2025 fall

제시된 두 위상수학 문제에 대한 개념 설명과 풀이는 다음과 같다.

문제 11번: 집합의 폐포(Closure)

개념 설명

1. 위상 공간 (Topological Space) : 집합 $X$와 $X$의 부분집합들의 모임 $\mathcal{T}$가 주어졌을 때, 세 가지 공리(① $X$와 공집합 $\varnothing$을 포함한다. ② 유한 개의 열린집합의 교집합은 열린집합이다. ③ 임의의 개수의 열린집합의 합집합은 열린집합이다.)를 만족하면 $(X,\mathcal{T})$를 위상 공간이라 한다. $\mathcal{T}$에 속하는 집합을 열린집합(open set) 이라 한다.
2. 닫힌집합 (Closed Set) : 위상 공간 $X$의 부분집합 $C$의 여집합 $X\setminus C$가 열린집합일 때, $C$를 닫힌집합이라고 한다.
3. 폐포 (Closure) : 집합 $A\subset X$의 폐포 $\bar{A}$는 $A$를 포함하는 가장 작은 닫힌집합으로 정의된다. 다르게 표현하면, $A$를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합과 같다.

$$\bar{A}=\bigcap \{C\mid A\subseteq C\text{ and }C\text{ is closed in }X\}$$

4. 유한 집합 (Finite Set) : 원소의 개수가 유한한 집합을 의미한다.

문제 11 풀이

질문: 위상 공간 $X$와 유한 부분집합 $A\subset X$가 있을 때, 폐포 $\bar{A}$도 항상 유한 집합인가?

답: 거짓이다.

주어진 명제는 참이 아니며, 이에 대한 반례는 다음과 같다.

반례 (Counter-example):

1. 위상 공간 설정 :

• 집합 $X$를 무한 집합으로 설정한다. 예를 들어, $X=\mathbb{R}$ (실수 집합)로 둔다.
• $X$에 비이산 위상(indiscrete topology) 을 부여한다. 비이산 위상에서 열린집합은 공집합 $\varnothing$과 전체 집합 $X$뿐이다.

$$\mathcal{T}=\{\varnothing ,X\}$$

2. 닫힌집합 확인 :

• 이 위상에서 닫힌집합은 열린집합의 여집합이다. 따라서 닫힌집합은 $\varnothing$의 여집합인 $X$와 $X$의 여집합인 $\varnothing$뿐이다.

3. 유한 부분집합 선택 :

• $X$의 비어있지 않은 유한 부분집합 $A$를 선택한다. 예를 들어, $A=\{1\}$로 둔다. $A$는 유한 집합이다.

4. 폐포 계산 :

• $A$의 폐포 $\bar{A}$는 $A$를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.
• $A=\{1\}$을 포함하는 닫힌집합은 $X$뿐이다.
• 따라서, $\bar{A}=X=\mathbb{R}$이다.

결론: 유한 집합 $A=\{1\}$의 폐포 $\bar{A}$는 무한 집합인 $\mathbb{R}$이 되었다. 그러므로 위상 공간 $X$의 유한 부분집합 $A$의 폐포 $\bar{A}$가 항상 유한 집합인 것은 아니다.

문제 12번: 상위상 (Quotient Topology)

개념 설명

1. 동치 관계 (Equivalence Relation) : 집합 $X$ 위의 관계 $\sim$가 모든 $x,y,z\in X$에 대해 다음 세 조건을 만족할 때 동치 관계라 한다.

• 반사성 : $x\sim x$
• 대칭성 : $x\sim y$ 이면 $y\sim x$
• 전이성 : $x\sim y$이고 $y\sim z$이면 $x\sim z$

2. 상공간 (Quotient Space) : 집합 $X$와 동치 관계 $\sim$가 주어졌을 때, 동치류 $[x]=\{y\in X\mid y\sim x\}$들의 집합을 상공간 $X/\sim$이라 한다.
3. 상사상 (Quotient Map) : $p:X\to X/\sim$를 $p(x)=[x]$로 정의된 함수를 상사상 또는 자연스러운 사영(natural projection)이라 한다.
4. 상위상 (Quotient Topology) : 상공간 $X/\sim$ 위의 위상은 다음과 같이 정의된다. $X/\sim$의 부분집합 $U$가 열린집합인 것은, 그것의 원상(preimage) $p^{-1}(U)$가 $X$에서 열린집합인 것과 동치이다.
5. 콤팩트성 (Compactness) : 위상 공간의 부분집합 $K$가 콤팩트하다는 것은, $K$의 모든 열린 덮개(open cover)가 유한 부분 덮개(finite subcover)를 갖는다는 의미이다.

