52. The Fundamental Group

공간 $X$에서 경로의 경로-호모토피 클래스들의 집합은 연산 $\ast$에 대해 군을 형성하지 않는데, 왜냐하면 두 경로-호모토피 클래스의 곱이 항상 정의되지는 않기 때문이다. 하지만 $X$의 한 점 $x_0$를 “기준점(base point)“으로 선택하고 $x_0$에서 시작하고 끝나는 경로들로 자신을 제한한다고 가정해 보자. 이 경로-호모토피 클래스들의 집합은 $\ast$ 연산 하에서 군을 형성한다. 이를 $X$의 기본군(fundamental group) 이라고 부를 것이다.

이 절에서 우리는 기본군을 연구하고 그것의 몇 가지 성질을 유도할 것이다. 특히, 우리는 이 군이 공간 $X$의 위상적 불변량(topological invariant)임을 보일 것이며, 이는 동형사상(homeomorphism) 문제를 연구하는 데 사용하는 데 결정적으로 중요한 사실이다.

먼저 군론(group theory)의 몇 가지 용어를 복습하자. $G$와 $G^{\prime }$이 군이고, 곱셈으로 표기한다고 가정하자.

준동형사상(homomorphism) $f:G\to G^{\prime }$은 모든 $x,y$에 대해 $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$를 만족하는 함수이다; 이는 자동적으로 $f(e)=e^{\prime }$과 $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$을 만족한다. 여기서 $e$와 $e^{\prime }$은 각각 $G$와 $G^{\prime }$의 항등원이고, 지수 $-1$은 역원을 나타낸다.

$f$의 핵(kernel) 은 $f^{-1}(e^{\prime })$ 집합이며, $G$의 부분군이다. 유사하게, $f$의 상(image) 은 $G^{\prime }$의 부분군이다. 준동형사상 $f$는 만약 단사(injective)이면 (또는 동등하게, $f$의 핵이 $e$만으로 구성되면) 단사준동형사상(monomorphism) 이라고 불린다. 만약 전사(surjective)이면 전사준동형사상(epimorphism) 이라고 불리고, 만약 전단사(bijective)이면 동형사상(isomorphism) 이라고 불린다.

$G$가 군이고 $H$가 $G$의 부분군이라고 가정하자. $xH$는 모든 곱 $xh$ ($h\in H$)의 집합을 나타낸다; 이를 $G$에서 $H$의 왼쪽 잉여류(left coset) 라고 부른다. 모든 그러한 잉여류들의 집합은 $G$의 분할(partition)을 형성한다. 유사하게, $G$에서 $H$의 모든 오른쪽 잉여류(right coset) $Hx$의 집합은 $G$의 분할을 형성한다

우리는 각 $x\in G$와 각 $h\in H$에 대해 $x\cdot h\cdot x^{-1}\in H$일 때 $H$를 $G$의 정규부분군(normal subgroup) 이라고 부른다. 이 경우, 각 $x$에 대해 $xH=Hx$이므로, 우리의 두 $G$의 분할은 같다. 우리는 이 분할을 $G/H$로 나타낸다; 만약 $(xH)\cdot (yH)=(x\cdot y)H$로 정의하면, $G/H$ 위에 잘 정의된 연산을 얻게 되어 군을 만든다. 이 군을 $H$에 의한 $G$의 몫군(quotient group) 이라고 부른다. $x$를 $xH$로 보내는 함수 $f:G\to G/H$는 핵이 $H$인 전사준동형사상이다. 역으로, 만약 $f:G\to G^{\prime }$이 전사준동형사상이면, 그것의 핵 $N$은 $G$의 정규부분군이고, $f$는 각 $x\in G$에 대해 $xN$을 $f(x)$로 보내는 동형사상 $G/N\to G^{\prime }$을 유도한다.

만약 $G$의 부분군 $H$가 정규가 아닐지라도, 기호 $G/H$를 사용하는 것이 편리할 것이다; 우리는 그것을 $G$에서 $H$의 오른쪽 잉여류들의 집합을 나타내는 데 사용할 것이다. 이제 우리는 기본군을 정의한다.

정의

$X$를 공간이라 하고, $x_0$를 $X$의 한 점이라 하자. $x_0$에서 시작하고 끝나는 $X$ 안의 경로를 $x_0$를 기준으로 하는 루프(loop based at $x_0$) 라고 부른다. $x_0$를 기준으로 하는 루프들의 경로 호모토피 클래스들의 집합에 연산 $\ast$를 부여한 것을 기준점 $x_0$에 대한 $X$의 기본군(fundamental group of X relative to the base point $x_0$) 이라고 부른다. 이는 ${\pi }_1(X,x_0)$로 표기한다.

