2024 fall

11. Let $(X,d)$ be a metric space.

(a) Show that $d:X\times X\to \mathbb{R}$ is continuous (for the metric topology of $X$).

(b) Suppose that $X^{\prime }$ is a topological space having the same underlying set as $X$ such that $d:X^{\prime }\times X^{\prime }\to \mathbb{R}$ is continuous. Show that the topology of $X^{\prime }$ is finer than the metric topology of $X$.

Theorem

거리 함수의 연속성 (Continuity of a Metric Function)

함수의 연속성은 여러 방법으로 정의될 수 있다. 거리 공간 $(X,d)$의 곱공간 $X\times X$에서 실수 $\mathbb{R}$로 가는 함수 $d$의 연속성을 보이기 위해, 점 $(x,y)\in X\times X$와 임의의 $ϵ>0$에 대해, $(x^{\prime },y^{\prime })$이 $(x,y)$에 충분히 가까우면 $|d(x^{\prime },y^{\prime })-d(x,y)|<ϵ$ 임을 보이면 된다. 이때 역삼각 부등식 $|d(a,c)-d(b,c)|\le d(a,b)$ 와 $d(a,c)\le d(a,b)+d(b,c)$ 를 활용하면 유용하다.

위상의 비교 (Comparison of Topologies)

집합 $X$에 정의된 두 위상 ${\mathcal{T}}_1,{\mathcal{T}}_2$가 있을 때, 만약 ${\mathcal{T}}_1\subset {\mathcal{T}}_2$ 이면, 즉 ${\mathcal{T}}_1$의 모든 열린 집합이 ${\mathcal{T}}_2$에서도 열린 집합이면, 위상 ${\mathcal{T}}_2$가 ${\mathcal{T}}_1$보다 더 섬세하다(finer) 고 말한다. 이를 증명하기 위해서는 ${\mathcal{T}}_1$의 기저(basis)를 이루는 열린 집합들이 모두 ${\mathcal{T}}_2$에 속함을 보이면 충분하다.

Answer

(a) $d:X\times X\to \mathbb{R}$가 연속임을 보이기 위해, 임의의 점 $(x,y)\in X\times X$와 임의의 $ϵ>0$에 대해 적절한 $\delta >0$를 찾아, $d(x,x^{\prime })<\delta$이고 $d(y,y^{\prime })<\delta$인 모든 $(x^{\prime },y^{\prime })\in X\times X$에 대해 $|d(x,y)-d(x^{\prime },y^{\prime })|<ϵ$ 이 성립함을 보이겠다.

삼각 부등식에 의해 다음 두 부등식이 성립한다.

1. $d(x,y)\le d(x,x^{\prime })+d(x^{\prime },y^{\prime })+d(y^{\prime },y)$ $⟹d(x,y)-d(x^{\prime },y^{\prime })\le d(x,x^{\prime })+d(y,y^{\prime })$
2. $d(x^{\prime },y^{\prime })\le d(x^{\prime },x)+d(x,y)+d(y,y^{\prime })$ $⟹d(x^{\prime },y^{\prime })-d(x,y)\le d(x,x^{\prime })+d(y,y^{\prime })$

이 두 부등식을 결합하면 역삼각 부등식을 얻는다.

$$|d(x,y)-d(x^{\prime },y^{\prime })|\le d(x,x^{\prime })+d(y,y^{\prime })$$

이제 $\delta =ϵ/2$ 로 설정하자. 곱위상에서 $(x,y)$의 근방 $B(x,\delta )\times B(y,\delta )$에 속하는 임의의 점 $(x^{\prime },y^{\prime })$을 생각하면, $d(x,x^{\prime })<\delta$ 이고 $d(y,y^{\prime })<\delta$ 이다. 따라서,

$$|d(x,y)-d(x^{\prime },y^{\prime })|\le d(x,x^{\prime })+d(y,y^{\prime })<\delta +\delta =2\delta =ϵ$$

이는 $d$가 연속 함수임을 의미한다.

(b) $X^{\prime }$의 위상을 ${\mathcal{T}}^{\prime }$라 하고, 거리 함수 $d$로부터 유도된 $X$의 위상을 ${\mathcal{T}}_d$라 하자. ${\mathcal{T}}^{\prime }$가 ${\mathcal{T}}_d$보다 더 섬세하다는 것, 즉 ${\mathcal{T}}_d\subset {\mathcal{T}}^{\prime }$ 임을 보여야 한다. 이를 위해 ${\mathcal{T}}_d$의 임의의 열린 집합이 ${\mathcal{T}}^{\prime }$에서도 열린 집합임을 보이면 된다.