문제 12 풀이

(a) $x\sim y⟺x-y\in \mathbb{Q}$

**1. 동치 관계 설명 : 이 관계는 실수를 “유리수만큼 차이 나는” 그룹으로 묶는다. 각 동치류는 $[x]=x+\mathbb{Q}=\{x+q\mid q\in \mathbb{Q}\}$ 형태이다.

**2. 상위상 $R/\sim$의 열린집합 : $R/\sim$에서 공집합이 아닌 부분집합 $U$가 열린집합이 되려면, 그것의 원상 $p^{-1}(U)$가 $\mathbb{R}$에서 열린집합이어야 한다.

• $p^{-1}(U)$는 $\mathbb{R}$의 부분집합이며, $U$에 속한 동치류들의 합집합이다. 즉, $p^{-1}(U)={\bigcup }_{[x]\in U}[x]$이다.
• $p^{-1}(U)$에 속한 임의의 원소 $y$에 대해, $y$의 동치류 $[y]=y+\mathbb{Q}$ 전체가 $p^{-1}(U)$에 포함되어야 한다.
• $p^{-1}(U)$가 $\mathbb{R}$에서 공집합이 아닌 열린집합이라고 가정하자. 그러면 $p^{-1}(U)$는 어떤 열린 구간 $(a,b)$를 포함한다.
• 유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 $\mathbb{R}$에서 조밀(dense)하므로, 임의의 실수 $z\in \mathbb{R}$에 대해 $z-y\in \mathbb{Q}$를 만족하는 $y\in (a,b)$를 찾을 수 있다. 즉, 임의의 $z$는 $(a,b)$에 속한 어떤 원소와 유리수만큼 차이난다.
• 이는 $p^{-1}(U)={\bigcup }_{y\in (a,b)}(y+\mathbb{Q})=(a,b)+\mathbb{Q}=R$ 임을 의미한다.
• 따라서 $\mathbb{R}$에서 열린집합인 원상은 $\varnothing$과 $\mathbb{R}$뿐이다.

결론: $R/\sim$의 열린집합은 $\varnothing$과 $R/\sim$ 전체뿐이다. 이는 비이산 위상(indiscrete topology) 이다.

(b) $x\approx y⟺x=y$ 또는 $x,y\in \mathbb{Q}$

**1. 동치 관계 설명 : 이 관계는 모든 유리수를 하나의 동치류 $[\mathbb{Q}]$로 묶고, 각 무리수는 자기 자신만을 원소로 갖는 동치류 $\{i\}$를 형성한다.

• $x\in \mathbb{Q}$ 이면, $[x]=\mathbb{Q}$
• $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ (무리수)이면, $[x]=\{x\}$

**2. 상위상 $R/\approx$의 열린집합 : $R/\approx$의 부분집합 $U$가 열린집합이려면 $V=p^{-1}(U)$가 $\mathbb{R}$에서 열린집합이어야 한다. $V$는 동치류들의 합집합이어야 한다.

• Case 1: $U$가 $[\mathbb{Q}]$를 포함하지 않는 경우 $V=p^{-1}(U)$는 무리수들로만 구성된 집합이다. $\mathbb{R}$에서 무리수만으로 이루어진 공집합이 아닌 열린집합은 존재하지 않는다. 따라서 $V=\varnothing$이어야 하고, 이 경우 $U=\varnothing$이다.

• Case 2: $U$가 $[\mathbb{Q}]$를 포함하는 경우 $V=p^{-1}(U)$는 $\mathbb{Q}$를 포함한다 ($p^{-1}([\mathbb{Q}])=\mathbb{Q}$). $V$가 $\mathbb{R}$의 열린집합이려면, $V$는 $\mathbb{Q}$를 포함하는 $\mathbb{R}$의 열린집합이어야 한다.

결론: $R/\approx$의 열린집합은 다음 두 종류이다.

1. 공집합 $\varnothing$
2. $[\mathbb{Q}]$를 원소로 포함하고, 그것의 원상 $p^{-1}(U)$이 $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{Q}$를 포함하는 열린집합인 모든 집합 $U$

(c) $R/\approx$에서 모든 점은 닫혀 있는가?

어떤 점 $\{x\}$가 닫혀 있다는 것은 그것의 여집합 $(R/\approx )\setminus \{x\}$가 열린집합이라는 의미이다.

