문제 1. 사이퍼트 반 캄펜 정리

§70. 자이페르트-판 캄펀 정리 (The Seifert-van Kampen Theorem)

• 출처 : Munkres, §70, Exercise 2 (p. 433)

• 문제 번역 : 포함 사상에 의해 유도된 준동형사상 $i_2$가 전사(surjective)라고 가정하자. (a) $j_1$이 ${\pi }_1(U,x_0)/M$에서 ${\pi }_1(X,x_0)$으로 가는 전사 준동형사상 $h$를 유도함을 보여라. 여기서 $M$은 $i_1(\ker i_2)$를 포함하는 ${\pi }_1(U,x_0)$의 최소 정규 부분군이다. (b) $h$가 동형사상임을 보여라.

• 출처 : Munkres, §70, Exercise 3 (p. 433)

• 문제 번역 : (a) 만약 $G_1$과 $G_2$가 유한 표시(finite presentation)를 가지면, 그 자유곱 $G_1\ast G_2$ 또한 유한 표시를 가짐을 보여라. (b) 만약 ${\pi }_1(U\cap V,x_0)$이 유한 생성(finitely generated)이고 ${\pi }_1(U,x_0)$와 ${\pi }_1(V,x_0)$가 유한 표시를 가지면, ${\pi }_1(X,x_0)$ 또한 유한 표시를 가짐을 보여라.

§72. 2-세포의 부착 (Adjoining a Two-cell)

• 출처 : Munkres, §72, Exercise 1 (p. 441)

• 문제 번역 : $X$가 하우스도르프 공간이고 $A$는 닫힌 경로 연결 부분공간이라 하자. $h:B^n\to X$가 $S^{n-1}$을 $A$로 보내고 $\text{Int}{B}^n$을 $X-A$ 위로 보내는 전단사 연속 함수라 하자. $a$가 $h(S^{n-1})$의 한 점일 때, $n>2$이면 포함 사상에 의해 유도된 준동형사상 ${\pi }_1(A,a)\to {\pi }_1(X,a)$에 대해 무엇을 말할 수 있는가?

• 출처 : Munkres, §72, Exercise 3 (p. 441)

• 문제 번역 : $G$가 군이고 $x$가 $G$의 원소라 하자. $N$을 $x$를 포함하는 $G$의 최소 정규 부분군이라 하자. 기본군이 $G$와 동형인 정규, 경로 연결 공간이 존재한다면, 기본군이 $G/N$과 동형인 정규, 경로 연결 공간이 존재함을 보여라.

§73. 원환면과 던스 캡의 기본군 (The Fundamental Groups of the Torus and the Dunce Cap)

• 출처 : Munkres, §73, Exercise 1 (p. 445)

• 문제 번역 : $P^2\#T$의 기본군에 대한 표시를 구하라.

• 출처 : Munkres, §73, Exercise 2 (p. 445)

• 문제 번역 : 7각형 영역의 변들을 라벨링 도식 $abaaa{b}^{-1}{a}^{-1}$에 따라 붙여서 얻은 공간 $X$를 생각하자. $X$의 기본군이 두 순환군(cyclic group)의 자유곱임을 보여라.

• 출처 : Munkres, §73, Exercise 3 (p. 445)

• 문제 번역 : 클라인 병 $K$는 라벨링 도식 $ab{a}^{-1}b$로부터 얻어지는 공간이다. (a) $K$의 기본군에 대한 표시를 구하라. (b) 원환면 $T$에서 $K$로 가는 2겹 덮개 사상 $p:T\to K$를 찾고, 유도된 기본군 준동형사상을 설명하라.

• 출처 : Munkres, §73, Exercise 4 (p. 445)

• 문제 번역 : 라벨링 도식 $abcda{d}^{-1}c{b}^{-1}$에 의해 8각형 영역으로부터 얻은 몫공간 $X$를 생각하자. (a) 몫사상 $\pi :P\to X$가 $P$의 모든 꼭짓점을 $X$의 같은 점으로 보내지 않음을 보여라. (b) 공간 $A=\pi (\text{Bd}P)$를 결정하고 그 기본군을 계산하라. (c) ${\pi }_1(X,x_0)$와 $H_1(X)$를 계산하라. (d) $X$가 정리 77.5에 주어진 곡면 중 하나와 위상동형이라 가정할 때, 어떤 곡면인지 결정하라.