55. Retractions and Fixed Points

이제 우리는 $S^1$의 기본군에 대한 우리의 지식으로부터 따라 나오는 몇 가지 위상수학의 고전적인 결과들을 증명한다.

정의

만약 $A\subset X$이면, $X$에서 $A$로의 축소(retraction) 는 $A$의 각 원소 $a$에 대해 $r(a)=a$를 만족하는 연속 함수 $r:X\to A$이다. 만약 그러한 함수 $r$이 존재하면, 우리는 $A$가 $X$의 축소 집합(retract) 이라고 말한다.¹

보조정리 55.1

만약 $A$가 $X$의 축소 집합이면, 포함 함수(inclusion map) $j:A\hookrightarrow X$에 의해 유도된 기본군의 준동형사상은 단사(injective)이다.

증명

만약 $r:X\to A$가 축소이면, 합성 함수 $r\circ j$는 $A$의 항등 함수와 같다. 따라서 $r_{\ast }\circ j_{\ast }$는 ${\pi }_1(A,a)$의 항등 준동형사상이므로, $j_{\ast }$는 단사여야 한다.

정리 55.2 (비-축소 정리, No-retraction theorem)

$B^2$에서 $S^1$으로의 축소는 존재하지 않는다.

증명

만약 $S^1$이 $B^2$의 축소 집합이라면, 포함 함수 $j:S^1\to B^2$에 의해 유도된 준동형사상은 단사일 것이다. 하지만 $S^1$의 기본군은 자명하지 않고 $B^2$의 기본군은 자명하다.²

보조정리 55.3

$h:S^1\to X$를 연속 함수라 하자. 그러면 다음 조건들은 동치이다: (1) $h$는 눌호모토픽(nulhomotopic)이다. (2) $h$는 연속 함수 $k:B^2\to X$로 확장될 수 있다. (3) $h_{\ast }$는 기본군의 자명한 준동형사상이다.

증명

$(1)\Rightarrow (2)$. $H:S^1\times I\to X$를 $h$와 상수 함수 사이의 호모토피라 하자. $\pi :S^1\times I\to B^2$를

$$\pi (x,t)=(1-t)x$$

라는 함수라 하자. 그러면 $\pi$는 연속이고, 닫힌 함수이며, 전사이므로 몫 함수(quotient map)이다;

이것은 $S^1\times 1$을 점 $0$으로 축소시키고 그 외에는 단사이다. $H$가 $S^1\times 1$ 위에서 상수이므로, 몫 함수 $\pi$를 통해 $h$의 확장인 연속 함수 $k:B^2\to X$를 유도한다.

$(2)\Rightarrow (3)$. 만약 $j:S^1\to B^2$가 포함 함수이면, $h$는 합성 $k\circ j$와 같다. 따라서 $h_{\ast }=k_{\ast }\circ j_{\ast }$이다. 하지만

$$j_{\ast }:{\pi }_1(S^1,b_0)\to {\pi }_1(B^2,b_0)$$

는 $B^2$의 기본군이 자명하기 때문에 자명하다. 따라서 $h_{\ast }$는 자명하다.

$(3)\Rightarrow (1)$. $p:\mathbb{R}\to S^1$를 표준 덮개 함수라 하고, $p_0:I\to S^1$를 단위 구간으로 제한한 것이라 하자. $p_0$는 $0$에서 시작하여 $1$에서 끝나는 $\mathbb{R}$로의 리프트가 있는 $S^1$ 안의 루프이므로, $[p_0]$는 ${\pi }_1(S^1,b_0)$를 생성한다.

$x_0=h(b_0)$라 하자. $h_{\ast }$가 자명이므로, 루프 $f=h\circ p_0$는 ${\pi }_1(X,x_0)$의 항등원을 나타낸다. 따라서 $f$와 $x_0$에서의 상수 경로 사이에 $X$ 안의 경로 호모토피 $F$가 존재한다. 함수 $p_0\times \text{id}:I\times I\to S^1\times I$는 연속이고, 닫혀 있으며, 전사이므로 몫 함수이다; 이것은 각 $t$에 대해 $0\times t$와 $1\times t$를 $b_0\times t$로 사상하지만 그 외에는 단사이다. 경로 호모토피 $F$는 $0\times I$와 $1\times I$, 그리고 $I\times 1$을 $X$의 점 $x_0$로 사상하므로, $h$와 상수 함수 사이의 호모토피인 연속 함수 $H:S^1\times I\to X$를 유도한다.

따름정리 55.4

포함 함수 $j:S^1\to {\mathbb{R}}^2-0$은 눌호모토픽하지 않다. 항등 함수 $i:S^1\to S^1$은 눌호모토픽하지 않다.

