51. Homotopy of Paths

공간 $X$의 기본군(fundamental group)을 정의하기 전에, 우리는 $X$ 위의 경로(path)와 그들 사이의 경로 호모토피(path homotopy)라는 동치 관계를 고려할 것이다. 그리고 동치류들의 집합에 대수학에서 준군(groupoid)이라 불리는 것을 만드는 특정 연산을 정의할 것이다.

정의

만약 $f$와 $f^{\prime }$이 공간 $X$에서 공간 $Y$로 가는 연속 함수라면, 우리는 $f$가 $f^{\prime }$에 호모토픽(homotopic) 하다고 말한다. 만약 각 $x$에 대해

$$F(x,0)=f(x)\text{and}F(x,1)=f^{\prime }(x)$$

를 만족하는 연속 함수 $F:X\times I\to Y$가 존재한다면 말이다. (여기서 $I=[0,1]$이다.) 함수 $F$를 $f$와 $f^{\prime }$ 사이의 호모토피(homotopy) 라고 부른다. 만약 $f$가 $f^{\prime }$에 호모토픽하면, 우리는 $f\simeq f^{\prime }$라고 쓴다. 만약 $f\simeq f^{\prime }$이고 $f^{\prime }$이 상수 함수(constant map)이면, 우리는 $f$가 눌호모토픽(nulhomotopic) 하다고 말한다.

우리는 호모토피를 $X$에서 $Y$로 가는 함수의 연속적인 1-매개변수 족(one-parameter family)으로 생각한다. 만약 매개변수 $t$를 시간으로 상상한다면, 호모토피 $F$는 $t$가 $0$에서 $1$로 감에 따라 함수 $f$를 함수 $f^{\prime }$으로 연속적으로 “변형(deforming)“하는 것을 나타낸다. 이제 우리는 $f$가 $X$ 안의 경로인 특별한 경우를 고려한다. 만약 $f:[0,1]\to X$가 $f(0)=x_0$와 $f(1)=x_1$을 만족하는 연속 함수라면, 우리는 $f$를 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 $X$ 안의 경로(path) 라고 부름을 상기하자. 우리는 또한 $x_0$를 $f$의 시작점(initial point) , $x_1$을 $f$의 끝점(final point) 이라고 부른다. 이 장에서, 우리는 편의상 모든 경로의 정의역으로 구간 $I=[0,1]$을 사용할 것이다.

만약 $f$와 $f^{\prime }$이 $X$ 안의 두 경로라면, 단순한 호모토피보다 더 강한 관계가 그들 사이에 존재한다. 이는 다음과 같이 정의된다.

정의

구간 $I=[0,1]$을 $X$로 사상하는 두 경로 $f$와 $f^{\prime }$은, 만약 그들이 같은 시작점 $x_0$와 같은 끝점 $x_1$을 가지고, 각 $s\in I$와 각 $t\in I$에 대해

$$\begin{array}{rl}F(s,0)=f(s)& \text{and}F(s,1)=f^{\prime }(s),\\ F(0,t)=x_0& \text{and}F(1,t)=x_1\end{array}$$

을 만족하는 연속 함수 $F:I\times I\to X$가 존재한다면 경로 호모토픽(path homotopic) 하다고 말한다. 우리는 $F$를 $f$와 $f^{\prime }$ 사이의 경로 호모토피(path homotopy) 라고 부른다. 만약 $f$가 $f^{\prime }$에 경로 호모토픽하면, 우리는 $f{\simeq }_p{f}^{\prime }$라고 쓴다.

첫 번째 조건은 단순히 $F$가 $f$와 $f^{\prime }$ 사이의 호모토피임을 말하고, 두 번째 조건은 각 $t$에 대해 방정식 $f_t(s)=F(s,t)$로 정의된 경로 $f_t$가 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 경로임을 말한다. 다르게 말하면, 첫 번째 조건은 $F$가 경로 $f$를 경로 $f^{\prime }$으로 변형하는 연속적인 방법을 나타낸다고 말하고, 두 번째 조건은 변형 동안 경로의 끝점들이 고정되어 있음을 말한다.