• 점 $[\mathbb{Q}]$ 확인 : 여집합은 $(R/\approx )\setminus \{[\mathbb{Q}]\}=\{[i]\mid i\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\}$ 이다. 이 집합은 $[\mathbb{Q}]$를 포함하지 않으므로, (b)의 분석에 따라 열린집합이 되려면 공집합이어야 한다. 하지만 이 집합은 공집합이 아니므로 열린집합이 아니다. 따라서 점 $[\mathbb{Q}]$는 닫혀 있지 않다.

• 무리수 점 $[i]$ 확인 : 여집합은 $(R/\approx )\setminus \{[i]\}$이다. 이 집합은 $[\mathbb{Q}]$를 포함한다. 원상 $p^{-1}((R/\approx )\setminus \{[i]\})$는 $R\setminus \{i\}$이다. $R\setminus \{i\}=(-\infty ,i)\cup (i,\infty )$는 $\mathbb{R}$에서 열린집합이며, $\mathbb{Q}$를 포함한다. 따라서 (b)의 조건에 의해 $(R/\approx )\setminus \{[i]\}$는 열린집합이다. 그러므로 모든 무리수 점 $[i]$는 닫혀 있다.

결론: 모든 점이 닫혀 있는 것은 아니다. 점 $[\mathbb{Q}]$가 닫혀 있지 않기 때문이다.

(d) $R/\approx$에서 무리수 집합의 상은 콤팩트한가?

무리수 집합의 상은 $A=\{[i]\mid i\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\}$이다.

결론: $A$는 콤팩트하지 않다.

증명: $A$가 콤팩트하지 않음을 보이기 위해, $A$ 안에서 수렴하는 부분 수열을 갖지 않는 수열을 찾거나, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 열린 덮개를 구성하면 된다. 여기서는 $A$가 무한한 닫힌 이산 부분집합을 포함함을 보여 콤팩트가 아님을 증명한다.

1. $A$의 부분집합 $S=\{[\sqrt{2}+n]\mid n\in \mathbb{N}\}$을 생각하자. $S$는 $A$의 무한 부분집합이다.

2. $S$가 $A$에서 극한점을 갖지 않음을 보이자. 임의의 점 $[y]\in A$ ($y$는 무리수)를 택하자. $[y]$가 $S$의 극한점이 아님을 보이면 된다. 즉, $[y]$를 포함하면서 $S$의 다른 점을 포함하지 않는 $[y]$의 열린 근방이 존재함을 보이면 된다.

3. 집합 $C=\{\sqrt{2}+n\mid n\in \mathbb{N}\}\setminus \{y\}$를 생각하자. $C$는 $\mathbb{R}$에서 닫힌집합이다 (모든 점이 고립점이다). 따라서 $V=R\setminus C$는 $\mathbb{R}$에서 열린집합이다.

4. $V$는 모든 유리수를 포함한다 (모든 $\sqrt{2}+n$은 무리수이므로). 또한 $y\in V$이다.

5. (b)의 열린집합 정의에 따라, $U=p(V)$는 $R/\approx$에서 열린집합이다. $U$는 $[y]$를 포함한다.

6. $U$와 $S$의 교집합을 확인하자. $S$의 원소 $[\sqrt{2}+n]$ ($[\sqrt{2}+n]\ne [y]$)가 $U$에 속하려면, $\sqrt{2}+n$이 $V$에 속해야 한다. 하지만 $V$의 정의에 의해 $\sqrt{2}+n\notin V$이다. 따라서 $U\cap S=\{[y]\}$ (만약 $y\in \{\sqrt{2}+n\}$인 경우) 또는 $U\cap S=\varnothing$ (그렇지 않은 경우)이다. 어느 경우든 $U$는 $[y]$ 이외의 $S$의 점을 포함하지 않는다.

7. 이는 $S$의 어떤 점도 $A$에서 극한점이 아니라는 것을 의미한다. 따라서 $S$는 $A$의 (상대위상에서) 닫힌 이산 부분집합이다.

8. 무한한 닫힌 이산 부분집합을 갖는 공간은 콤팩트일 수 없다. 따라서 $A$는 콤팩트하지 않다.

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문제 번역 및 해설

제공된 미분기하학 문제에 대한 번역, 주요 개념 설명, 그리고 모범 답안을 제시한다.

문제 번역

13. (15점) 정칙 평면 곡선(regular plane curve) $c:I\to {\mathbb{R}}^2$를 고려하자.

