53. Covering Spaces

우리는 공간 $X$의 기본군 연구가 $X$의 덮개 공간(covering space) 연구와 밀접하게 관련되어 있음을 보았다. 이 절에서, 우리는 두 개념 사이의 결정적인 연결고리를 설정하고, 원의 기본군을 계산한다.

정의

$p:E\to B$를 연속인 전사 함수라 하자. $B$의 열린 집합 $U$는 만약 역상 $p^{-1}(U)$가 $E$ 안의 서로소인 열린 집합들 $V_{\alpha }$의 합집합으로 쓰일 수 있고, 각 $\alpha$에 대해 $p$를 $V_{\alpha }$에 제한한 함수가 $V_{\alpha }$에서 $U$로의 동형사상(homeomorphism)이라면, $p$에 의해 균등하게 덮인다(evenly covered) 고 말한다. 집합족 $\{V_{\alpha }\}$는 $p^{-1}(U)$의 슬라이스(slice)로의 분할(partition) 이라고 불릴 것이다.

만약 $U$가 $p$에 의해 균등하게 덮이는 열린 집합이라면, 우리는 종종 집합 $p^{-1}(U)$를 $U$ 위에 떠 있는, 각각 $U$와 같은 크기와 모양을 가진 “팬케이크 더미(stack of pancakes)“로 그린다; 함수 $p$는 그들 모두를 $U$ 위로 으깨어 내린다. 만약 $U$가 $p$에 의해 균등하게 덮이고 $W$가 $U$에 포함된 열린 집합이라면, $W$ 또한 $p$에 의해 균등하게 덮인다는 점에 주목하자.

정의

$p:E\to B$를 연속이고 전사인 함수라고 하자. 만약 $B$의 모든 점 $b$가 $p$에 의해 균등하게 덮이는 이웃(neighborhood) $U$를 가진다면, $p$를 덮개 함수(covering map) 라고 부르고, $E$를 $B$의 덮개 공간(covering space) 이라고 말한다.

만약 $p:E\to B$가 덮개 함수이면, 각 $b\in B$에 대해 $E$의 부분공간 $p^{-1}(b)$는 이산 위상(discrete topology)을 갖는다는 점에 주목하자. 왜냐하면 각 슬라이스 $V_{\alpha }$는 $E$에서 열려 있고 집합 $p^{-1}(b)$와 한 점에서 교차하므로, 이 점은 $p^{-1}(b)$에서 열려 있다.

또한 만약 $p:E\to B$가 덮개 함수이면, $p$는 열린 함수(open map)임에 주목하자. $A$가 $E$의 열린 집합이라고 가정하자. 주어진 $x\in p(A)$에 대해, $p$에 의해 균등하게 덮이는 $x$의 이웃 $U$를 선택하자. $\{V_{\alpha }\}$를 $p^{-1}(U)$의 슬라이스로의 분할이라고 하자. $p(y)=x$인 $A$의 점 $y$가 존재한다; $y$를 포함하는 슬라이스를 $V_{\beta }$라고 하자. 집합 $V_{\beta }\cap A$는 $E$에서 열려 있으므로 $V_{\beta }$에서도 열려 있다; $p$가 $V_{\beta }$를 $U$로 동형적으로 사상하므로, 집합 $p(V_{\beta }\cap A)$는 $U$에서 열려 있고 따라서 $B$에서도 열려 있다; 그러므로 그것은 $p(A)$에 포함된 $x$의 이웃이며, 원하는 바와 같다.

예제 1

$X$를 임의의 공간이라 하고, $i:X\to X$를 항등 함수라 하자. 그러면 $i$는 (가장 자명한 종류의) 덮개 함수이다. 더 일반적으로, $E$를 $X$의 $n$개의 서로소인 복사본으로 구성된 공간 $X\times \{1,\dots ,n\}$이라 하자. 모든 $i$에 대해 $p(x,i)=x$로 주어진 함수 $p:E\to X$는 다시 (상당히 자명한) 덮개 함수이다. 이 경우, 우리는 전체 공간 $E$를 $X$ 위의 팬케이크 더미로 그릴 수 있다.

실제로, 우리는 종종 자명한 팬케이크 더미 종류의 덮개를 배제하기 위해 경로 연결인 덮개 공간으로 자신을 제한한다. 그러한 자명하지 않은 덮개 공간의 예는 다음과 같다:

정리 53.1

방정식

$$p(x)=(\cos 2\pi x,\sin 2\pi x)$$

으로 주어진 함수 $p:\mathbb{R}\to S^1$은 덮개 함수이다.

우리는 $p$를 실수선 $\mathbb{R}$을 원 $S^1$ 주위로 감싸는 함수로, 그 과정에서 각 구간 $[n,n+1]$을 $S^1$ 위로 사상하는 것으로 그릴 수 있다.