정리 51.2로부터, 연산 $\ast$가 이 집합에 제한되었을 때 군의 공리들을 만족한다는 것이 따라 나온다. $x_0$를 기준으로 하는 두 루프 $f$와 $g$가 주어졌을 때, 곱 $f\ast g$는 항상 정의되고 $x_0$를 기준으로 하는 루프이다. 결합법칙, 항등원 $[e_{x_0}]$의 존재, 그리고 $[f]$에 대한 역원 $[\bar{f}]$의 존재는 즉각적이다.

때때로 이 군은 $X$의 첫 번째 호모토피 군(first homotopy group) 이라고 불리는데, 이 용어는 두 번째 호모토피 군이 있다는 것을 암시한다. 모든 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$에 대해 실제로 군 ${\pi }_n(X,x_0)$들이 존재하지만, 우리는 이 책에서 그것들을 연구하지 않을 것이다. 그들은 호모토피 이론(homotopy theory)이라는 일반적인 주제의 일부이다.

예제 1

${\mathbb{R}}^n$을 유클리드 $n$-공간이라고 하자. 그러면 ${\pi }_1({\mathbb{R}}^n,x_0)$는 자명군(trivial group) (항등원만으로 구성된 군)이다. 왜냐하면 $f$가 $x_0$를 기준으로 하는 ${\mathbb{R}}^n$ 안의 루프이면, 직선 호모토피는 $f$와 $x_0$에서의 상수 경로 사이의 경로 호모토피이기 때문이다. 더 일반적으로, 만약 $X$가 ${\mathbb{R}}^n$의 임의의 볼록 부분집합이면, ${\pi }_1(X,x_0)$는 자명군이다. 특히, ${\mathbb{R}}^n$ 안의 단위 공(unit ball) $B^n$,

$$B^n=\{x|x_1^2+\cdots +x_n^2\le 1\},$$

은 자명한 기본군을 갖는다.

즉각적인 질문은 기본군이 기준점에 어느 정도 의존하는가이다. 이제 그 질문을 고려해 보자.

정의

$\alpha$를 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 $X$ 안의 경로라고 하자. 우리는 다음 방정식으로

$$\hat{\alpha }:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(X,x_1)$$

를 정의한다.

$$\hat{\alpha }([f])=[\bar{\alpha }]\ast [f]\ast [\alpha ].$$

우리가 “$\alpha$-hat”이라고 부르는 함수 $\hat{\alpha }$는 연산 $\ast$가 잘 정의되었기 때문에 잘 정의된다. 만약 $f$가 $x_0$를 기준으로 하는 루프이면, $\bar{\alpha }\ast (f\ast \alpha )$는 $x_1$을 기준으로 하는 루프이다. 따라서 $\hat{\alpha }$는 ${\pi }_1(X,x_0)$를 ${\pi }_1(X,x_1)$로 사상하며, 이는 $\alpha$의 경로-호모토피 클래스에만 의존한다는 점에 주목하자.

정리 52.1

함수 $\hat{\alpha }$는 군 동형사상(group isomorphism)이다.

증명

$\hat{\alpha }$가 준동형사상임을 보이기 위해, 우리는 계산한다.

$$\begin{array}{rl}\hat{\alpha }([f])\ast \hat{\alpha }([g])& =([\bar{\alpha }]\ast [f]\ast [\alpha ])\ast ([\bar{\alpha }]\ast [g]\ast [\alpha ])\\ & =[\bar{\alpha }]\ast [f]\ast [g]\ast [\alpha ]\\ & =\hat{\alpha }([f]\ast [g]).\end{array}$$

$\hat{\alpha }$가 동형사상임을 보이기 위해, 우리는 $\alpha$의 역인 경로 $\beta$를 $\bar{\alpha }$로 나타내면 $\hat{\beta }$가 $\hat{\alpha }$의 역함수임을 보인다. 우리는 ${\pi }_1(X,x_1)$의 각 원소 $[h]$에 대해 계산한다.

$$\begin{array}{rl}\hat{\beta }([h])& =[\bar{\beta }]\ast [h]\ast [\beta ]=[\alpha ]\ast [h]\ast [\bar{\alpha }],\\ \hat{\alpha }(\hat{\beta }([h]))& =[\bar{\alpha }]\ast ([\alpha ]\ast [h]\ast [\bar{\alpha }])\ast [\alpha ]=[h].\end{array}$$

유사한 계산은 각 $[f]\in {\pi }_1(X,x_0)$에 대해 $\hat{\beta }(\hat{\alpha }([f]))=[f]$임을 보여준다.