(a) 곡선 $c$에 대한 법선벡터(normal) $n$의 공식을 제시하고, 부호가 있는 곡률(signed curvature)을 정의하라.

(b) 총 각도 변화(total angle change)와 부호가 있는 곡률 사이의 관계를 설명하라.

(c) 이 문제의 나머지 부분에서는, $c$가 호장(arc-length)으로 매개화된 닫힌 평면 곡선(closed plane curve)이고 ($단순할필요는없음$), $I=[0,\ell ]$이라고 가정하자. $\dot{c}(t)=-\dot{c}(t^{\prime })$을 만족하는 $t$와 $t^{\prime }$가 존재하는가? 항상 $t=0$으로 선택할 수 있는가? 각각의 주장을 증명하거나 반증하라.

(d) $k(s)$가 부호가 있는 곡률일 때, ${\int }_0^{\ell }|k(s)|ds\ge 2\pi$임을 보여라.

주요 개념

이 문제를 해결하기 위해 다음의 미분기하학 개념들이 필요하다.

• 정칙 곡선 (Regular Curve) : 곡선 $c(t)$의 속도 벡터 $\dot{c}(t)$가 모든 점에서 $0$이 아닌 곡선이다. 즉, $||\dot{c}(t)||\ne 0$이다. 이는 곡선이 모든 점에서 접선(tangent)을 가지며, 멈추거나 뾰족한 점이 없음을 의미한다.
• 호장 매개변수화 (Arc-length Parametrization) : 곡선을 속력, 즉 $||\dot{c}(s)||$가 항상 $1$이 되도록 매개변수화하는 것이다. 변수 $s$는 곡선의 시작점부터의 거리를 나타낸다. 호장 매개변수화된 곡선의 접선 벡터 $T(s)=\dot{c}(s)$는 단위 벡터이다.
• 단위 접선 벡터 (Unit Tangent Vector) $T$ : 곡선의 각 점에서의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이다. $T(s)=\dot{c}(s)$이다 (호장 매개변수화된 경우).
• 단위 법선 벡터 (Unit Normal Vector) $n$ : 평면 곡선에서, 단위 접선 벡터 $T$를 시계 반대 방향으로 $90^{\circ }$($\pi /2$ 라디안) 회전시켜 얻는 단위 벡터이다.
• 부호 있는 곡률 (Signed Curvature) $k(s)$ : 곡선이 얼마나, 그리고 어느 방향으로 휘는지를 나타내는 스칼라 값이다. 접선 벡터의 변화율을 측정하며, 프레네-세레 공식(Frenet-Serret formulas) $\dot{T}(s)=k(s)n(s)$으로 정의된다. 부호는 곡선이 법선 벡터 방향(반시계 방향)으로 휘면 양수(+), 그 반대면 음수(-)가 된다.
• 회전 지수 정리 (Hopf’s Umlaufsatz / Rotation Index Theorem) : 임의의 정칙 닫힌 평면 곡선에 대해, 접선 벡터가 한 바퀴 도는 동안 회전하는 총 각도(즉, 총 곡률)는 항상 $2\pi$의 정수배라는 정리이다. 즉, ${\int }_0^{\ell }k(s)ds=2\pi I$이며, 여기서 $I$는 정수인 회전 지수(rotation index)이다.

모범 답안

(a) 법선 벡터 공식과 부호 있는 곡률의 정의

곡선 $c$가 호장 $s$로 매개변수화되었다고 가정하자.

1. 단위 접선 벡터 $T(s)$ : $T(s)=\dot{c}(s)$로 정의된다. 호장 매개변수화에 의해 $||T(s)||=1$이다. $T(s)=(x(s),y(s))$라고 하면, $x(s{)}^2+y(s{)}^2=1$이다.

2. 단위 법선 벡터 $n(s)$ : 평면에서 단위 법선 벡터 $n(s)$는 $T(s)$를 시계 반대 방향으로 $90^{\circ }$ 회전시켜 얻는다. 따라서 공식은 다음과 같다.

$$n(s)=(-y(s),x(s))$$

여기서 $T(s)=(x(s),y(s))$이다.