${\mathcal{T}}_d$의 기저(basis)는 열린 공(open ball) $B(p,r)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\}$ 들로 이루어져 있으므로, 임의의 열린 공 $B(p,r)$이 ${\mathcal{T}}^{\prime }$에 속함을 보이는 것으로 충분하다.

점 $p\in X$를 고정하고, 함수 $f_p:X^{\prime }\to \mathbb{R}$를 $f_p(x)=d(p,x)$로 정의하자. $f_p$는 다음 두 연속 함수의 합성으로 볼 수 있다.

1. $i_p:X^{\prime }\to X^{\prime }\times X^{\prime }$ 이고, $i_p(x)=(p,x)$ 로 정의된 함수. 이 함수는 연속이다.
2. $d:X^{\prime }\times X^{\prime }\to \mathbb{R}$ 함수. 이는 문제의 가정에 의해 연속이다.

따라서 $f_p=d\circ i_p$ 는 연속 함수들의 합성이므로 연속이다. 열린 공 $B(p,r)$은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$B(p,r)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\}=\{x\in X^{\prime }\mid f_p(x)<r\}=f_p^{-1}((-\infty ,r))$$

여기서 $(-\infty ,r)$은 $\mathbb{R}$의 열린 집합이다. $f_p$가 연속이므로, 열린 집합의 역상(preimage)인 $B(p,r)$은 $X^{\prime }$의 위상 ${\mathcal{T}}^{\prime }$에서 열린 집합이다.

${\mathcal{T}}_d$의 기저를 이루는 모든 열린 공이 ${\mathcal{T}}^{\prime }$의 원소이므로, ${\mathcal{T}}_d$의 모든 열린 집합 또한 ${\mathcal{T}}^{\prime }$의 열린 집합이다. 따라서, ${\mathcal{T}}_d\subset {\mathcal{T}}^{\prime }$이고, $X^{\prime }$의 위상이 $X$의 거리 위상보다 더 섬세하다.

12. Let $p:X\to Y$ be a quotient map. Equip $Y$ with the quotient topology. Show that if $Y$ is connected and $p^{-1}(\{y\})$ is connected for each $y\in Y$, then $X$ is connected.

Theorem

연결 공간 (Connected Space) 위상 공간이 연결 공간 이라는 것은 공집합이 아니면서 자신 전체도 아닌 부분집합 중에서 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합인 것(clopen set)이 존재하지 않는다는 의미이다.

몫 사상과 몫 위상 (Quotient Map and Quotient Topology) 전사 함수 $p:X\to Y$가 주어졌을 때, $Y$의 부분집합 $U$가 열린 집합인 것을 $p^{-1}(U)$가 $X$에서 열린 집합인 것과 동치로 정의하여 $Y$에 위상을 줄 수 있다. 이를 몫 위상 이라 하고, $p$를 몫 사상 이라 한다. 몫 위상에서는 $V\subset Y$가 닫힌 집합인 것과 $p^{-1}(V)$가 $X$에서 닫힌 집합인 것이 동치이다.

Answer

$X$가 연결 공간임을 보이기 위해, 귀류법을 사용하여 $X$가 연결 공간이 아니라고 가정하자. 그러면 $X$는 공집합이 아닌 진부분집합 $A$를 가지며, 이 $A$는 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이다. ($A$는 clopen set)

1. $Y$의 각 점 $y\in Y$에 대해, 그 역상(fiber) $p^{-1}(\{y\})$를 생각하자. 가정에 의해 $p^{-1}(\{y\})$는 연결 공간이다.
2. $A$가 $X$의 clopen 부분집합이므로, $A\cap p^{-1}(\{y\})$는 $p^{-1}(\{y\})$의 위상에서 clopen 부분집합이다.
3. $p^{-1}(\{y\})$는 연결 공간이므로, 이 공간의 clopen 부분집합은 공집합이거나 $p^{-1}(\{y\})$ 전체뿐이다.
4. 따라서, 각 $y\in Y$에 대해 다음 둘 중 하나가 반드시 성립한다.

• $A\cap p^{-1}(\{y\})=\varnothing$
• $A\cap p^{-1}(\{y\})=p^{-1}(\{y\})$ (즉, $p^{-1}(\{y\})\subset A$)

5. 이는 집합 $A$가 역상들의 합집합(union of fibers)으로 표현됨을 의미한다. 즉, $A=p^{-1}(p(A))$이다.

6. 이제 $p(A)$가 $Y$에서 어떤 성질을 갖는지 살펴보자.