증명

$\mathbb{R}-0$에서 $S^1$으로의 축소는 방정식 $r(x)=x/\Vert x\Vert$로 주어진다. 따라서 $j_{\ast }$는 단사이므로 자명하지 않다. 유사하게, $i_{\ast }$는 항등 준동형사상이므로 자명하지 않다.

정리 55.5

$B^2$ 위의 소멸하지 않는(nonvanishing) 벡터장에 대해, 벡터장이 직접 안쪽을 가리키는 $S^1$의 점과 직접 바깥쪽을 가리키는 $S^1$의 점이 존재한다.

증명

$B^2$ 위의 벡터장은 순서쌍 $(x,v(x))$이다. 여기서 $x$는 $B^2$ 안에 있고 $v$는 $B^2$에서 ${\mathbb{R}}^2$로 가는 연속 함수이다. 미적분학에서는 종종 함수 $v$에 대해

$$v(x)=v_1(x)\mathbf{i}+v_2(x)\mathbf{j}$$

라는 표기법을 사용한다. 여기서 $\mathbf{i}$와 $\mathbf{j}$는 ${\mathbb{R}}^2$의 표준 단위 기저 벡터이다. 하지만 우리는 단순한 함수 표기법을 고수할 것이다. 벡터장이 소멸하지 않는다는 것은 모든 $x$에 대해 $v(x)\ne 0$임을 의미한다; 이 경우 $v$는 실제로 $B^2$를 ${\mathbb{R}}^2-0$으로 사상한다.

먼저 $v(x)$가 $S^1$의 어떤 점 $x$에서도 직접 안쪽을 가리키지 않는다고 가정하고 모순을 유도한다. 함수 $v:B^2\to {\mathbb{R}}^2-0$을 생각하고, $w$를 $S^1$로의 제한이라 하자. 함수 $w$는 $B^2$에서 ${\mathbb{R}}^2-0$으로의 함수로 확장되므로 눌호모토픽하다.

반면에, $w$는 포함 함수 $j:S^1\to {\mathbb{R}}^2-0$과 호모토픽하다. 호모토피는 방정식

$$F(x,t)=tx+(1-t)w(x)$$

으로 공식적으로 정의된다. 우리는 $F(x,t)\ne 0$임을 보여야 한다. 명백히 $t=0$과 $t=1$에 대해 $F(x,t)\ne 0$이다. 만약 $0<t<1$인 어떤 $t$에 대해 $F(x,t)=0$이라면, $tx+(1-t)w(x)=0$이므로 $w(x)$는 $x$의 음의 스칼라 배수와 같다. 하지만 이것은 $w(x)$가 $x$에서 직접 안쪽을 가리킨다는 것을 의미한다! 따라서 $F$는 $S^1\times I$를 ${\mathbb{R}}^2-0$으로 사상한다.

따라서 $j$가 눌호모토픽하다는 결론이 나오며, 이는 앞의 따름정리와 모순된다.

$v$가 $S^1$의 어떤 점에서 직접 바깥쪽을 가리킨다는 것을 보이기 위해, 방금 증명한 결과를 벡터장 $(x,-v(x))$에 적용한다.

우리는 모든 연속 함수 $f:[0,1]\to [0,1]$이 고정점을 갖는다는 것을 이미 보았다(§24의 연습문제 3 참조). 공 $B^2$에 대해서도 마찬가지이지만 증명은 더 깊다:

정리 55.6 (원판에 대한 브라우어 고정점 정리, Brouwer fixed-point theorem for the disc)

만약 $f:B^2\to B^2$가 연속이면, $f(x)=x$인 점 $x\in B^2$가 존재한다.

증명

모순을 통해 증명한다. $B^2$의 모든 $x$에 대해 $f(x)\ne x$라고 가정하자. 그러면 $v(x)=f(x)-x$로 정의하면 $B^2$ 위에 소멸하지 않는 벡터장 $(x,v(x))$를 얻는다. 하지만 벡터장 $v$는 $S^1$의 어떤 점 $x$에서도 직접 바깥쪽을 가리킬 수 없다. 왜냐하면 그것은

$$f(x)-x=ax$$

가 어떤 양의 실수 $a$에 대해 성립한다는 것을 의미하므로, $f(x)=(1+a)x$는 단위 공 $B^2$ 바깥에 놓일 것이기 때문이다. 따라서 우리는 모순에 도달한다.

고정점 정리가 수학에서 왜 흥미로운지 궁금할 것이다. 방정식 계의 해의 존재에 관한 문제와 같은 많은 문제들이 고정점 문제로 공식화될 수 있음이 밝혀졌다. 여기 한 가지 예로, 프로베니우스(Frobenius)의 고전적인 정리가 있다. 이 지점에서는 선형대수학에 대한 약간의 지식을 가정한다.