3. 부호 있는 곡률 $k(s)$ : 부호 있는 곡률 $k(s)$는 단위 접선 벡터가 호장에 따라 얼마나 빨리 회전하는지를 측정한다. 이는 프레네-세레 공식의 첫 번째 방정식으로 정의된다.

$$\dot{T}(s)=k(s)n(s)$$

$\dot{T}(s)$는 $T(s)$와 수직이므로 $n(s)$의 스칼라배가 되며, 그 스칼라 값이 바로 $k(s)$이다. 따라서 $k(s)$는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$k(s)=⟨\dot{T}(s),n(s)⟩=⟨\ddot{c}(s),n(s)⟩$$

(b) 총 각도 변화와 부호 있는 곡률의 관계

단위 접선 벡터 $T(s)$는 크기가 1이므로, 양의 x축과 이루는 각도 $\theta (s)$를 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$T(s)=(\cos \theta (s),\sin \theta (s))$$

이 식을 호장 $s$에 대해 미분하면 다음과 같다.

$$\dot{T}(s)=(-\sin \theta (s)\cdot \dot{\theta }(s),\cos \theta (s)\cdot \dot{\theta }(s))=\dot{\theta }(s)(-\sin \theta (s),\cos \theta (s))$$

(a)에서 정의한 법선 벡터 $n(s)=(-\sin \theta (s),\cos \theta (s))$와 비교하면,

$$\dot{T}(s)=\dot{\theta }(s)n(s)$$

(a)의 프레네 공식 $\dot{T}(s)=k(s)n(s)$과 위 식을 비교하면,

$$k(s)=\dot{\theta }(s)$$

임을 알 수 있다. 즉, 부호 있는 곡률은 접선 벡터의 각도 변화율과 같다.

양변을 구간 $[0,\ell ]$에 대해 적분하면, 총 각도 변화 와 총 곡률 사이의 관계를 얻는다.

$${\int }_0^{\ell }k(s)ds={\int }_0^{\ell }\dot{\theta }(s)ds=\theta (\ell )-\theta (0)$$

따라서, 곡선을 따라 부호 있는 곡률을 적분한 값은 곡선의 시작점과 끝점 사이의 접선 벡터의 총 각도 변화량과 같다.

(c) 반대 방향 접선 벡터의 존재

첫 번째 주장: $\dot{c}(t)=-\dot{c}(t^{\prime })$을 만족하는 $t,t^{\prime }$가 항상 존재하는가?

답: 그렇다 (참이다).

증명: $T(s)=\dot{c}(s)$를 단위 접선 벡터라 하자. $T$는 닫힌 구간 $[0,\ell ]$에서 단위 원 $S^1$으로 가는 연속 함수이다. 주장은 $T(t)=-T(t^{\prime })$를 만족하는 $t,t^{\prime }$가 존재하는지, 즉 $T$의 치역(image)에 어떤 벡터 $v$가 있다면, $-v$도 항상 치역에 포함되는지를 묻는 것이다.

귀류법을 사용하여, $T$의 치역이 어떤 열린 반원(open semicircle)에 포함된다고 가정하자. 즉, 모든 $s\in [0,\ell ]$에 대해 $T(s)\cdot w>0$을 만족하는 특정 단위 벡터 $w$가 존재한다고 가정하자.

이 부등식을 $s$에 대해 $0$부터 $\ell$까지 적분하면 다음과 같다.

$${\int }_0^{\ell }(\dot{c}(s)\cdot w)ds>0$$

그런데 적분의 좌변은 다음과 같이 계산된다.

$${\int }_0^{\ell }\frac{d}{ds}(c(s)\cdot w)ds=[c(s)\cdot w{]}_0^{\ell }=c(\ell )\cdot w-c(0)\cdot w$$

곡선 $c$는 닫힌 곡선이므로 $c(\ell )=c(0)$이다. 따라서,

$$c(\ell )\cdot w-c(0)\cdot w=0$$

이는 ${\int }_0^{\ell }(\dot{c}(s)\cdot w)ds>0$이라는 결과와 모순된다.

따라서, 접선 벡터들의 집합은 어떤 열린 반원에도 포함될 수 없다. 이는 $T$의 치역이 적어도 하나의 반대 방향 벡터 쌍(antipodal pair) $\{v,-v\}$을 포함해야 함을 의미한다. 즉, $T(t)=v$이고 $T(t^{\prime })=-v$인 $t,t^{\prime }$가 반드시 존재한다.

두 번째 주장: 항상 $t=0$으로 선택할 수 있는가? (즉, $\dot{c}(t^{\prime })=-\dot{c}(0)$인 $t^{\prime }$가 항상 존재하는가?)

답: 그렇다 (참이다).

