23. Connected Spaces

위상 공간에 대한 연결성(connectedness)의 정의는 매우 자연스럽다. 어떤 공간이 두 개의 분리된 “덩어리”—서로소인 비어있지 않은 열린 집합들—로 나뉠 수 있다면 그 공간은 “분리될 수 있다(separated)“고 말한다. 그렇지 않다면, 그 공간은 연결되어 있다(connected)고 한다. 이 간단한 아이디어에서 많은 것이 파생된다.

정의

위상 공간 $X$가 주어졌을 때, $X$의 분리(separation) 란 $X$의 서로소인 비어있지 않은 열린 부분집합들의 쌍 $U,V$로, 그 합집합이 $X$가 되는 것을 말한다. 공간 $X$에 분리가 존재하지 않을 때, $X$를 연결 공간(connected space) 이라고 한다.

연결성은 명백히 위상적 성질(topological property)이다. 왜냐하면 이는 전적으로 $X$의 열린 집합들의 집합(collection)으로 공식화되기 때문이다. 다르게 말하면, $X$가 연결 공간이면, $X$와 위상동형(homeomorphic)인 모든 공간도 연결 공간이다.

연결성의 정의를 공식화하는 또 다른 방법은 다음과 같다:

공간 $X$가 연결 공간인 것과, $X$에서 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합인 부분집합이 공집합과 $X$ 자신뿐인 것은 동치이다.

만약 $A$가 $X$의 비어있지 않은 진부분집합(proper subset)이고 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이라면, 집합 $U=A$와 $V=X-A$는 $X$의 분리를 구성한다. 왜냐하면 이들은 열려 있고, 서로소이며, 비어있지 않고, 그 합집합이 $X$이기 때문이다. 역으로, $U$와 $V$가 $X$의 분리를 형성한다면, $U$는 비어있지 않고 $X$와 다르며, $X$에서 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이다.

위상 공간 $X$의 부분 공간 $Y$에 대해, 연결성의 정의를 공식화하는 또 다른 유용한 방법이 있다:

보조정리 23.1

만약 $Y$가 $X$의 부분 공간이면, $Y$의 분리는 합집합이 $Y$가 되는 서로소인 비어있지 않은 두 집합 $A$와 $B$의 쌍으로, 어느 한 쪽도 다른 쪽의 극한점(limit point)을 포함하지 않는 것이다. 공간 $Y$에 분리가 존재하지 않을 때, $Y$는 연결 공간이다.

증명

먼저 $A$와 $B$가 $Y$의 분리를 형성한다고 가정하자. 그러면 $A$는 $Y$에서 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이다. $Y$에서 $A$의 폐포(closure)는 $\bar{A}\cap Y$이다 (여기서 $\bar{A}$는 평소와 같이 $X$에서 $A$의 폐포를 나타낸다). $A$가 $Y$에서 닫힌 집합이므로, $A=\bar{A}\cap Y$이다. 또는 같은 의미로, $\bar{A}\cap B=\varnothing$이다. $\bar{A}$는 $A$와 그 극한점들의 합집합이므로, $B$는 $A$의 극한점을 포함하지 않는다. 비슷한 논리로 $A$도 $B$의 극한점을 포함하지 않음을 보일 수 있다.

역으로, $A$와 $B$가 합집합이 $Y$인 서로소인 비어있지 않은 집합이고, 어느 한 쪽도 다른 쪽의 극한점을 포함하지 않는다고 가정하자. 그러면 $\bar{A}\cap B=\varnothing$이고 $A\cap \bar{B}=\varnothing$이다. 따라서, $\bar{A}\cap Y=A$이고 $\bar{B}\cap Y=B$라고 결론 내릴 수 있다. 그러므로 $A$와 $B$는 모두 $Y$에서 닫힌 집합이며, $A=Y-B$이고 $B=Y-A$이므로 $Y$에서 열린 집합이기도 하다.