증명

$p$가 덮개 함수라는 사실은 사인과 코사인 함수의 기본적인 성질에서 나온다. 예를 들어, 양의 첫 번째 좌표를 갖는 점들로 구성된 $S^1$의 부분집합 $U$를 생각하자. 집합 $p^{-1}(U)$는 $\cos 2\pi x$가 양수인 점 $x$들로 구성된다; 즉, 그것은 모든 $n\in \mathbb{Z}$에 대한 구간

$$V_n=(n-1/4,n+1/4)$$

의 합집합이다. 이제, 임의의 닫힌 구간 ${\bar{V}}_n$에 제한하면, 함수 $p$는 그러한 구간에서 $\sin 2\pi x$가 엄격하게 단조적이므로 단사(injective)이다. 더욱이, $p$는 중간값 정리(intermediate value theorem)에 의해 ${\bar{V}}_n$을 $\bar{U}$ 위로, $V_n$을 $U$로 전사적으로 보낸다. ${\bar{V}}_n$이 콤팩트하므로, $p{|}_{{\bar{V}}_n}$은 ${\bar{V}}_n$과 $\bar{U}$의 동형사상이다. 특히, $p{|}_{V_n}$은 $V_n$과 $U$의 동형사상이다.

유사한 논증을 $S^1$과 위쪽 및 아래쪽 열린 반평면, 그리고 열린 왼쪽 반평면의 교차점들에 적용할 수 있다. 이 열린 집합들은 $S^1$을 덮고, 각각은 $p$에 의해 균등하게 덮인다. 따라서 $p:\mathbb{R}\to S^1$은 덮개 함수이다.

만약 $p:E\to B$가 덮개 함수이면, $p$는 $E$와 $B$의 국소 동형사상(local homeomorphism)이다. 즉, $E$의 각 점 $e$는 $p$에 의해 $B$의 열린 부분집합 위로 동형적으로 사상되는 이웃을 가진다. 하지만 $p$가 국소 동형사상이라는 조건은 $p$가 덮개 함수임을 보장하기에 충분하지 않다. 다음 예제가 보여준다.

예제 2

방정식

$$p(x)=(\cos 2\pi x,\sin 2\pi x)$$

으로 주어진 함수 $p:{\mathbb{R}}_{+}\to S^1$은 전사이고, 국소 동형사상이다. 하지만 이것은 덮개 함수가 아니다. 왜냐하면 점 $b_0=(1,0)$은 $p$에 의해 균등하게 덮이는 이웃 $U$를 갖지 않기 때문이다. $b_0$의 일반적인 이웃 $U$는 각 정수 $n>0$에 대한 작은 이웃 $V_n$들과 $(0,ϵ)$ 형태의 작은 구간 $V_0$으로 구성된 역상을 가진다. $n>0$인 각 구간 $V_n$은 함수 $p$에 의해 $U$ 위로 동형적으로 사상되지만, 구간 $V_0$는 $p$에 의해 $U$ 안에 매장(imbedded)될 뿐이다.

예제 3

앞의 예제는 실수선 $\mathbb{R}$이 원 $S^1$의 유일한 연결 덮개 공간이라고 생각하게 할 수 있다. 이것은 사실이 아니다. 예를 들어, 방정식

$$p(z)=z^2$$

으로 주어진 함수 $p:S^1\to S^1$을 생각하자.(여기서 우리는 $S^1$을 $|z|=1$인 복소수 $z$로 구성된 복소평면 $\mathbb{C}$의 부분집합으로 간주한다.) $p$가 덮개 함수임을 확인하는 것은 여러분에게 맡긴다.

예제 2는 덮개 함수를 제한하여 얻은 함수가 덮개 함수가 아닐 수 있음을 보여준다. 다음은 그것이 덮개 함수가 될 한 가지 상황이다:

정리 53.2

$p:E\to B$를 덮개 함수라 하자. 만약 $B_0$가 $B$의 부분공간이고, $E_0=p^{-1}(B_0)$이면, $p$를 제한하여 얻은 함수 $p_0:E_0\to B_0$는 덮개 함수이다.

증명

주어진 $b_0\in B_0$에 대해, $p$에 의해 균등하게 덮이는 $b_0$를 포함하는 $B$ 안의 열린 집합 $U$를 잡고, $\{V_{\alpha }\}$를 $p^{-1}(U)$의 슬라이스로의 분할이라 하자. 그러면 $U\cap B_0$는 $B_0$에서 $b_0$의 이웃이고, 집합들 $V_{\alpha }\cap E_0$는 $E_0$에서 서로소인 열린 집합들이며, 그들의 합집합은 $p^{-1}(U\cap B_0)$이고, 각각은 $p$에 의해 $U\cap B_0$ 위로 동형적으로 사상된다.

