56. The Fundamental Theorem of Algebra

복소수에 관한 기본 사실 중 하나는 실수 또는 복소수 계수를 갖는 $n$차 다항 방정식

$$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$$

은 (중복도를 포함하여) $n$개의 근을 갖는다는 것이다. 아마도 고등학교 대수학 시간에 이 사실을 처음 들었겠지만, 그 당시에 증명되었을 가능성은 희박하다.

사실 그 증명은 꽤 어렵다. 가장 어려운 부분은 양의 차수를 갖는 모든 다항 방정식이 적어도 하나의 근을 갖는다는 것을 증명하는 것이다. 이를 수행하는 방법에는 여러 가지가 있다. 대수학의 기법만을 사용할 수 있는데, 이 증명은 길고 고되다. 또는 복소 변수의 해석 함수 이론을 발전시켜 리우빌 정리의 사소한 따름정리가 되도록 할 수도 있다. 혹은 원의 기본군에 대한 우리의 계산의 비교적 쉬운 따름정리로 증명할 수도 있다. 이제 우리는 이 방법을 사용한다.

정리 56.1 (대수학의 기본 정리)

$n>0$일 때, 실수 또는 복소수 계수를 갖는 $n$차 다항 방정식

$$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$$

은 적어도 하나의 (실수 또는 복소수) 근을 갖는다.

증명

1단계. 복소수 $z$에 대해 $f(z)=z^n$으로 주어진 사상 $f:S^1\to S^1$을 생각하자. 우리는 유도된 준동형사상 $f_{\ast }$가 단사임을 보인다.

$S^1$에서 표준 고리인 $p_0:I\to S^1$을

$$p_0(s)=e^{2\pi is}=(\cos 2\pi s,\sin 2\pi s)$$

로 두자. $f_{\ast }$에 의한 이 고리의 상은

$$f(p_0(s))=(e^{2\pi is}{)}^n=(\cos 2\pi ns,\sin 2\pi ns)$$

이다. 이 고리는 덮개 공간 $\mathbb{R}$에서 경로 $s\mapsto ns$로 들어올려진다. 그러므로 고리 $f\circ p_0$는 ${\pi }_1(S^1,b_0)$와 정수군 사이의 표준 동형사상 하에서 정수 $n$에 대응하는 반면, $p_0$는 숫자 $1$에 대응한다. 따라서 $f_{\ast }$는 $S^1$의 기본군에서 “n을 곱하는 것”과 같으므로, 특히 $f_{\ast }$는 단사이다.

2단계. 만약 $g:S^1\to {\mathbb{R}}^2-0$이 $g(z)=z^n$인 사상이라면, $g$는 널호모토픽이 아님을 보인다.

사상 $g$는 1단계의 사상 $f$와 포함 사상 $j:S^1\to {\mathbb{R}}^2-0$의 합성이다. 이제 $f_{\ast }$는 단사이고, $S^1$이 ${\mathbb{R}}^2-0$의 수축이기 때문에 $j_{\ast }$도 단사이다. 그러므로 $g_{\ast }=j_{\ast }\circ f_{\ast }$는 단사이다. 따라서 $g$는 널호모토픽일 수 없다.

3단계. 이제 정리의 특별한 경우를 증명한다. 다항 방정식

$$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$$

이 주어졌을 때,

$$|a_{n-1}|+\cdots +|a_1|+|a_0|<1$$

이라고 가정하고, 이 방정식이 단위 공 $B^2$ 안에 근을 가짐을 보인다.

그러한 근이 없다고 가정하자. 그러면 우리는 방정식

$$k(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$$

에 의해 사상 $k:B^2\to {\mathbb{R}}^2-0$을 정의할 수 있다. $h$를 $k$를 $S^1$에 제한한 것으로 두자. $h$는 단위 공에서 ${\mathbb{R}}^2-0$으로 확장되므로, $h$는 널호모토픽이다.

반면에, 우리는 $h$와 2단계의 사상 $g$ 사이의 호모토피 $F$를 정의할 것이다. $g$는 널호모토픽이 아니므로 모순이 생긴다. 우리는 $F:S^1\times I\to {\mathbb{R}}^2-0$을 방정식

$$F(z,t)=z^n+t(a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0)$$

으로 정의한다. 그림 56.1을 참조하라. $F(z,t)$는 결코 $0$이 되지 않는다. 왜냐하면

$$\begin{array}{rl}|F(z,t)|& \ge |z^n|-|t(a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0)|\\ & \ge 1-t(|a_{n-1}{z}^{n-1}|+\cdots +|a_0|)\\ & =1-t(|a_{n-1}|+\cdots +|a_0|)>0\end{array}$$

이기 때문이다.

4단계. 이제 일반적인 경우를 증명한다. 다항 방정식

$$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$$

이 주어졌을 때, 양의 실수 $c>0$를 선택하고 $x=cy$를 대입하자. 우리는 방정식

$$(cy{)}^n+a_{n-1}(cy{)}^{n-1}+\cdots +a_1(cy)+a_0=0$$

또는

$$y^n+\frac{a_{n-1}}{c}{y}^{n-1}+\cdots +\frac{a_1}{c^{n-1}}y+\frac{a_0}{c^n}=0$$

을 얻는다. 이 방정식이 근 $y=y_0$를 갖는다면, 원래 방정식은 근 $x_0=c{y}_0$를 갖는다. 그러므로 우리는

$$\left|\frac{a_{n-1}}{c}\right|+\left|\frac{a_{n-2}}{c^2}\right|+\cdots +\left|\frac{a_1}{c^{n-1}}\right|+\left|\frac{a_0}{c^n}\right|<1$$

이 되도록 $c$를 충분히 크게 선택하여, 정리를 3단계에서 고려한 특별한 경우로 환원하면 된다.