보조정리 51.1

관계 $\simeq$와 ${\simeq }_p$는 동치 관계이다. 만약 $f$가 경로이면, 우리는 그것의 경로-호모토피 동치류를 $[f]$로 나타낼 것이다.

증명

동치 관계의 성질들을 확인해 보자. 주어진 $f$에 대해, $f\simeq f$임은 자명하다; 함수 $F(x,t)=f(x)$가 요구되는 호모토피이다. 만약 $f$가 경로이면, $F$는 경로 호모토피이다.

주어진 $f\simeq f^{\prime }$에 대해, $f^{\prime }\simeq f$임을 보이자. $F$를 $f$와 $f^{\prime }$ 사이의 호모토피라고 하자. 그러면 $G(x,t)=F(x,1-t)$는 $f^{\prime }$과 $f$ 사이의 호모토피이다. 만약 $F$가 경로 호모토피이면, $G$도 그렇다.

$f\simeq f^{\prime }$이고 $f^{\prime }\simeq f^{\prime \prime }$이라고 가정하자. $f\simeq f^{\prime \prime }$임을 보이자. $F$를 $f$와 $f^{\prime }$ 사이의 호모토피, $F^{\prime }$를 $f^{\prime }$과 $f^{\prime \prime }$ 사이의 호모토피라고 하자. $G:X\times I\to Y$를 다음 방정식으로 정의하자.

$$G(x,t)=\{\begin{array}{ll}F(x,2t)& \text{for }t\in [0,1/2],\\ F^{\prime }(x,2t-1)& \text{for }t\in [1/2,1].\end{array}$$

함수 $G$는 잘 정의되는데, 왜냐하면 $t=1/2$일 때, $F(x,2t)=f^{\prime }(x)=F^{\prime }(x,2t-1)$이기 때문이다. $G$는 $X\times [0,1/2]$와 $X\times [1/2,1]$이라는 $X\times I$의 두 닫힌 부분집합 위에서 연속이므로, 붙임 보조정리(pasting lemma)에 의해 전체 $X\times I$ 위에서 연속이다. 따라서 $G$는 $f$와 $f^{\prime \prime }$ 사이의 요구되는 호모토피이다.

만약 $F$와 $F^{\prime }$이 경로 호모토피이면, $G$도 그렇다는 것을 확인할 수 있다.

예제 1

$X$에서 ${\mathbb{R}}^2$로 가는 임의의 두 함수 $f$와 $g$를 생각하자. $f$와 $g$가 호모토픽함은 쉽게 알 수 있다; 함수

$$F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$$

는 그들 사이의 호모토피이다. 이는 점 $f(x)$를 점 $g(x)$로 그들을 잇는 직선 선분을 따라 움직이기 때문에 직선 호모토피(straight-line homotopy) 라고 불린다.

만약 $f$와 $g$가 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 경로라면, $F$는 경로 호모토피가 될 것이다. 이는 확인할 수 있다.

더 일반적으로, $A$를 ${\mathbb{R}}^n$의 임의의 볼록(convex) 부분공간이라고 하자. (이는 $A$의 임의의 두 점 $a,b$에 대해, $a$와 $b$를 잇는 직선 선분이 $A$에 포함된다는 것을 의미한다.) 그러면 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 $A$ 안의 임의의 두 경로 $f,g$는 $A$ 안에서 경로 호모토픽하다. 왜냐하면 그들 사이의 직선 호모토피 $F$의 상(image set)이 $A$에 있기 때문이다.

예제 2

$X$를 구멍 뚫린 평면(punctured plane), ${\mathbb{R}}^2-\{0\}$이라고 하자. 이를 줄여서 ${\mathbb{R}}^2-0$으로 표기할 것이다. $X$ 안의 다음 경로들은,

$$\begin{array}{rl}f(s)& =(\cos \pi s,\sin \pi s),\\ g(s)& =(\cos \pi s,2\sin \pi s)\end{array}$$

경로 호모토픽하다; 그들 사이의 직선 호모토피는 수용 가능한 경로 호모토피이다. 하지만 $f$와 경로

$$h(s)=(\cos \pi s,-\sin \pi s)$$

사이의 직선 호모토피는 수용 가능하지 않다. 왜냐하면 그 상이 공간 $X={\mathbb{R}}^2-0$에 놓여있지 않기 때문이다.

