조르당 표준형 구하기

개념

대수적 중복도 (Algebraic Multiplicity, AM)

어떤 고유값 $\lambda$가 특성 다항식 $\det (A-\lambda I)=0$의 해로 몇 번 나오는지 나타냅니다. 예를들어, $\det (A-\lambda I)=(\lambda -3{)}^2(\lambda -5{)}^1$ 라면, 고윳값 3의 AM = 2, 고윳값 5의 AM = 1 입니다.

기하적 중복도 (Geometric Multiplicity, GM)

고유공간 $E_{\lambda }=\ker (A-\lambda I)$의 차원 즉, 고유값 λ에 대해 선형독립인 고유벡터의 개수를 나타냅니다.

$$GM=\dim (\ker (A-\lambda I))=\text{nullity}(A-\lambda I)$$

대수적 중복도와 기하적 중복도 관계

고유벡터는 다음 조건을 만족하는 벡터입니다.

$$(A-\lambda I)\vec{v}=0$$

즉, 고유공간은 $A-\lambda I$의 영공간(null space)입니다. 그런데 이 영공간의 차원, 즉 GM은 $A-\lambda I$의 계수(rank)에 따라 달라지며, 행렬 자체가 특정 구조를 가지면 null space가 제한될 수 있습니다.

예를들어 $\lambda$가 대수적으로 $3$번 중복되도, 실제로 $A-\lambda I$의 영공간이 크지 않다면 독립된 고유벡터는 $3$개가 안 될 수 있습니다.

따라서

$$1\le \text{GM}\le \text{AM}$$

• GM = AM이면: 대각화 가능
• GM < AM이면: 대각화 불가능, 조르당 블록 생김

점 도표(Dot Diagram)의 구조와 해석

점 도표는 고유값과 일반화 고유벡터의 관계를 시각적으로 나타내는 방법입니다. 각 점은 고유벡터 또는 일반화 고유벡터를 나타내며, 점의 위치는 해당 벡터가 속한 고유값과 일반화 고유공간을 나타냅니다.

$K_{{\lambda }_i}$로의 $T$의 제한을 $T_i$, $T_i$의 점 도표의 $j$행에 위치한 점의 개수를 $r_j$라 하면,

1. $r_1=\dim V-\text{rank}(T-\lambda I)$
2. $j>1$ 일 때, $r_j=\text{rank}((T-\lambda I{)}^{j-1})-\text{rank}((T-\lambda I{)}^j)$

예제 1

$$A=\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 0& 1\\ 0& 3& -1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& -1& 0& 3\end{array}\right]$$

특성 다항식 및 고윳값

특성 다항식은 다음과 같습니다.

$$\det (A-tI)=(t-2{)}^3(t-3)$$

• ${\lambda }_1=2$, AM = 3
• ${\lambda }_2=3$, AM = 1

${\lambda }_2$의 기하적 중복도는 $1$이므로 고유벡터는 $1$개만 필요합니다. 반면에 ${\lambda }_1$의 기하적 중복도는 계산을 통해 구해야 합니다.

${\lambda }_1$의 기하적 중복도

$$A-2I=\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 0& 1\end{array}\right]$$ $$r_1=4-\text{rank}(A-2I)=4-2=2$$ $$(A-2I{)}^2=\left[\begin{array}{cccc}0& -2& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -2& 1& 1\end{array}\right]\Rightarrow \text{rank}=1$$ $$r_2=\text{rank}(A-2I)-\text{rank}((A-2I{)}^2)=2-1=1$$

그러므로 점 도표는 다음과 같다.

$$\begin{array}{cc}\bullet & \bullet \\ \bullet & \end{array}$$

4️⃣ 일반화 고유벡터 구하기

• $K_{{\lambda }_1}=\ker ((A-2I{)}^2)$ → 차원 3
• $N(T-2I)$ → 차원 2

▶ $v_1$ 선택

$$v_1\in N((A-2I{)}^2),v_1\notin N(A-2I)\Rightarrow v_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right]$$

▶ $v_2=(A-2I)v_1$

$$v_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\\ -1\end{array}\right]$$

→ 이 두 벡터가 하나의 조르당 사슬 형성
(하단에서 상단으로: $v_1\to v_2$)

5️⃣ 두 번째 사슬: 고유벡터 $v_3$

• $v_3\in E_{{\lambda }_1}$
• $v_3\notin \text{span}(v_2)$

선택:

$$v_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

6️⃣ 고유값 3에 대한 고유벡터

• ${\lambda }_2=3$의 대수/기하 중복도는 1이므로 고유벡터 1개만 필요

$$v_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

7️⃣ 조르당 기저 정리 및 조르당 행렬

▶ 조르당 기저:

$$\beta =\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$$

▶ 조르당 정규형 $J$:

$$J=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]$$

8️⃣ 결론: 전이행렬 $Q$

해당 기저를 열벡터로 갖는 전이행렬 $Q$:

$$Q=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 1& 1\\ -1& 1& 0& 0\\ -1& 2& 0& 0\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow J=Q^{-1}AQ$$

📌 핵심 요약

항목	값
고유값	2 (AM=3, GM=2), 3 (AM=1, GM=1)
도트 다이어그램	위 2, 아래 1점
일반화 고유벡터 사슬	길이 2 (v₁, v₂)
조르당 기저	일반화 고유벡터 포함
조르당 정규형	상삼각 블록 포함된 J

이러한 예제는 조르당 정규형을 구성하는 전형적인 과정으로, 추상적인 개념을 행렬 연산, 기저 변환, 고유공간 분해를 통해 구체화하는 데 큰 도움이 됩니다.
원하시면 이와 유사한 문제나 다른 고유값 구조에 대한 예제도 함께 다룰 수 있습니다.