• $p$는 몫 사상이므로, $U\subset Y$가 열린 집합일 필요충분조건은 $p^{-1}(U)$가 $X$에서 열린 집합인 것이다. 가정에서 $A$는 $X$에서 열린 집합이고 $A=p^{-1}(p(A))$이므로, 정의에 따라 $p(A)$는 $Y$에서 열린 집합이다.
• 마찬가지로, $V\subset Y$가 닫힌 집합일 필요충분조건은 $p^{-1}(V)$가 $X$에서 닫힌 집합인 것이다. 가정에서 $A$는 $X$에서 닫힌 집합이고 $A=p^{-1}(p(A))$이므로, 정의에 따라 $p(A)$는 $Y$에서 닫힌 집합이다.

7. 따라서 $p(A)$는 $Y$에서 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합, 즉 clopen set이다.

8. 가정에 의해 $Y$는 연결 공간이다. 연결 공간의 clopen 부분집합은 공집합이거나 $Y$ 전체뿐이다.

• 만약 $p(A)=\varnothing$ 이면, $A=p^{-1}(\varnothing )=\varnothing$ 이다.
• 만약 $p(A)=Y$ 이면, $A=p^{-1}(Y)=X$ 이다.

9. 이는 $A$가 공집합이 아닌 $X$의 진부분집합이라는 최초의 가정에 모순된다.

따라서 이러한 집합 $A$는 존재할 수 없으며, $X$는 반드시 연결 공간이다.

13. Let $X,Y$ be topological spaces and $f:X\to Y$ be a map. Assume that $Y$ is compact and Hausdorff. Prove that $f$ is continuous if and only if the graph of $f$, $G_f=\{(x,f(x))\in X\times Y\mid x\in X\}$, is closed in $X\times Y$.

Theorem

그래프가 닫힌 함수 (Functions with Closed Graphs)

1. 연속 $⟹$ 닫힌 그래프 : 함수 $f:X\to Y$가 연속이고 공역(codomain) $Y$가 하우스도르프 공간이면, $f$의 그래프 $G_f$는 곱공간 $X\times Y$에서 닫힌 집합이다.
2. 닫힌 그래프 $⟹$ 연속 : $f$의 그래프 $G_f$가 닫힌 집합이고 공역 $Y$가 콤팩트 공간이면, $f$는 연속 함수이다. 이 정리는 닫힌 그래프 정리(Closed Graph Theorem) 의 한 형태이다.

콤팩트 공간과 사영 함수(Projection Map) $X$가 위상 공간이고 $K$가 콤팩트 공간일 때, 사영 함수 ${\pi }_X:X\times K\to X$는 닫힌 사상(closed map)이다. 즉, $X\times K$ 안의 임의의 닫힌 집합 $A$에 대해, 그 상 ${\pi }_X(A)$는 $X$에서 닫힌 집합이다.

Answer

($⟹$) $f$가 연속이면 $G_f$는 닫힌 집합이다. (이 증명에는 $Y$가 하우스도르프라는 조건이 필요하다.)

1. $G_f$가 닫힌 집합임을 보이기 위해, 여집합 $(X\times Y)\setminus G_f$가 열린 집합임을 보이겠다.
2. 임의의 점 $(x,y)\in (X\times Y)\setminus G_f$를 잡자. 이는 $y\ne f(x)$임을 의미한다.
3. $Y$는 하우스도르프 공간이므로, $f(x)$와 $y$를 분리하는 서로소인 열린 근방 $U_y,V_y\subset Y$가 존재한다. 즉, $f(x)\in U_y$, $y\in V_y$ 이고 $U_y\cap V_y=\varnothing$ 이다.
4. $f$는 연속이므로, $f(x)$의 열린 근방 $U_y$의 역상 $f^{-1}(U_y)$는 $x$를 포함하는 $X$의 열린 집합이다. 이를 $U_x$라 하자.
5. 이제 곱공간 $X\times Y$에서 $U_x\times V_y$는 $(x,y)$를 포함하는 열린 집합이다.
6. 이 집합이 $G_f$와 만나지 않음을 보이자. 임의의 점 $(x^{\prime },y^{\prime })\in U_x\times V_y$를 생각하자. $x^{\prime }\in U_x=f^{-1}(U_y)$이므로, 정의에 의해 $f(x^{\prime })\in U_y$이다. 한편, $y^{\prime }\in V_y$이다. 만약 $(x^{\prime },y^{\prime })$이 $G_f$에 속한다면 $y^{\prime }=f(x^{\prime })$이므로, $y^{\prime }$는 $U_y$와 $V_y$ 모두에 속하게 된다. 이는 $U_y$와 $V_y$가 서로소라는 사실에 모순된다.
7. 따라서 $(U_x\times V_y)\cap G_f=\varnothing$ 이다. 이는 $U_x\times V_y\subset (X\times Y)\setminus G_f$임을 의미한다.
8. 임의의 점 $(x,y)$에 대해 그 점을 포함하고 여집합에 속하는 열린 근방을 찾았으므로, $(X\times Y)\setminus G_f$는 열린 집합이고, 따라서 $G_f$는 닫힌 집합이다.