따름정리 55.7

$A$를 양의 실수를 성분으로 갖는 3x3 행렬이라 하자. 그러면 $A$는 양의 실수 고유값(eigenvalue)을 갖는다.

증명

$T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$를 (표준 기저에 대한) 행렬이 $A$인 선형 변환이라 하자. $B$를 2-구 $S^2$와 ${\mathbb{R}}^3$의 첫 번째 팔분공간(octant)

$$\{(x_1,x_2,x_3)|x_1\ge 0\text{ and }{x}_2\ge 0\text{ and }{x}_3\ge 0\}$$

의 교집합이라 하자. $B$가 공 $B^2$와 동형임은 쉽게 보일 수 있으므로, 고정점 정리는 $B$에서 자신으로 가는 연속 함수에 대해 성립한다.

이제 $x=(x_1,x_2,x_3)$가 $B$에 있으면, $x$의 모든 성분은 비음수이고 적어도 하나는 양수이다. $A$의 모든 성분이 양수이므로, 벡터 $T(x)$는 모든 성분이 양수인 벡터이다. 결과적으로, 함수 $x\to T(x)/\Vert T(x)\Vert$는 $B$에서 자신으로 가는 연속 함수이며, 따라서 고정점 $x_0$를 갖는다. 그러면

$$T(x_0)=\Vert T(x_0)\Vert x_0$$

이므로, $T$(따라서 행렬 $A$)는 양의 실수 고유값 $\Vert T(x_0)\Vert$를 갖는다.

마지막으로, ${\mathbb{R}}^2$의 삼각형 영역

$$T=\{(x,y)|x\ge 0\text{ and }y\ge 0\text{ and }x+y\le 1\}$$

이 적어도 2의 위상 차원(topological dimension)을 가짐을 암시하는 정리를 증명한다. (참조: §50)

정리 55.8

어떤 $ϵ>0$이 존재하여, 지름이 $ϵ$보다 작은 집합들로 이루어진 $T$의 모든 열린 덮개 $\mathcal{A}$에 대해, $T$의 어떤 점은 $\mathcal{A}$의 적어도 세 원소에 속한다.

증명

$T$가 $B^2$와 동형이라는 사실을 사용하여, 이 절에서 증명된 결과를 공간 $T$에 적용할 수 있다. 지름이 $ϵ$보다 작은 어떤 집합도 $T$의 세 변 모두와 교차하지 않도록 $ϵ>0$을 선택하자. (사실, $ϵ=1/2$이면 충분하다.) $\mathcal{A}=\{U_1,\dots ,U_n\}$이 지름이 $ϵ$보다 작은 집합들로 이루어진 $T$의 열린 덮개이고, $\mathcal{A}$의 어떤 세 원소도 교차하지 않는다고 가정하고 모순을 유도한다.

각 $i=1,\dots ,n$에 대해, $T$의 꼭짓점 $v_i$를 다음과 같이 선택한다: 만약 $U_i$가 $T$의 두 변과 교차하면, $v_i$를 이 두 변의 공통 꼭짓점으로 하자. 만약 $U_i$가 $T$의 한 변과만 교차하면, $v_i$를 이 변의 끝점 중 하나로 하자. 만약 $U_i$가 $T$의 어떤 변과도 교차하지 않으면, $v_i$를 $T$의 임의의 꼭짓점으로 하자.

이제 $\{{\varphi }_i\}$를 $\{U_1,\dots ,U_n\}$에 종속된 단위 분할(partition of unity)이라 하자. (참조: §36) $k:T\to {\mathbb{R}}^2$를 방정식

$$k(x)=\sum _{i=1}^n{\varphi }_i(x)v_i$$

로 정의하자. 그러면 $k$는 연속이다. $T$의 한 점 $x$가 주어지면, 그것은 $\mathcal{A}$의 최대 두 원소에 속한다; 따라서 ${\varphi }_i(x)$ 중 최대 두 개만 0이 아니다. 그러면 $x$가 단 하나의 열린 집합 $U_i$에 속하면 $k(x)=v_i$이고, $x$가 두 열린 집합 $U_i,U_j$에 속하면 $k(x)=t{v}_i+(1-t)v_j$ (어떤 $0\le t\le 1$에 대해)이다. 두 경우 모두, $k(x)$는 $T$의 변들의 합집합, 즉 $\text{Bd }T$에 속한다. 따라서 $k$는 $T$를 $\text{Bd }T$로 사상한다.

더욱이, $k$는 $T$의 각 변을 자신으로 사상한다. 왜냐하면 $x$가 $T$의 변 $vw$에 속하면, $x$를 포함하는 모든 열린 집합 $U_i$는 이 변과 교차하므로, $v_i$는 $v$ 또는 $w$와 같아야 한다. $k$의 정의는 $k(x)$가 $vw$에 속함을 보여준다.

