25. Components and Local Connectedness

임의의 공간 $X$가 주어졌을 때, 이를 연결된 (또는 경로 연결된) 조각들로 나누는 자연스러운 방법이 있다. 이제 그 과정을 살펴본다.

정의

주어진 공간 $X$에 대해, $x$와 $y$를 모두 포함하는 연결 부분 공간이 존재할 경우 $x\sim y$로 정의하여 $X$ 위에 동치 관계(equivalence relation)를 정의한다. 이 동치류들을 $X$의 성분(components) (또는 “연결 성분(connected components)“)이라고 부른다.

대칭성(Symmetry)과 반사성(reflexivity)은 명백하다. 추이성(Transitivity)은 $x$와 $y$를 포함하는 연결 부분 공간이 $A$이고, $y$와 $z$를 포함하는 연결 부분 공간이 $B$일 때, $A\cup B$는 점 $y$를 공통으로 가지므로 연결되어 있으며 $x$와 $z$를 포함하는 부분 공간이라는 점에서 따라 나온다.

$X$의 성분들은 다음과 같이 기술될 수도 있다:

정리 25.1

$X$의 성분들은 $X$의 연결된 서로소인 부분 공간들이며, 그 합집합은 $X$이고, $X$의 비어있지 않은 모든 연결 부분 공간은 이들 중 단 하나와만 교차한다.

증명

동치류이므로, $X$의 성분들은 서로소이며 그 합집합은 $X$이다. $X$의 각 연결 부분 공간 $A$는 이들 중 단 하나와만 교차한다. 왜냐하면 만약 $A$가 $X$의 성분 $C_1$과 $C_2$와 각각 점 $x_1$과 $x_2$에서 교차한다면, 정의에 의해 $x_1\sim x_2$가 되어, $C_1=C_2$가 아닌 이상 이는 일어날 수 없기 때문이다.

성분 $C$가 연결되어 있음을 보이기 위해, $C$의 한 점 $x_0$를 선택하자. $C$의 각 점 $x$에 대해, 우리는 $x_0\sim x$임을 알고 있으므로, $x_0$와 $x$를 포함하는 연결 부분 공간 $A_x$가 존재한다. 방금 증명한 결과에 의해, $A_x\subset C$이다. 따라서,

$$C=\bigcup _{x\in C}{A}_x.$$

부분 공간 $A_x$들은 연결되어 있고 점 $x_0$를 공통으로 가지므로, 그 합집합은 연결 공간이다.

정의

공간 $X$ 위에 $x$에서 $y$로 가는 경로(path)가 존재할 경우 $x\sim y$로 정의하여 또 다른 동치 관계를 정의한다. 이 동치류들을 $X$의 경로 성분(path components) 이라고 부른다.

이것이 동치 관계임을 보이자. 먼저, 정의역이 구간 $[a,b]$인 $x$에서 $y$로 가는 경로 $f:[a,b]\to X$가 존재하면, 닫힌 구간 $[c,d]$를 정의역으로 갖는 $x$에서 $y$로 가는 경로 $g$도 존재한다는 점에 주목하자. (이는 $\mathbb{R}$의 임의의 두 닫힌 구간이 위상동형이라는 사실로부터 따라 나온다.) 이제 $X$의 각 $x$에 대해 $x\sim x$라는 사실은 모든 $t$에 대해 $f(t)=x$로 정의된 상수 경로 $f:[a,b]\to X$의 존재로부터 따라 나온다. 대칭성은 만약 $f:[0,1]\to X$가 $x$에서 $y$로 가는 경로라면, “역 경로(reverse path)” $g:[0,1]\to X$ (단, $g(t)=f(1-t)$)는 $y$에서 $x$로 가는 경로라는 사실로부터 따라 나온다. 마지막으로, 추이성은 다음과 같이 증명된다: $f:[0,1]\to X$가 $x$에서 $y$로 가는 경로이고, $g:[1,2]\to X$가 $y$에서 $z$로 가는 경로라 하자. 우리는 $f$와 $g$를 “붙여서” $x$에서 $z$로 가는 경로 $h:[0,2]\to X$를 얻을 수 있다. 이 경로 $h$는 “붙임 보조정리(pasting lemma)“(정리 18.3)에 의해 연속이다.

다음 정리가 있으며, 그 증명은 앞선 정리의 증명과 유사하다.

정리 25.2

$X$의 경로 성분들은 $X$의 경로 연결된 서로소인 부분 공간들이며, 그 합집합은 $X$이고, $X$의 비어있지 않은 모든 경로 연결 부분 공간은 이들 중 단 하나와만 교차한다.

공간 $X$의 각 성분은 $X$에서 닫힌 집합이라는 점에 주목하자. 왜냐하면 $X$의 연결 부분 공간의 폐포는 연결 공간이기 때문이다. 만약 $X$가 유한 개의 성분만을 가진다면, 각 성분은 또한 $X$에서 열린 집합이다. 왜냐하면 그 여집합이 닫힌 집합들의 유한 합집합이기 때문이다. 그러나 일반적으로 $X$의 성분들이 $X$에서 열린 집합일 필요는 없다.

$X$의 경로 성분들에 대해서는 더 적게 말할 수 있는데, 왜냐하면 그것들은 $X$에서 열린 집합도 닫힌 집합도 아닐 수 있기 때문이다. 다음 예제들을 고려해보자:

예제 1

만약 $\mathbb{Q}$가 유리수들로 이루어진 $\mathbb{R}$의 부분 공간이라면, $\mathbb{Q}$의 각 성분은 단일 점으로 이루어져 있다. $\mathbb{Q}$의 성분들 중 어느 것도 $\mathbb{Q}$에서 열린 집합이 아니다.