예제 1

비이산 위상(indiscrete topology)을 갖는 두 점 공간을 $X$라 하자. 명백히 $X$에는 분리가 없으므로, $X$는 연결 공간이다.

예제 2

실수선 $\mathbb{R}$의 부분 공간 $Y=[-1,0)\cup (0,1]$를 생각하자. 집합 $[-1,0)$과 $(0,1]$은 각각 비어있지 않고 $Y$에서 열린 집합이다($\mathbb{R}$에서는 열려 있지 않지만). 따라서 이들은 $Y$의 분리를 형성한다. 다른 방법으로는, 이들 집합 중 어느 것도 다른 쪽의 극한점을 포함하지 않는다는 점에 주목할 수 있다. (이들은 공통 극한점 $0$을 가지지만, 그것은 중요하지 않다.)

예제 3

실수선의 부분 공간 $X=[-1,1]$을 생각하자. 집합 $[-1,0]$과 $(0,1]$은 서로소이고 비어있지 않지만, $X$의 분리를 형성하지는 않는다. 왜냐하면 첫 번째 집합이 $X$에서 열린 집합이 아니기 때문이다. 다른 방법으로는, 첫 번째 집합이 두 번째 집합의 극한점인 $0$을 포함한다는 점에 주목할 수 있다. 실제로, 공간 $[-1,1]$에는 분리가 존재하지 않는다. 이 사실은 곧 증명할 것이다.

예제 4

유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 연결 공간이 아니다. 실제로 $\mathbb{Q}$의 연결 부분 공간은 한 점 집합뿐이다: 만약 $Y$가 두 점 $p$와 $q$를 포함하는 $\mathbb{Q}$의 부분 공간이라면, $p$와 $q$ 사이에 있는 무리수 $a$를 선택하여 $Y$를 열린 집합들

$$Y\cap (-\infty ,a)\text{and}Y\cap (a,+\infty )$$

의 합집합으로 쓸 수 있다.

예제 5

평면 ${\mathbb{R}}^2$의 다음 부분집합을 생각하자:

$$X=\{x\times y|y=0\}\cup \{x\times y|x>0\text{ and }y=1/x\}$$

그러면 $X$는 연결 공간이 아니다. 실제로, 표시된 두 집합은 어느 쪽도 다른 쪽의 극한점을 포함하지 않으므로 $X$의 분리를 형성한다.

우리는 연결되지 않은 공간의 여러 예를 들었다. 어떻게 하면 연결 공간을 구성할 수 있을까? 이제 주어진 공간으로부터 새로운 연결 공간을 만드는 몇 가지 정리를 증명할 것이다. 다음 절에서는 이 정리들을 적용하여 $\mathbb{R}$의 구간, ${\mathbb{R}}^n$의 공(ball)과 정육면체(cube)와 같은 특정 공간들이 연결 공간임을 보일 것이다. 먼저, 보조정리 하나를 보자.

보조정리 23.2

만약 집합 $C$와 $D$가 $X$의 분리를 형성하고, $Y$가 $X$의 연결 부분 공간이라면, $Y$는 $C$ 또는 $D$ 중 하나에 완전히 포함된다.

증명

$C$와 $D$가 모두 $X$에서 열린 집합이므로, 집합 $C\cap Y$와 $D\cap Y$는 $Y$에서 열린 집합이다. 이 두 집합은 서로소이고 그 합집합은 $Y$이다. 만약 둘 다 비어있지 않다면, 이들은 $Y$의 분리를 구성할 것이다. 따라서 그중 하나는 비어있다. 그러므로 $Y$는 $C$ 또는 $D$ 중 하나에 완전히 포함되어야 한다.

정리 23.3

한 점을 공통으로 갖는 $X$의 연결 부분 공간들의 집합(collection)의 합집합은 연결 공간이다.

