켤레 전치(Conjugate Transpose, Hermitian Transpose) 행렬

켤레 전치(Conjugate Transpose)의 정의

행렬 $A$ 에 대해, 켤레 전치는 다음과 같이 정의된다.

$A^{\ast }={\overline{A}}^T$

즉, 행렬을 전치(Transpose)한 후, 복소 켤레(Conjugate)를 취한 것이다. 문헌에 따라 다르게 표현하는 경우도 있다. ($A^H$ 또는 특히 양자역학에서 $A^{†}$)

켤레 전치의 성질

덧셈과 곱셈에 대한 성질

• 덧셈과 스칼라 곱에 대한 성질 $(A+B{)}^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast }$ $(\lambda A{)}^{\ast }=\overline{\lambda }{A}^{\ast },\forall \lambda \in \mathbb{C}$

• 곱셈에 대한 성질 (반자동형) $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$

즉, 켤레 전치를 취하면 행렬 곱의 순서가 바뀐다.

켤레와 전치

• 두 번 켤레 전치를 취하면 원래 행렬이 된다.

$$(A^{\ast }{)}^{\ast }=A$$

• 켤레와 전치는 가환이다.

$$A^{\ast }=\overline{A^T}=(\overline{A}{)}^T$$

켤레 전치와 역행렬

$$(A^{-1}{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1}$$

역행렬의 켤레 전치는 켤레 전치의 역행렬과 동일하다.

켤레 전치의 행렬식(Determinant)

$$\det (A^{\ast })=\overline{\det (A)}$$

행렬식(Determinant)의 켤레는 행렬의 켤레 전치의 행렬식과 동일하다.¹

켤레 전치와 고유값(Eigenvalues)

$$Ax=\lambda x\Rightarrow A^{\ast }\overline{x}=\overline{\lambda }\overline{x}$$

즉, $A$ 의 고유값이 $\lambda$ 이면, $A^{\ast }$ 의 고유값은 $\overline{\lambda }$ 입이다.

Footnotes

1. $\det (\overline{A})={\sum }_{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma ){\prod }_{i=1}^n\overline{A_{i,\sigma (i)}}=\overline{{\sum }_{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma ){\prod }_{i=1}^n{A}_{i,\sigma (i)}}$ 이므로, $\det (\overline{A})=\overline{\det (A)}$ ↩