사실, 경로 $f$와 $h$ 사이에는 $X$ 안에서 경로 호모토피가 존재하지 않는다. 이 결과는 거의 놀랍지 않다; 직관적으로 “0에 있는 구멍을 지나 $f$를 변형”하면 불연속성을 도입하지 않고는 불가능하다는 것이 명확하다. 하지만 이를 증명하는 데는 약간의 작업이 필요하다. 우리는 나중에 이 예제로 돌아올 것이다.

이 예제는 두 경로가 경로 호모토픽한지 아닌지를 말하기 전에 치역 공간이 무엇인지 알아야 한다는 사실을 보여준다. 만약 경로 $f$와 $h$가 ${\mathbb{R}}^2$ 안의 경로였다면 경로 호모토픽했을 것이다. 이제 우리는 이 기하학적 상황에 약간의 대수를 도입한다. 우리는 경로-호모토피 클래스에 대한 특정 연산을 다음과 같이 정의한다.

정의

만약 $f$가 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 $X$ 안의 경로이고, $g$가 $x_1$에서 $x_2$로 가는 $X$ 안의 경로이면, 우리는 $f$와 $g$의 곱(product) $f\ast g$를 다음 방정식으로 주어진 경로 $h$로 정의한다.

$$h(s)=\{\begin{array}{ll}f(2s)& \text{for }s\in [0,1/2],\\ g(2s-1)& \text{for }s\in [1/2,1].\end{array}$$

함수 $h$는 붙임 보조정리(pasting lemma)에 의해 잘 정의되고 연속이다; 이는 $x_0$에서 $x_2$로 가는 $X$ 안의 경로이다. 우리는 $h$를 전반부가 경로 $f$이고 후반부가 경로 $g$인 경로로 생각한다.

경로에 대한 곱 연산은 경로-호모토피 클래스에 대해 잘 정의된 연산을 유도하며, 이는 다음 방정식으로 정의된다.

$$[f]\ast [g]=[f\ast g].$$

이 사실을 확인하기 위해, $F$를 $f$와 $f^{\prime }$ 사이의 경로 호모토피, $G$를 $g$와 $g^{\prime }$ 사이의 경로 호모토피라고 하자. 다음을 정의하자.

$$H(s,t)=\{\begin{array}{ll}F(2s,t)& \text{for }s\in [0,1/2],\\ G(2s-1,t)& \text{for }s\in [1/2,1].\end{array}$$

모든 $t$에 대해 $F(1,t)=x_1=G(0,t)$이므로, 함수 $H$는 잘 정의된다; 붙임 보조정리에 의해 연속이다. $H$가 $f\ast g$와 $f^{\prime }\ast g^{\prime }$ 사이의 요구되는 경로 호모토피임을 확인할 수 있다.

경로-호모토피 클래스에 대한 연산 $\ast$는 군의 공리와 매우 유사한 성질들을 만족시키는 것으로 드러난다. 그들은 $\ast$의 준군(groupoid) 성질 이라고 불린다. 군의 성질과의 한 가지 차이점은 $[f]\ast [g]$가 모든 클래스 쌍에 대해 정의되는 것이 아니라, $f(1)=g(0)$인 쌍 $[f],[g]$에 대해서만 정의된다는 것이다.