증명: $T(0)=\dot{c}(0)$을 초기 접선 벡터라고 하자. 우리는 $T(t^{\prime })=-T(0)$인 $t^{\prime }$가 존재하는지 증명해야 한다.

귀류법을 사용하여, $-T(0)$이 $T$의 치역에 포함되지 않는다고 가정하자. $T$의 치역 $C=\{T(s)|s\in [0,\ell ]\}$는 컴팩트(compact) 집합이므로 $S^1$의 닫힌 부분집합이다. 따라서 $-T(0)$이 $C$에 없다면, $-T(0)$을 포함하는 $S^1$ 상의 열린 호(open arc)가 존재하여 $C$와 만나지 않는다.

이는 $C$ 전체가 $-T(0)$을 포함하지 않는 닫힌 호, 즉 열린 반원에 포함될 수 있음을 의미한다. 그러나 위 첫 번째 주장 증명에서 보았듯이, 이는 $c$가 닫힌 곡선이라는 사실에 모순된다.

따라서, 초기 가정 “$-T(0)$이 $T$의 치역에 포함되지 않는다”는 거짓이다. 결론적으로, $-T(0)$은 반드시 치역에 포함되며, $\dot{c}(t^{\prime })=-\dot{c}(0)$을 만족하는 $t^{\prime }$는 항상 존재한다.

(d) 총 절대 곡률의 하한

주장: ${\int }_0^{\ell }|k(s)|ds\ge 2\pi$임을 보여라.

증명: (b)의 결과와 회전 지수 정리(Hopf’s Umlaufsatz)에 따르면, 닫힌 평면 곡선의 총 곡률은 $2\pi$의 정수배이다.

$${\int }_0^{\ell }k(s)ds=2\pi I$$

여기서 $I$는 정수인 회전 지수(rotation index)이다.

(c)의 증명에서, 정칙 닫힌 곡선의 접선 벡터의 치역은 열린 반원에 포함될 수 없음을 보였다. 만약 회전 지수 $I=0$이라면, 접선 벡터의 총 각도 변화가 $0$이라는 의미이다. 이는 접선 벡터가 만드는 $S^1$ 위의 경로가 $S^1$의 한 점으로 연속적으로 변형될 수 있음(null-homotopic)을 뜻하며, 이는 경로가 열린 반원에 포함될 수 있다는 것을 의미한다. 이는 모순이므로, 정칙 닫힌 곡선에 대해 $I\ne 0$이어야 한다.

$I$는 $0$이 아닌 정수이므로, $|I|\ge 1$이다.

적분의 성질에 의해, $|\int f|\le \int |f|$ 이므로 다음이 성립한다.

$${\int }_0^{\ell }|k(s)|ds\ge \left|{\int }_0^{\ell }k(s)ds\right|$$

위의 두 결과를 결합하면 다음과 같다.

$${\int }_0^{\ell }|k(s)|ds\ge |2\pi I|=2\pi |I|$$

$|I|\ge 1$이므로,

$${\int }_0^{\ell }|k(s)|ds\ge 2\pi$$

증명이 완료되었다. 이는 평면 곡선에 대한 펜첼의 정리(Fenchel’s theorem)의 한 형태이다.

다음은 주어진 미분기하학 문제에 대한 번역, 핵심 개념 설명 및 모범 답안입니다.

문제 번역

14. (10점) $0<\delta <1$를 고정하고, 다음 속성을 만족하는 매끄러운 함수(smooth function) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$를 생각하자.

• 모든 $x$에 대해 $f(x)=f(-x)$이고 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$이다.
• $x\in [0,1-\delta ]$인 $x$에 대해 $f(x)=1$이다.
• $f(1)=1+\delta$이다.

이러한 함수가 존재함을 보일 필요는 없다. 다음 집합을 고려하자.

$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|f(x)+f(y)+f(z)=3+\delta \}$$

(a) $S$는 콤팩트(compact)하고 정칙인 곡면(regular surface)인가? 증명하거나 반증하라.

(b) $K$를 $S$의 가우스 곡률(Gaussian curvature)이라 하고, $S$의 부분집합 $C$를 다음과 같이 정의하자.

$$C=\{(x,y,z)\in S|x\ge (1-\delta ),y\ge (1-\delta ),z\ge (1-\delta )\}$$

적분 ${\int }_{C}KdS$의 값을 계산하라.

핵심 개념

이 문제를 해결하기 위해 다음 개념들을 이해해야 합니다.