$h:\text{Bd }T\to \text{Bd }T$를 $k$를 $\text{Bd }T$로 제한한 것이라 하자. $h$는 연속 함수 $k$로 확장될 수 있으므로 눌호모토픽하다. 반면에, $h$는 $\text{Bd }T$에서 자신으로 가는 항등 함수와 호모토픽하다; 사실, $h$가 $T$의 각 변을 자신으로 사상하므로, $h$와 $\text{Bd }T$의 항등 함수 사이의 직선 호모토피가 그러한 호모토피이다. 하지만 $\text{Bd }T$의 항등 함수 $i$는 눌호모토픽하지 않다.

Footnotes

1. 주어진 전체 공간 $X$에 대해, 부분 공간 $A$로의 축소 사상(retraction)이 존재하는지 여부는 부분 공간 $A$를 어떻게 선택하느냐에 따라 달라진다. 예를 들어, 전체 공간이 평면 ${\mathbb{R}}^2$일 때, 부분 공간 $A$를 $x$축으로 잡으면 $r(x,y)=(x,0)$이라는 자연스러운 축소 사상이 존재한다. 하지만 같은 공간 ${\mathbb{R}}^2$에서 부분 공간 $A$를 단위 원 $S^1$으로 잡으면, ${\mathbb{R}}^2$를 $S^1$으로 보내는 축소 사상은 존재하지 않는다. 이러한 현상을 직관적으로 이해하는 방법은 ‘구멍’의 생성 여부 를 생각하는 것이다. 축소는 전체 공간 $X$를 부분 공간 $A$ 위로 연속적으로 ‘오므라뜨리는’ 과정인데, 만약 이 과정에서 공간을 찢거나 새로운 구멍을 만들어야만 한다면 연속적인 축소 사상은 존재할 수 없다. 대표적인 예시로, 원판 $B^2$를 그 경계인 원 $S^1$으로 축소시키려는 경우, 원판의 중심점을 경계로 보내려면 필연적으로 원판에 구멍을 뚫거나 찢는 과정이 필요하므로 연속성 조건을 위반하게 되어 축소 사상이 존재하지 않는다. 반면, 구멍 뚫린 평면 ${\mathbb{R}}^2-\{0\}$을 원 $S^1$으로 축소시키는 것은 가능한데, 이는 공간에 이미 존재하는 구멍의 ‘뼈대’ 역할을 하는 $S^1$ 위로 나머지 부분을 끌어당기는 것이므로 새로운 찢어짐을 만들지 않기 때문이다. 결국, 축소 사상의 존재 여부는 부분 공간 $A$가 전체 공간 $X$의 위상적 구조, 특히 ‘구멍’과 어떤 관계를 맺고 있는지에 따라 결정된다. ↩

2. 만약 원판 $B^2$에서 그 경계인 원 $S^1$으로 가는 축소 $r:B^2\to S^1$이 존재한다고 가정한다. 이 가정이 논리적 모순을 낳는다는 것을 보이기 위해, 포함 함수 $j:S^1\to B^2$를 도입하여 두 함수를 합성한다. 이 합성 함수 $r\circ j$는 $S^1$ 위의 점을 $B^2$ 안으로 ‘포함’시켰다가, 다시 축소 $r$을 통해 $S^1$ 위로 ‘되돌리는’ 왕복 여정과 같다. 축소의 정의에 따라 $S^1$ 위의 점들은 $r$에 의해 움직이지 않으므로, 이 합성의 결과는 $S^1$ 위의 항등 함수(identity map), 즉 $r\circ j={\text{id}}_{S^1}$가 된다. 따라서 $j$는 단사 함수가 되어야 한다. 이 기하학적 사실은 기본군(fundamental group)의 대수적 언어로 번역될 수 있다. 유도된 준동형사상(induced homomorphism)에 대해 $r_{\ast }\circ j_{\ast }$는 항등 준동형사상이 되어야 하며, 이는 군론적으로 $j_{\ast }:{\pi }_1(S^1,b_0)\to {\pi }_1(B^2,b_0)$가 반드시 단사(injective) 여야 함을 한다. 그러나 $S^1$의 기본군 ${\pi }_1(S^1,b_0)$는 무한 순환군($\mathbb{Z}$와 동형)으로 무한히 많은 원소를 가지는 반면, $B^2$의 기본군 ${\pi }_1(B^2,b_0)$는 원소가 하나뿐인 자명군($\{e\}$)이다. 무한 집합에서 원소가 하나인 집합으로 가는 단사 함수는 존재할 수 없으므로 여기서 명백한 모순이 발생한다. 이 모순은 최초의 가정, 즉 축소 $r$이 존재한다는 가정이 거짓이었음을 의미하며, 따라서 $B^2$에서 $S^1$으로의 축소는 존재하지 않음이 증명된다. ↩