정리 51.2

연산 $\ast$는 다음 성질들을 갖는다. $(1)$ (결합법칙, Associativity) 만약 $[f]\ast ([g]\ast [h])$가 정의되면, $([f]\ast [g])\ast [h]$도 정의되며, 그들은 같다. $(2)$ (오른쪽과 왼쪽 항등원, Right and left identities) 주어진 $x\in X$에 대해, $e_x$를 모든 $I$를 점 $x$로 보내는 상수 경로 $e_x:I\to X$라고 하자. 만약 $f$가 $x_0$에서 $x_1$으로 가는 $X$ 안의 경로이면,

$$[f]\ast [e_{x_1}]=[f]\text{and}[e_{x_0}]\ast [f]=[f].$$

$(3)$ (역원, Inverse) $x_0$에서 $x_1$으로 가는 $X$ 안의 경로 $f$가 주어졌을 때, $\bar{f}$를 $\bar{f}(s)=f(1-s)$로 정의된 경로라고 하자. 이를 $f$의 역(reverse) 이라고 부른다. 그러면

$$[f]\ast [\bar{f}]=[e_{x_0}]\text{and}[\bar{f}]\ast [f]=[e_{x_1}].$$

증명

우리는 두 가지 기본적인 사실을 이용할 것이다. 첫 번째는 만약 $k:X\to Y$가 연속 함수이고, $F$가 경로 $f$와 $f^{\prime }$ 사이의 $X$ 안의 경로 호모토피이면, $k\circ F$는 경로 $k\circ f$와 $k\circ f^{\prime }$ 사이의 $Y$ 안의 경로 호모토피라는 사실이다.

두 번째는 만약 $k:X\to Y$가 연속 함수이고 $f$와 $g$가 $f(1)=g(0)$인 $X$ 안의 경로이면,

$$k\circ (f\ast g)=(k\circ f)\ast (k\circ g).$$

이 방정식은 곱 연산 $\ast$의 정의로부터 바로 나온다.

1단계. 성질 (2)와 (3)을 확인한다. (2)를 확인하기 위해, $e_0$를 $I$에서 $0$에서의 상수 경로라고 하고, $i:I\to I$를 항등 함수, 즉 $0$에서 $1$로 가는 $I$ 안의 경로라고 하자. 그러면 $e_0\ast i$도 $0$에서 $1$로 가는 $I$ 안의 경로이다.

$I$가 볼록이므로, $i$와 $e_0\ast i$ 사이에는 $I$ 안의 경로 호모토피 $G$가 존재한다. 그러면 $f\circ G$는 경로 $f\circ i=f$와

$$f\circ (e_0\ast i)=(f\circ e_0)\ast (f\circ i)=e_{x_0}\ast f$$

사이의 $X$ 안의 경로 호모토피이다. $e_1$이 $1$에서의 상수 경로라고 하면 $i\ast e_1$이 $I$ 안에서 경로 $i$와 경로 호모토픽하다는 사실을 이용한 완전히 유사한 논증은 $[f]\ast [e_{x_1}]=[f]$임을 보여준다.

(3)을 확인하기 위해, $i$의 역은 $\bar{i}(s)=1-s$임을 주목하자. 그러면 $i\ast \bar{i}$는 $0$에서 시작하고 끝나는 $I$ 안의 경로이고, 상수 경로 $e_0$도 그렇다. $I$가 볼록이므로, $e_0$와 $i\ast \bar{i}$ 사이에는 $I$ 안의 경로 호모토피 $H$가 존재한다. 그러면 $f\circ H$는 $f\circ e_0=e_{x_0}$와

$$(f\circ i)\ast (f\circ \bar{i})=f\ast \bar{f}$$

사이의 경로 호모토피이다. $\bar{i}\ast i$가 $I$ 안에서 $e_1$과 경로 호모토픽하다는 사실을 이용한 완전히 유사한 논증은 $[\bar{f}]\ast [f]=[e_{x_1}]$임을 보여준다.

2단계. (1) 결합법칙의 증명은 조금 더 까다롭다. 이 증명과 나중의 사용을 위해, 곱 $f\ast g$를 다른 방식으로 설명하는 것이 편리할 것이다.

만약 $[a,b]$와 $[c,d]$가 $\mathbb{R}$의 두 구간이면, $a$를 $c$로, $b$를 $d$로 보내는 $p(x)=mx+k$ 형태의 유일한 함수 $p:[a,b]\to [c,d]$가 존재한다; 우리는 이것을 $[a,b]$에서 $[c,d]$로의 양의 선형 함수(positive linear map) 라고 부른다. 왜냐하면 그 그래프가 양의 기울기를 가진 직선이기 때문이다. 이러한 함수의 역함수는 또 다른 그러한 함수이며, 두 그러한 함수의 합성도 그렇다는 것을 주목하자.