따름정리 52.2

만약 $X$가 경로 연결(path connected)이고 $x_0$와 $x_1$이 $X$의 두 점이면, ${\pi }_1(X,x_0)$는 ${\pi }_1(X,x_1)$와 동형이다.

$X$가 위상 공간이라고 가정하자. $x_0$를 포함하는 $X$의 경로 성분(path component)을 $C$라고 하자. 모든 $x_0$를 기준으로 하는 $X$ 안의 루프와 호모토피는 부분공간 $C$ 안에 있어야 하므로 ${\pi }_1(C,x_0)={\pi }_1(X,x_0)$임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 ${\pi }_1(X,x_0)$는 $x_0$를 포함하는 $X$의 경로 성분에만 의존한다; 그것은 $X$의 나머지 부분에 대한 어떠한 정보도 제공하지 않는다. 이러한 이유로, 기본군을 연구할 때는 경로 연결 공간만을 다루는 것이 보통이다.

만약 $X$가 경로 연결이면, 모든 군 ${\pi }_1(X,x)$는 동형이므로, 이 모든 군들을 서로 “동일시”하고 기준점을 참조하지 않고 단순히 공간 $X$의 기본군에 대해 말하고 싶을 수 있다. 이 접근법의 어려움은 ${\pi }_1(X,x_0)$를 ${\pi }_1(X,x_1)$와 동일시할 자연스러운 방법이 없다는 것이다; $x_0$에서 $x_1$으로 가는 다른 경로 $\alpha$와 $\beta$는 이 군들 사이에 다른 동형사상을 야기할 수 있다. 이러한 이유로, 기준점을 생략하는 것은 오류로 이어질 수 있다.

${\pi }_1(X,x_0)$와 ${\pi }_1(X,x_1)$의 동형사상이 경로에 독립적일 필요충분조건은 기본군이 아벨(abelian)군이라는 것이 밝혀졌다. (연습문제 3 참조.) 이것은 공간 $X$에 대한 엄격한 요구 조건이다.

정의

공간 $X$는 만약 경로 연결 공간이고, 어떤 $x_0\in X$에 대해 (따라서 모든 $x_0\in X$에 대해) ${\pi }_1(X,x_0)$가 자명군(trivial group) (한 원소 군)이면 단순 연결(simply connected) 이라고 말한다. 우리는 종종 ${\pi }_1(X,x_0)$가 자명군이라는 사실을 ${\pi }_1(X,x_0)=0$이라고 쓴다.

보조정리 52.3

단순 연결 공간 $X$에서, 같은 시작점과 끝점을 갖는 임의의 두 경로는 경로 호모토픽하다.

증명

$\alpha$와 $\beta$를 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 두 경로라고 하자. 그러면 $\alpha \ast \bar{\beta }$는 정의되고 $x_0$를 기준으로 하는 $X$ 안의 루프이다. $X$가 단순 연결이므로, 이 루프는 $x_0$에서의 상수 루프와 경로 호모토픽하다. 그러면

$$[\alpha \ast \bar{\beta }]\ast [\beta ]=[e_{x_0}]\ast [\beta ],$$

로부터 $[\alpha ]=[\beta ]$가 따라 나온다.

기본군이 공간 $X$의 위상적 불변량임은 직관적으로 명확하다. 이 사실을 공식적으로 증명하는 편리한 방법은 “연속 함수에 의해 유도된 준동형사상”의 개념을 도입하는 것이다.

$h:X\to Y$가 $X$의 점 $x_0$를 $Y$의 점 $y_0$로 보내는 연속 함수라고 가정하자. 우리는 종종 이 사실을

$$h:(X,x_0)\to (Y,y_0)$$

라고 쓴다. 만약 $f$가 $x_0$를 기준으로 하는 $X$ 안의 루프이면, 합성 $h\circ f:I\to Y$는 $y_0$를 기준으로 하는 $Y$ 안의 루프이다. 따라서 대응 $f\to h\circ f$는 ${\pi }_1(X,x_0)$를 ${\pi }_1(Y,y_0)$로 보내는 함수를 야기한다. 우리는 이것을 공식적으로 다음과 같이 정의한다:

정의

$h:(X,x_0)\to (Y,y_0)$를 연속 함수라고 하자. 다음 방정식으로

$$h_{\ast }:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(Y,y_0)$$

를 정의한다.

$$h_{\ast }([f])=[h\circ f].$$

함수 $h_{\ast }$를 기준점 $x_0$에 대한 $h$에 의해 유도된 준동형사상(homomorphism induced by h, relative to the base point $x_0$) 이라고 부른다.