증명

$\{A_{\alpha }\}$를 공간 $X$의 연결 부분 공간들의 집합이라 하고, $p$를 $\cap A_{\alpha }$의 한 점이라 하자. 우리는 공간 $Y=\cup A_{\alpha }$가 연결 공간임을 증명할 것이다. $Y=C\cup D$가 $Y$의 분리라고 가정하자. 점 $p$는 $C$ 또는 $D$ 중 한 집합에 속한다. $p\in C$라고 가정하자. $A_{\alpha }$는 연결 공간이므로, $C$ 또는 $D$ 중 하나에 완전히 포함되어야 한다. 그런데 $A_{\alpha }$는 $C$의 점 $p$를 포함하므로 $D$에 포함될 수 없다. 따라서 모든 $\alpha$에 대해 $A_{\alpha }\subset C$이고, $\cup A_{\alpha }\subset C$가 되어 $D$가 비어있지 않다는 사실에 모순된다.

정리 23.4

$A$를 $X$의 연결 부분 공간이라 하자. 만약 $A\subset B\subset \bar{A}$이면, $B$도 연결 공간이다.

다르게 말하면: 만약 $B$가 연결 부분 공간 $A$에 그 극한점들의 일부 또는 전부를 추가하여 형성되었다면, $B$는 연결 공간이다.

증명

$A$가 연결 공간이고 $A\subset B\subset \bar{A}$라 하자. $B=C\cup D$가 $B$의 분리라고 가정하자. 보조정리 23.2에 의해, 집합 $A$는 $C$ 또는 $D$ 중 하나에 완전히 포함되어야 한다. $A\subset C$라고 가정하자. 그러면 $\bar{A}\subset \bar{C}$이다. $\bar{C}$와 $D$는 서로소이므로, $B$는 $D$와 교차할 수 없다. 이는 $D$가 $B$의 비어있지 않은 부분집합이라는 사실에 모순된다.

정리 23.5

연속 함수에 의한 연결 공간의 상(image)은 연결 공간이다.

증명

$f:X\to Y$를 연속 함수라 하고, $X$를 연결 공간이라 하자. 우리는 상 공간 $Z=f(X)$가 연결 공간임을 증명하고자 한다. $f$의 공역(range)을 공간 $Z$로 제한하여 얻은 함수 또한 연속이므로, 연속 전사 함수(surjective map)

$$g:X\to Z$$

의 경우를 고려하는 것으로 충분하다.

$Z=A\cup B$가 $Z$에서 열린 서로소인 비어있지 않은 두 집합 $A$와 $B$로의 분리라고 가정하자. 그러면 $g^{-1}(A)$와 $g^{-1}(B)$는 합집합이 $X$인 서로소 집합이다. $g$가 연속이므로 이들은 $X$에서 열린 집합이고, $g$가 전사이므로 비어있지 않다. 따라서 이들은 $X$의 분리를 형성하며, 이는 $X$가 연결 공간이라는 가정에 모순된다.

정리 23.6

연결 공간들의 유한 데카르트 곱(finite cartesian product)은 연결 공간이다.

증명

먼저 두 연결 공간 $X$와 $Y$의 곱에 대해 정리를 증명한다. 이 증명은 시각화하기 쉽다. 곱 $X\times Y$에서 “기준점” $a\times b$를 선택하자. “수평 슬라이스(horizontal slice)” $X\times \{b\}$는 $X$와 위상동형이므로 연결 공간이고, 각 “수직 슬라이스(vertical slice)” $\{x\}\times Y$는 $Y$와 위상동형이므로 연결 공간이다. 결과적으로, 각 “T자 모양” 공간

$$T_x=(X\times \{b\})\cup (\{x\}\times Y)$$

은 점 $x\times b$를 공통으로 갖는 두 연결 공간의 합집합이므로 연결 공간이다. 이제 이 모든 T자 모양 공간들의 합집합 ${\bigcup }_{x\in X}{T}_x$을 형성한다. 이 합집합은 점 $a\times b$를 공통으로 갖는 연결 공간들의 집합의 합집합이므로 연결 공간이다. 이 합집합이 $X\times Y$와 같으므로, 공간 $X\times Y$는 연결 공간이다.