• 정칙 곡면 (Regular Surface) : 곡면 위의 모든 점에서 접평면이 유일하게 잘 정의되는 매끄러운 곡면입니다. 판정 방법 중 하나는 정칙값 정리(Regular Value Theorem) 를 사용하는 것입니다. 함수 $F(x,y,z)$에 대해, $F(x,y,z)=c$로 정의된 레벨 집합은 그라디언트 $\nabla F$가 집합 위의 모든 점에서 $0$이 아닐 때 정칙 곡면이 됩니다.
• 콤팩트 집합 (Compact Set) : ${\mathbb{R}}^n$ 공간에서 집합이 닫혀 있고(closed) 유계(bounded) 이면 콤팩트라고 합니다 (하이네-보렐 정리). 닫혀 있다는 것은 집합의 모든 경계점을 포함한다는 의미이고, 유계라는 것은 유한한 크기의 상자 안에 집합을 가둘 수 있다는 의미입니다.
• 가우스 곡률 (Gaussian Curvature) : 곡면 위의 한 점에서 곡면이 얼마나 휘었는지를 측정하는 값입니다. 예를 들어, 평면은 $K=0$, 구는 양의 상수 $K>0$, 말 안장 모양의 쌍곡면은 $K<0$입니다.
• 가우스-보네 정리 (Gauss-Bonnet Theorem) : 곡면의 기하학(곡률)과 위상(오일러 지표)을 연결하는 매우 중요한 정리입니다. 닫힌 곡면 $S$에 대해 이 정리는 다음과 같이 표현됩니다.

$${\int }_{S}KdS=2\pi \chi (S)$$

여기서 ${\int }_{S}KdS$는 가우스 곡률을 곡면 전체에 대해 적분한 총 곡률이고, $\chi (S)$는 곡면의 오일러 지표(Euler characteristic) 로, 위상적 불변량입니다. 예를 들어, 구의 오일러 지표는 2입니다.

모범 답안

(a) S는 콤팩트하고 정칙인 곡면인가?

결론: 예, S는 콤팩트하고 정칙인 곡면입니다.

**1. 정칙 곡면 증명

$F(x,y,z)=f(x)+f(y)+f(z)$라고 정의하면, $S$는 레벨 집합 $F(x,y,z)=3+\delta$입니다. 정칙값 정리에 따라, $S$ 위의 모든 점에서 그라디언트 $\nabla F$가 $0$이 아님을 보이면 $S$는 정칙 곡면입니다.

$$\nabla F(x,y,z)=(f^{\prime }(x),f^{\prime }(y),f^{\prime }(z))$$

$\nabla F=(0,0,0)$이 되려면 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(y)=f^{\prime }(z)=0$이어야 합니다.

주어진 함수 $f$의 속성을 분석해 봅시다.

• $f(x)=1$이 $x\in [0,1-\delta ]$에서 성립하므로, 이 구간의 내부 $(0,1-\delta )$에서 $f^{\prime }(x)=0$입니다.
• $f$는 우함수($f(x)=f(-x)$)이므로, $x\in [-(1-\delta ),1-\delta ]$ 전체에서 $f^{\prime }(x)=0$입니다.
• $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$이므로 $f^{\prime }(x)$는 증가하거나 상수 함수입니다. $|x|>1-\delta$ 이고 $f(1)=1+\delta >f(1-\delta )=1$이므로, $f$는 이 구간에서 단조 증가/감소해야 합니다. 따라서 $|x|>1-\delta$이면 $f^{\prime }(x)\ne 0$입니다.

결론적으로 $f^{\prime }(x)=0$인 필요충분조건은 $x\in [-(1-\delta ),1-\delta ]$입니다. 따라서 $\nabla F=(0,0,0)$이려면 $x,y,z$ 모두가 구간 $[-(1-\delta ),1-\delta ]$에 속해야 합니다. 이 경우, $f(x)=f(y)=f(z)=1$이므로,

$$F(x,y,z)=1+1+1=3$$

하지만 곡면 $S$는 $F(x,y,z)=3+\delta$로 정의되어 있습니다. $3\ne 3+\delta$이므로, 그라디언트가 $0$이 되는 점은 곡면 $S$ 위에 존재하지 않습니다. 따라서 $S$는 정칙 곡면 입니다.

**2. 콤팩트 증명

• 닫힌 집합 (Closed) : $f$는 매끄러운 함수이므로 연속입니다. 따라서 $F(x,y,z)$도 연속 함수입니다. $S$는 연속 함수 $F$에 대한 닫힌 집합 $\{3+\delta \}$의 원상(preimage)이므로 닫힌 집합 입니다.