예제 2

앞 절의 “위상수학자의 사인 곡선(topologist’s sine curve)” $\bar{S}$는 단일 성분을 가지는(연결 공간이므로) 공간이며, 두 개의 경로 성분을 가진다. 한 경로 성분은 곡선 $S$이고 다른 하나는 수직 구간 $V=\{0\}\times [-1,1]$이다. $S$는 $\bar{S}$에서 열려 있지만 닫혀 있지 않으며, 반면 $V$는 닫혀 있지만 열려 있지 않다는 점에 주목하자.

만약 $V$의 모든 점 중 두 번째 좌표가 유리수인 점들을 삭제하여 $\bar{S}$로부터 공간을 형성하면, 단 하나의 성분을 가지지만 비가산적으로 많은 경로 성분을 가지는 공간을 얻게 된다.

연결성은 공간이 가져야 할 유용한 성질이다. 그러나 어떤 목적을 위해서는 공간이 국소적으로(locally) 연결성 조건을 만족하는 것이 더 중요하다. 대략적으로 말하면, 국소적 연결성(local connectedness)은 각 점이 연결된 “임의로 작은” 근방을 가진다는 것을 의미한다. 더 정확하게는 다음과 같은 정의를 가진다.

정의

공간 $X$가 점 $x$에서 국소적으로 연결되어 있다(locally connected at x) 고 하는 것은, $x$의 모든 근방(neighborhood) $U$에 대해, $U$에 포함되는 $x$의 연결된 근방 $V$가 존재할 때를 말한다. 만약 $X$가 모든 점들에서 국소적으로 연결되어 있다면, 간단히 국소적으로 연결되어 있다(locally connected) 고 말한다. 비슷하게, 공간 $X$가 점 $x$에서 국소적으로 경로 연결되어 있다(locally path connected at x) 고 하는 것은, $x$의 모든 근방 $U$에 대해, $U$에 포함되는 $x$의 경로 연결된 근방 $V$가 존재할 때를 말한다. 만약 $X$가 모든 점들에서 국소적으로 경로 연결되어 있다면, 국소적으로 경로 연결되어 있다(locally path connected) 고 말한다.

예제 3

실수선의 각 구간과 반직선(ray)은 모두 연결되어 있고 국소적으로 연결되어 있다. $\mathbb{R}$의 부분 공간 $[-1,0)\cup (0,1]$은 연결되어 있지는 않지만 국소적으로 연결되어 있다. 위상수학자의 사인 곡선은 연결되어 있지만 국소적으로 연결되어 있지는 않다. 유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 연결되어 있지도 않고 국소적으로 연결되어 있지도 않다.

정리 25.3

공간 $X$가 국소적으로 연결되어 있는 것과, $X$의 모든 열린 집합 $U$에 대해 $U$의 각 성분이 $X$에서 열린 집합인 것은 동치이다.

증명

$X$가 국소적으로 연결되어 있다고 가정하자. $U$를 $X$의 열린 집합이라 하고, $C$를 $U$의 한 성분이라 하자. 만약 $x$가 $C$의 한 점이라면, 우리는 $V\subset U$인 $x$의 연결된 근방 $V$를 선택할 수 있다. $V$가 연결되어 있으므로, $V$는 $U$의 성분 $C$ 안에 완전히 포함되어야 한다. 따라서 $C$는 $X$에서 열린 집합이다.

역으로, $X$의 열린 집합들의 성분들이 열려 있다고 가정하자. $X$의 한 점 $x$와 $x$의 근방 $U$가 주어졌을 때, $x$를 포함하는 $U$의 성분을 $C$라 하자. 이제 $C$는 연결되어 있다. 가정에 의해 $C$가 $X$에서 열려 있으므로, $X$는 $x$에서 국소적으로 연결되어 있다.

비슷한 증명이 다음 정리에 대해서도 성립한다:

정리 25.4

공간 $X$가 국소적으로 경로 연결되어 있는 것과, $X$의 모든 열린 집합 $U$에 대해 $U$의 각 경로 성분이 $X$에서 열린 집합인 것은 동치이다.

경로 성분과 성분 사이의 관계는 다음 정리에 의해 주어진다:

정리 25.5

만약 $X$가 위상 공간이라면, $X$의 각 경로 성분은 $X$의 한 성분 안에 놓여 있다. 만약 $X$가 국소적으로 경로 연결되어 있다면, $X$의 성분들과 경로 성분들은 동일하다.

증명

$C$를 $X$의 한 성분이라 하고, $x$를 $C$의 한 점이라 하자. $P$를 $x$를 포함하는 $X$의 경로 성분이라 하자. $P$는 연결되어 있으므로, $P\subset C$이다. 우리는 $X$가 국소적으로 경로 연결되어 있다면 $P=C$임을 보이고자 한다. $P\ne C$라고 가정하자. $Q$를 $P$와 다르면서 $C$와 교차하는 $X$의 모든 경로 성분들의 합집합이라 하자. 이들 각각은 필연적으로 $C$에 놓여 있으므로,

$$C=P\cup Q$$

이다. $X$가 국소적으로 경로 연결되어 있기 때문에, $X$의 각 경로 성분은 $X$에서 열린 집합이다. 따라서, $P$(경로 성분)와 $Q$(경로 성분들의 합집합)는 $X$에서 열린 집합이며, 이들은 $C$의 분리를 구성한다. 이는 $C$가 연결되어 있다는 사실에 모순된다.