정리 53.3

$p:E\to B$와 $p^{\prime }:E^{\prime }\to B^{\prime }$이 덮개 함수이면,

$$p\times p^{\prime }:E\times E^{\prime }\to B\times B^{\prime }$$

은 덮개 함수이다.

증명

주어진 $b\in B$와 $b^{\prime }\in B^{\prime }$에 대해, 각각 $p$와 $p^{\prime }$에 의해 균등하게 덮이는 $b$와 $b^{\prime }$의 이웃 $U$와 $U^{\prime }$을 잡자. $\{V_{\alpha }\}$와 $\{V_{\beta }^{\prime }\}$를 각각 $p^{-1}(U)$와 $(p^{\prime }{)}^{-1}(U^{\prime })$의 슬라이스로의 분할이라 하자. 그러면 열린 집합 $U\times U^{\prime }$의 $p\times p^{\prime }$에 대한 역상은 모든 집합 $V_{\alpha }\times V_{\beta }^{\prime }$의 합집합이다. 이들은 $E\times E^{\prime }$의 서로소인 열린 집합들이고, 각각은 $p\times p^{\prime }$에 의해 $U\times U^{\prime }$ 위로 동형적으로 사상된다.

예제 4

공간 $T=S^1\times S^1$을 생각하자; 이것은 원환면(torus) 이라고 불린다. 곱 함수

$$p\times p:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to S^1\times S^1$$

은 평면 ${\mathbb{R}}^2$에 의한 원환면의 덮개이다. 여기서 $p$는 정리 53.1의 덮개 함수를 나타낸다. 각 단위 정사각형 $[n,n+1]\times [m,m+1]$은 $p\times p$에 의해 원환면 전체를 감싼다.

이 그림에서 우리는 원환면을 $S^1\times S^1$로 그리지 않았는데, 이는 ${\mathbb{R}}^4$의 부분공간이므로 시각화하기 어렵기 때문이다. 대신 ${\mathbb{R}}^3$에서 익숙한 도넛 모양의 곡면 $D$로 그렸으며, 이것은 $xz$-평면에서 중심이 $(1,0,0)$이고 반지름이 $1/3$인 원 $C_1$을 $z$-축 주위로 회전시켜 얻은 것이다. $S^1\times S^1$이 곡면 $D$와 동형임은 쉽게 알 수 있다. $C_2$를 원점을 중심으로 하고 반지름이 $1$인 $xy$-평면의 원이라 하자. 이제 $f(a\times b)$를 원 $C_1$을 그 중심이 점 $b$에 닿을 때까지 $z$-축 주위로 회전시켰을 때 $a$가 이동하는 점으로 정의하여 $C_1\times C_2$를 $D$로 사상하자. 함수 $f$는 $C_1\times C_2$와 $D$의 동형사상이 될 것이다. 원한다면 $f$에 대한 방정식을 쓰고 연속성, 단사성, 전사성을 직접 확인할 수 있다. ($C_1\times C_2$의 콤팩트성으로부터 $f^{-1}$의 연속성이 따라 나온다.)

예제 5

앞의 예제의 덮개 함수 $p\times p$를 생각하자. $b_0$를 $S^1$의 점 $p(0)$라 하고, $B_0$를 $S^1\times S^1$의 부분공간

$$B_0=(S^1\times b_0)\cup (b_0\times S^1)$$

이라 하자. 그러면 $B_0$는 한 점을 공유하는 두 원의 합집합이다; 우리는 때때로 이것을 8자 공간(figure-eight space) 이라고 부른다. 공간 $E_0=p^{-1}(B_0)$는

$$E_0=(\mathbb{R}\times \mathbb{Z})\cup (\mathbb{Z}\times \mathbb{R})$$

인 “무한 격자(infinite grid)“이다. $p\times p$를 제한하여 얻은 함수 $p_0:E_0\to B_0$는 따라서 덮개 함수이다.

무한 격자는 8자 공간의 여러 덮개 공간 중 하나일 뿐이다; 우리는 나중에 다른 것들을 볼 것이다.

예제 6

덮개 함수

$$p\times i:\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}_{+}\to S^1\times {\mathbb{R}}_{+}$$

를 생각하자. 여기서 $i$는 ${\mathbb{R}}_{+}$의 항등 함수이고 $p$는 정리 53.1의 함수이다. $S^1\times {\mathbb{R}}_{+}$를 ${\mathbb{R}}^2-0$으로 보내는 표준 동형사상 $x\times t\to tx$를 취하면, 합성은 우리에게 열린 위쪽 반평면에 의한 구멍 뚫린 평면의 덮개

$$\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}_{+}\to {\mathbb{R}}^2-0$$

를 제공한다. 이 덮개 함수는 복소 변수 연구에서 복소 로그 함수에 해당하는 리만 곡면(Riemann surface)으로 나타난다.