오른손 좌표계와 향(Orientation)

벡터의 순서쌍 ${u, w}$ 가 오른손 좌표계를 형성하기 위한 필요충분 조건이 $O (u, w) = 1$ 과 동치임을 보인다.

방향성(Orientation)의 정의

주어진 $R^{2}$ 의 기저 ${u, w}$ 에 대해 방향성(Orientation) $O (u, w)$ 를 다음과 같이 정의한다.

O [u w] = \frac{det [ u w ]}{det [ u w ]}

이는 행렬식 $det [u w]$ 의 부호를 의미하며, 다음이 성립한다.

O [u w] = 1 ⟺ det [u w] > 0

이제, 벡터 $w$ 가 $u$ 를 $0 < θ < π$ 만큼 반시계 방향으로 회전하여 얻어지는 경우를 고려하자. 즉,

u = (a_{1}, a_{2}), w = (a_{1} cos θ - a_{2} sin θ, a_{1} sin θ + a_{2} cos θ)

이때, 행렬식을 계산하면

det [u w] = det [a_{1} a_{1} cos θ - a_{2} sin θ a_{2} a_{1} sin θ + a_{2} cos θ]

전개하여 정리하면,

det [u w] = a_{1} (a_{1} sin θ + a_{2} cos θ) - a_{2} (a_{1} cos θ - a_{2} sin θ) = a_{1}^{2} sin θ + a_{1} a_{2} cos θ - a_{2} a_{1} cos θ + a_{2}^{2} sin θ = (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) sin θ

여기서 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} > 0$ 이고, $sin θ > 0$ (왜냐하면 $0 < θ < π$ 이므로)임을 이용하면

det [u w] > 0

$O (u, w) = 1$ 이 성립한다.