임의의 유한 곱 공간에 대한 증명은 귀납법에 의해 따라 나온다. 이때 $X_1\times \cdots \times X_n$이 $(X_1\times \cdots \times X_{n-1})\times X_n$과 위상동형이라는 (쉽게 증명되는) 사실을 이용한다.

이 정리가 연결 공간들의 임의의 곱으로 확장될 수 있는지 묻는 것은 자연스럽다. 답은 곱에 사용되는 위상에 따라 달라지며, 다음 예제들이 이를 보여준다.

예제 6

상자 위상(box topology)에서의 데카르트 곱 ${\mathbb{R}}^{\omega }$를 생각하자. ${\mathbb{R}}^{\omega }$를 유계 수열(bounded sequence)로 이루어진 집합 $A$와 비유계 수열(unbounded sequence)로 이루어진 집합 $B$의 합집합으로 쓸 수 있다. 이 집합들은 서로소이며, 상자 위상에서 각각 열린 집합이다. 왜냐하면 ${\mathbb{R}}^{\omega }$의 한 점 $a$에 대해, 열린 집합

$$U=(a_1-1,a_1+1)\times (a_2-1,a_2+1)\times \cdots$$

는 $a$가 유계이면 전체가 유계 수열로 이루어지고, $a$가 비유계이면 전체가 비유계 수열로 이루어지기 때문이다. 따라서, $\mathbb{R}$이 연결 공간임에도 불구하고 (다음 절에서 증명할 것임), ${\mathbb{R}}^{\omega }$는 상자 위상에서 연결 공간이 아니다.

예제 7

이제 곱 위상(product topology)에서의 ${\mathbb{R}}^{\omega }$를 생각하자. $\mathbb{R}$이 연결 공간이라고 가정하고, ${\mathbb{R}}^{\omega }$가 연결 공간임을 보이자. ${\tilde{\mathbb{R}}}^n$을 $i>n$에 대해 $x_i=0$인 모든 수열 $x=(x_1,x_2,\dots )$로 이루어진 ${\mathbb{R}}^{\omega }$의 부분 공간이라 하자. 공간 ${\tilde{\mathbb{R}}}^n$은 명백히 ${\mathbb{R}}^n$과 위상동형이므로, 앞선 정리에 의해 연결 공간이다. 공간 ${\mathbb{R}}^{\infty }$는 공간 ${\tilde{\mathbb{R}}}^n$들의 합집합이므로 연결 공간이다. 왜냐하면 이 공간들은 점 $0=(0,0,\dots )$을 공통으로 갖기 때문이다. ${\mathbb{R}}^{\infty }$의 폐포가 ${\mathbb{R}}^{\omega }$ 전체와 같음을 보이면, ${\mathbb{R}}^{\omega }$ 또한 연결 공간임이 따라 나온다.

${\mathbb{R}}^{\omega }$의 한 점 $a=(a_1,a_2,\dots )$를 잡자. $a$를 포함하는 곱 위상의 기저 원소 $U=\prod U_i$를 잡자. $U$가 $a$를 포함하므로 $i>N$에 대해 $U_i=\mathbb{R}$인 정수 $N$이 존재한다. 그러면 ${\mathbb{R}}^{\infty }$의 점

$$x=(a_1,\dots ,a_N,0,0,\dots )$$

은 $U$에 속한다. 왜냐하면 모든 $i$에 대해 $a_i\in U_i$이고, $i>N$에 대해 $0\in U_i$이기 때문이다.

방금 제시된 논증은 연결 공간들의 임의의 곱이 곱 위상에서 연결 공간임을 보이기 위해 일반화될 수 있다. 우리는 이 결과를 필요로 하지 않으므로 증명은 연습문제로 남긴다.