동반행렬(companion matrix)

T-순환기저(cyclic basis)

$v$로 생성되는 부분공간 ${\mathcal{K}}_n(T,v)$를 생각해봅시다.

$${\mathcal{K}}_n(T,v)=⟨v,Tv,T^{2}v,\dots ,T^{n-1}v⟩$$

이때 $T^{n}v$는 $v,Tv,\dots ,T^{n-1}v$의 선형결합으로 나타낼 수 있습니다.

$$T^{n}v=-a_{n-1}{T}^{n-1}v-\cdots -a_{0}v$$

따라서 특성다항식 $p(t)$는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$$p(t)=t^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_0$$

Companion matrix $C_p$ 정의

$p(t)$에 대해 $T$가 $v,Tv,\cdots$ 위에서 어떻게 작동해야 할지를 행렬로 적으면 다음과 같습니다.

$$C_p=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right)$$

이러한 구조가 생기는 이유

동반행렬(companion matrix)의 구조를 이해하려면 선형변환이 기저 벡터들에 어떻게 작용하는지를 살펴보는 것이 중요합니다.

동반행렬은 다항식 $p(t)=t^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_0$에 대응하는 특별한 행렬입니다. 이 행렬이 왜 특정한 구조를 가지는지는 선형변환 $T$가 기저 $v,Tv,\dots ,T^{n-1}v$에 어떻게 작용하는지를 생각하면 자연스럽게 이해할 수 있습니다.

선형변환 $T$가 기저의 첫 번째 원소 $v$에 작용하면 기저의 두 번째 원소인 $Tv$가 됩니다. 이는 행렬의 관점에서 첫 번째 열의 두 번째 행에 $1$이 위치해야 함을 의미합니다. 마찬가지로 $T$가 $Tv$에 작용하면 $T^{2}v$가 되므로, 두 번째 열의 세 번째 행에 $1$이 위치해야 합니다. 이런 패턴이 계속되어 대각선 바로 아래에 $1$이 있는 ‘하부 단위행렬’ 구조가 형성됩니다.

그러나 마지막 기저 원소 $T^{n-1}v$에 $T$가 작용하면 상황이 달라집니다. $T^{n}v$는 더 이상 기저에 포함되지 않으며, 특성다항식 관계에 의해 $T^{n}v=-a_{0}v-a_{1}Tv-\cdots -a_{n-1}{T}^{n-1}v$로 표현됩니다. 이 관계를 행렬로 표현하려면 마지막 열에 각각 $-a_0,-a_1,\dots ,-a_{n-1}$를 배치해야 합니다.

결과적으로 동반행렬은 하부 단위행렬과 마지막 열에 특성다항식의 계수가 들어간 특별한 구조를 갖게 됩니다. 이렇게 구성된 행렬은 정확히 $p(C_p)=0$을 만족하여 다항식 $p$의 소멸자 역할을 수행합니다.