이 용어를 사용하면, 곱 $f\ast g$는 다음과 같이 설명될 수 있다: $[0,1/2]$에서는 $[0,1/2]$에서 $[0,1]$로의 양의 선형 함수에 $f$를 합성한 것과 같고, $[1/2,1]$에서는 $[1/2,1]$에서 $[0,1]$로의 양의 선형 함수에 $g$를 합성한 것과 같다.

이제 (1)을 확인하자. $X$ 안의 경로 $f,g,h$가 주어졌을 때, 곱 $f\ast (g\ast h)$와 $(f\ast g)\ast h$는 $f(1)=g(0)$이고 $g(1)=h(0)$일 때 정확히 정의된다. 이 두 조건을 가정하고, 우리는 또한 경로 $f,g,h$의 “삼중 곱(triple product)“을 다음과 같이 정의한다: $0<a<b<1$인 $I$의 점 $a,b$를 선택하자. $X$ 안의 경로 $k_{a,b}$를 다음과 같이 정의한다: $[0,a]$에서는 $[0,a]$에서 $I$로의 양의 선형 함수에 $f$를 합성한 것과 같고, $[a,b]$에서는 $[a,b]$에서 $I$로의 양의 선형 함수에 $g$를 합성한 것과 같으며, $[b,1]$에서는 $[b,1]$에서 $I$로의 양의 선형 함수에 $h$를 합성한 것과 같다. 경로 $k_{a,b}$는 물론 점 $a,b$의 선택에 의존한다. 하지만 그것의 경로-호모토피 클래스는 그렇지 않다! 만약 $c,d$가 $0<c<d<1$인 $I$의 또 다른 점 쌍이면, $k_{c,d}$가 $k_{a,b}$와 경로 호모토픽함을 보인다.

$p:I\to I$를 그 그래프가 그림에 그려진 함수라고 하자. $[0,a],[a,b],[b,1]$에 제한되었을 때, 각각 $[0,c],[c,d],[d,1]$로의 양의 선형 함수와 같다. $k_{c,d}\circ p$가 $k_{a,b}$와 같다는 것은 바로 나온다. 하지만 $p$는 $0$에서 $1$로 가는 $I$ 안의 경로이고, 항등 함수 $i:I\to I$도 그렇다. 따라서, $p$와 $i$ 사이에는 $I$ 안의 경로 호모토피 $P$가 존재한다. 그러면 $k_{c,d}\circ P$는 $k_{a,b}$와 $k_{c,d}$ 사이의 $X$ 안의 경로 호모토피이다.

이것이 결합법칙과 무슨 관련이 있는가? 아주 많다. 곱 $f\ast (g\ast h)$는 정확히 $a=1/2,b=3/4$인 경우의 삼중 곱 $k_{a,b}$이고, 곱 $(f\ast g)\ast h$는 $c=1/4,d=1/2$인 경우의 $k_{c,d}$와 같다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 이 두 곱은 경로 호모토픽하다.

결합법칙을 증명하기 위해 방금 사용된 논증은 임의의 유한한 경로의 곱에 대해서도 통한다. 대략적으로 말하면, 결과의 경로-호모토피 클래스에 관한 한, 경로의 곱을 형성할 때 구간을 어떻게 나누는지는 중요하지 않다는 것이다! 이 결과는 나중에 유용할 것이므로, 여기서 공식적으로 정리로 기술한다.

정리 51.3

$f$를 $X$ 안의 경로라고 하고, $a_0,\dots ,a_n$을 $0=a_0<a_1<\cdots <a_n=1$인 수들이라고 하자. $f_i:I\to X$를 $I$에서 $[a_{i-1},a_i]$로의 양의 선형 함수에 $f$를 합성한 경로라고 하자. 그러면

$$[f]=[f_1]\ast \cdots \ast [f_n].$$