• 유계 집합 (Bounded) : $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$이고 $f$가 우함수이므로, $f(x)$는 $x=0$에서 최솟값을 가집니다. $f(x)=1$ for $x\in [-(1-\delta ),1-\delta ]$이므로, $f$의 최솟값은 1입니다. 즉, 모든 $x$에 대해 $f(x)\ge 1$입니다. 점 $(x,y,z)$가 $S$ 위에 있다면, $f(x)+f(y)+f(z)=3+\delta$를 만족합니다. 만약 $|x|>1$이라면, $f$의 볼록성($f^{\prime \prime }(x)\ge 0$)과 $f(1)=1+\delta$ 조건에 의해 $f(x)>f(1)=1+\delta$가 됩니다. 이 경우,

$$f(x)+f(y)+f(z)>(1+\delta )+1+1=3+\delta$$

가 되어 $S$의 정의에 모순됩니다. 따라서 $S$ 위의 모든 점 $(x,y,z)$는 $|x|\le 1,|y|\le 1,|z|\le 1$을 만족해야 합니다. 이는 $S$가 한 변의 길이가 2인 정육면체 내부에 포함됨을 의미하므로, $S$는 유계 집합 입니다.

$S$는 닫혀 있고 유계이므로 콤팩트 합니다.

(b) ${\int }_{C}KdS$ 계산

이 적분은 가우스-보네 정리 와 대칭성 을 이용하여 해결할 수 있습니다.

**1. 전체 곡면 $S$의 위상 분석 곡면 $S$는 원점 $(0,0,0)$을 둘러싸는 닫힌 곡면입니다 (∵ $F(0,0,0)=3<3+\delta$). 콤팩트하고 경계가 없는 정칙 곡면이므로, 위상적으로 구(sphere, $S^2$) 와 같습니다. 따라서 $S$의 오일러 지표는 $\chi (S)=2$입니다. 전역 가우스-보네 정리에 따르면, $S$의 총 곡률은 다음과 같습니다.

$${\int }_{S}KdS=2\pi \chi (S)=2\pi (2)=4\pi$$

**2. 곡률 분포와 대칭성 $S$ 위에서 가우스 곡률 $K$가 $0$이 아닌 영역을 찾아봅시다. 만약 한 좌표, 예를 들어 $|x|<1-\delta$인 영역을 생각해보면, 이 영역에서 $f(x)=1$입니다. 따라서 곡면의 방정식은 $1+f(y)+f(z)=3+\delta$, 즉 $f(y)+f(z)=2+\delta$가 됩니다. 이 방정식은 $x$에 무관하므로, 이 영역에서 곡면 $S$는 $x$축에 평행한 직선들로 만들어지는 기둥(cylinder) 형태를 가집니다. 기둥의 가우스 곡률은 항상 $0$입니다. 따라서, 가우스 곡률 $K$는 $|x|\ge 1-\delta$이고 $|y|\ge 1-\delta$이고 $|z|\ge 1-\delta$인 영역에서만 $0$이 아닐 수 있습니다. 이 영역들은 곡면 $S$의 8개 “모서리”에 해당합니다.

문제에서 정의된 집합 $C$는 $x,y,z\ge 1-\delta$를 만족하는 첫 번째 팔분 공간(octant)의 모서리 영역입니다.

$$C=\{(x,y,z)\in S|x\ge 1-\delta ,y\ge 1-\delta ,z\ge 1-\delta \}$$

함수 $f$가 우함수이므로, 곡면 $S$는 각 좌표 평면($xy,yz,zx$-평면)에 대해 대칭입니다. 이 대칭성 때문에 8개의 모든 모서리 영역은 기하학적으로 동일하며, 각 모서리 영역에서의 곡률 적분 값은 모두 같습니다.

**3. 적분 계산 총 곡률은 8개의 모서리 영역에서의 곡률 적분의 합과 같습니다.

$${\int }_{S}KdS=\sum _{\text{8 corners}}{\int }_{\text{corner}}KdS=8{\int }_{C}KdS$$

우리는 ${\int }_{S}KdS=4\pi$임을 알고 있으므로,

$$8{\int }_{C}KdS=4\pi$$

따라서, 우리가 구하고자 하는 적분 값은 다음과 같습니다.

$${\int }_{C}KdS=\frac{4\pi }{8}=\frac{\pi }{2}$$