circ \tilde{f}$는 ${\pi }_1(S^1,b_0)$의 자명하지 않은 원소를 나타냄에 주목하자. 왜냐하면 $\tilde{f}$는 $b_0$에서 시작하여 $b_0$에서 끝나지 않는 $f$의 $S^1$로의 올림(lifting)이기 때문이다.

마지막으로, $k_{\ast }$가 자명하지 않음을 보인다. $\tilde{f}$를 $b_0$에서 $-b_0$로 가는 $S^1$ 안의 경로라 하고, $f$를 루프 $q\circ \tilde{f}$라 하자. 그러면 $k_{\ast }[f]$는 자명하지 않다. 왜냐하면 $k_{\ast }[f]=[k\circ (q\circ \tilde{f})]=[q\circ (h\circ \tilde{f})]$이고, 후자는 $h\circ \tilde{f}$가 $b_0$에서 $-b_0$로 가는 $S^1$ 안의 경로이므로 자명하지 않기 때문이다.

3단계. 마지막으로, 준동형사상 $h_{\ast }$가 자명하지 않음을 보여 $h$가 영호모토픽이 아님을 보인다.

준동형사상 $k_{\ast }$는 무한 순환군(infinite cyclic group)에서 자신으로 가는 자명하지 않은 준동형사상이므로 단사이다. 준동형사상 $q_{\ast }$도 단사이다; 실제로 $q_{\ast }$는 정수 그룹에서 2를 곱하는 것에 해당한다. $k_{\ast }\circ q_{\ast }$가 단사임이 따라 나온다. $q_{\ast }\circ h_{\ast }=k_{\ast }\circ q_{\ast }$이므로, 준동형사상 $h_{\ast }$도 단사여야 한다.

정리 57.2

연속인 대척점 보존 사상 $g:S^2\to S^1$은 존재하지 않는다.

증명

연속이고 대척점을 보존하는 $g:S^2\to S^1$이 존재한다고 가정하자. $S^1$을 $S^2$의 적도(equator)로 생각하자. 그러면 $S^1$에 대한 $g$의 제한은 $S^1$에서 자신으로 가는 연속인 대척점 보존 사상 $h$가 된다. 앞선 정리에 의해 $h$는 영호모토픽이 아니다. 그러나 $S^2$의 위쪽 반구(upper hemisphere) $E$는 공 $B^2$과 위상동형이고, $g$는 $h$를 $E$로 확장한 연속 사상이다!

정리 57.3 (S²에 대한 보르수크-울람 정리)

연속 사상 $f:S^2\to {\mathbb{R}}^2$가 주어지면, $f(x)=f(-x)$를 만족하는 $S^2$의 점 $x$가 존재한다.

증명

모든 $x\in S^2$에 대해 $f(x)\ne f(-x)$라고 가정하자. 그러면 사상

$$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{\Vert f(x)-f(-x)\Vert }$$

는 모든 $x$에 대해 $g(-x)=-g(x)$를 만족하는 연속 사상 $g:S^2\to S^1$이다.

정리 57.4 (이등분 정리, The bisection theorem)

${\mathbb{R}}^2$에 있는 두 개의 유계인 다각형 영역이 주어지면, 두 영역을 모두 이등분하는 직선이 ${\mathbb{R}}^2$에 존재한다.

증명

${\mathbb{R}}^3$의 평면 ${\mathbb{R}}^2\times \{1\}$에 있는 두 유계 다각형 영역 $A_1$과 $A_2$를 생각하고, 이 평면 안에 두 영역을 모두 이등분하는 직선 $L$이 존재함을 보이겠다.

$S^2$의 점 $u$가 주어지면, 원점을 지나고 $u$를 단위 법선 벡터(unit normal vector)로 갖는 ${\mathbb{R}}^3$ 안의 평면 $P$를 생각하자. 이 평면은 ${\mathbb{R}}^3$를 두 개의 반공간(half-space)으로 나눈다; $f_i(u)$를 벡터 $u$와 같은 쪽에 있는 $A_i$ 부분의 넓이와 같다고 하자.

만약 $u$가 단위 벡터 $\mathbf{k}$이면, $f_i(u)=\text{area }{A}_i$이고, 만약 $u=-\mathbf{k}$이면, $f_i(u)=0$이다. 그렇지 않은 경우, 평면 $P$는 평면 ${\mathbb{R}}^2\times \{1\}$과 만나 직선 $L$을 형성하며, 이 직선은 ${\mathbb{R}}^2\times \{1\}$을 두 개의 반평면으로 나눈다. 그리고 $f_i(u)$는 이 직선의 한쪽에 있는 $A_i$ 부분의 넓이이다.

$u$를 $-u$로 바꾸면 같은 평면 $P$를 얻지만 다른 반공간을 얻게 되므로, $f_i(-u)$는 $u$로부터 $P$의 다른 쪽에 있는 $A_i$ 부분의 넓이이다. 따라서

$$f_i(u)+f_i(-u)=\text{area }{A}_i.$$

이제 $F(u)=(f_1(u),f_2(u))$로 주어진 사상 $F:S^2\to {\mathbb{R}}^2$를 생각하자. 보르수크-울람 정리는 $F(u)=F(-u)$인 $S^2$의 점 $u$가 존재함을 알려준다. 그러면 $i=1,2$에 대해 $f_i(u)=f_i(-u)$이므로, $f_i(u)=\frac{1}{2}\text{area }{A}_i$가 되어 원하는 결과를 얻는다.

우리는 평면의 유계 다각형 영역에 대한 이등분 정리(bisection theorem)를 증명했다. 그러나 증명에 필요했던 것은 $A_1$과 $A_2$에 대한 덧셈적인 넓이 함수(additive area function)의 존재뿐이었다. 따라서 이 정리는 해석학에서 사용되는 의미에서 “조르당 가측(Jordan-measurable)“인 임의의 두 집합 $A_1$과 $A_2$에 대해서도 성립한다.

이러한 정리들은 더 높은 차원으로 일반화되지만, 그 증명은 상당히 더 정교하다. 일반화된 이등분 정리는 ${\mathbb{R}}^n$에 있는 $n$개의 조르당 가측 집합이 주어지면, 그들 모두를 이등분하는 $n-1$ 차원의 평면이 존재한다고 말한다. $n=3$인 경우, 이 결과는 “햄 샌드위치 정리(ham sandwich theorem)“라는 재미있는 이름으로 불린다. 햄 샌드위치를 두 조각의 빵과 한 덩어리의 햄으로 구성된 것으로 생각한다면, 이등분 정리는 하나의 칼질(a single whack of a cleaver)로 그들 각각을 정확히 절반으로 나눌 수 있다고 말하는 것이다!