함수 $h_{\ast }$는 잘 정의되는데, 왜냐하면 만약 $F$가 경로 $f$와 $f^{\prime }$ 사이의 경로 호모토피이면, $h\circ F$는 경로 $h\circ f$와 $h\circ f^{\prime }$ 사이의 경로 호모토피이기 때문이다. $h_{\ast }$가 준동형사상이라는 사실은 방정식

$$(h\circ f)\ast (h\circ g)=h\circ (f\ast g)$$

로부터 따라 나온다.

준동형사상 $h_{\ast }$는 함수 $h:X\to Y$ 뿐만 아니라 기준점 $x_0$의 선택에도 의존한다. (일단 $x_0$가 선택되면, $y_0$는 $h$에 의해 결정된다.) 그래서 $X$에 대해 여러 다른 기준점을 고려하고 싶을 때 표기상의 어려움이 발생할 수 있다. 만약 $x_0$와 $x_1$이 $X$의 다른 두 점이면, 우리는 같은 기호 $h_{\ast }$를 정의역이 ${\pi }_1(X,x_0)$인 것과 정의역이 ${\pi }_1(X,x_1)$인 두 다른 준동형사상을 나타내는 데 사용할 수 없다. 비록 $X$가 경로 연결이어서 이 군들이 동형일지라도, 그들은 여전히 같은 군이 아니다. 그런 경우에, 우리는 첫 번째 준동형사상에 대해

$$(h_{x_0}{)}_{\ast }:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(Y,y_0)$$

표기를 사용하고 두 번째에 대해 $(h_{x_1}{)}_{\ast }$를 사용할 것이다. 만약 고려 중인 기준점이 하나뿐이면, 우리는 기준점 언급을 생략하고 유도된 준동형사상을 단지 $h_{\ast }$로 나타낼 것이다.

유도된 준동형사상은 응용에서 결정적으로 중요한 두 가지 성질을 갖는다. 그들은 “함자적 성질(functorial properties)“이라고 불리며 다음 정리에 주어진다:

정리 52.4

만약 $h:(X,x_0)\to (Y,y_0)$와 $k:(Y,y_0)\to (Z,z_0)$가 연속이면, $(k\circ h{)}_{\ast }=k_{\ast }\circ h_{\ast }$이다. 만약 $i:(X,x_0)\to (X,x_0)$가 항등 함수이면, $i_{\ast }$는 항등 준동형사상(identity homomorphism)이다.

증명

증명은 자명하다. 정의에 의해,

$$\begin{array}{rl}(k\circ h{)}_{\ast }([f])& =[(k\circ h)\circ f],\\ (k_{\ast }\circ h_{\ast })([f])& =k_{\ast }(h_{\ast }([f]))=k_{\ast }([h\circ f])=[k\circ (h\circ f)].\end{array}$$

유사하게, $i_{\ast }([f])=[i\circ f]=[f]$이다.

따름정리 52.5

만약 $h:(X,x_0)\to (Y,y_0)$가 $X$와 $Y$의 동형사상(homeomorphism)이면, $h_{\ast }$는 ${\pi }_1(X,x_0)$와 ${\pi }_1(Y,y_0)$의 동형사상(isomorphism)이다.

증명

$k:(Y,y_0)\to (X,x_0)$를 $h$의 역함수라고 하자. 그러면 $k_{\ast }\circ h_{\ast }=(k\circ h{)}_{\ast }=i_{\ast }$이고, 여기서 $i$는 $(X,x_0)$의 항등 함수이다; 그리고 $h_{\ast }\circ k_{\ast }=(h\circ k{)}_{\ast }=j_{\ast }$이고, 여기서 $j$는 $(Y,y_0)$의 항등 함수이다. $i_{\ast }$와 $j_{\ast }$가 각각 군 ${\pi }_1(X,x_0)$와 ${\pi }_1(Y,y_0)$의 항등 준동형사상이므로, $k_{\ast }$는 $h_{\ast }$의 역함수이다.