($⟸$) $G_f$가 닫힌 집합이면 $f$는 연속이다. (이 증명에는 $Y$가 콤팩트라는 조건이 필요하다.)

1. $f$가 연속임을 보이기 위해, $Y$의 임의의 닫힌 부분집합 $C$에 대해 그 역상 $f^{-1}(C)$가 $X$에서 닫힌 집합임을 보이겠다.
2. $Y$의 임의의 닫힌 집합 $C$를 잡자.
3. $f^{-1}(C)$는 다음과 같이 그래프 $G_f$와 집합 $X\times C$를 이용하여 표현할 수 있다.

$$f^{-1}(C)=\{x\in X\mid f(x)\in C\}=\{x\in X\mid \exists y\in C,(x,y)\in G_f\}$$

이는 사영 함수 ${\pi }_X:X\times Y\to X$, ${\pi }_X(x,y)=x$를 이용하여 $f^{-1}(C)={\pi }_X(G_f\cap (X\times C))$ 로 쓸 수 있다. 4. 가정에 의해 $G_f$는 $X\times Y$에서 닫힌 집합이다. $C$가 $Y$에서 닫힌 집합이므로, $X\times C$ 또한 $X\times Y$에서 닫힌 집합이다. 따라서 두 닫힌 집합의 교집합인 $G_f\cap (X\times C)$는 $X\times Y$에서 닫힌 집합이다. 5. 가정에 의해 $Y$는 콤팩트 공간이다. 사영 함수 ${\pi }_X:X\times Y\to X$는 일반적으로 닫힌 사상이 아니지만, 공역이 콤팩트 공간일 때의 사영은 닫힌 사상이다. 즉, $A\subset X\times Y$가 닫힌 집합이면 ${\pi }_X(A)$는 $X$에서 닫힌 집합이다. 6. $f^{-1}(C)={\pi }_X(G_f\cap (X\times C))$ 이고 $G_f\cap (X\times C)$는 닫힌 집합이므로, 위의 정리에 의해 $f^{-1}(C)$는 $X$에서 닫힌 집합이다. 7. $Y$의 임의의 닫힌 집합 $C$에 대해 $f^{-1}(C)$가 $X$에서 닫힌 집합이므로, $f$는 연속 함수이다.

14. Let $S\subset {\mathbb{R}}^3$ be a smooth surface and $p\in S$ a point. Let $N$ be a unit normal vector to $S$ at $p$. For $v\in T_{p}S$, let $P_v$ be the plane spanned by $N$ and $v$, passing through $p$. Prove or disprove the following.

If the curvature of $P_v\cap S$ is zero at $p$ (as a plane curve) for every $v\in T_{p}S$, then $S$ is equal to a plane in a neighborhood of p.

Theorem

법곡률과 법단면 (Normal Curvature and Normal Section)

점 $p\in S$와 접벡터 $v\in T_{p}S$에 대해, $N$과 $v$로 생성되고 $p$를 지나는 평면 $P_v$와 곡면 $S$의 교선 $P_v\cap S$를 법단면 곡선 이라 한다. 이 평면 곡선의 $p$에서의 곡률은 곡면의 법곡률 $k_n(v)$의 절댓값과 같다. 법곡률은 제2 기본 형식(second fundamental form) ${\mathrm{II}}_p$를 이용하여 $k_n(v)={\mathrm{II}}_p(v,v)$ (단, $|v|=1$)로 계산된다.

평탄점 (Planar Point)

곡면 위의 점 $p$에서 제2 기본 형식이 항등적으로 0일 때 (즉, 모든 방향의 법곡률이 0일 때), 이 점을 평탄점 이라고 한다. 이는 주곡률 $k_1,k_2$가 모두 0인 것과 동치이다.

Answer

주어진 명제는 거짓(False) 이다.

반증 (Disproof): 명제가 참이 아님을 보이는 반례를 구성할 수 있다. 곡면 $S$를 $z=f(x,y)=x^3+y^3$ 으로 정의하자. 점 $p=(0,0,0)$을 생각하자.

1. 점 $p$에서의 법곡률 계산: $p=(0,0,0)$은 $(x,y)=(0,0)$에 해당한다. 가우스 곡률과 평균 곡률을 계산하여 주곡률을 확인하자. $f_x=3x^2,f_y=3y^2$ $f_{xx}=6x,f_{yy}=6y,f_{xy}=0$ 점 $(0,0)$에서 계산하면, $f_x(0,0)=0,f_y(0,0)=0$ $f_{xx}(0,0)=0,f_{yy}(0,0)=0,f_{xy}(0,0)=0$

따라서 점 $p$에서 제2 기본 형식의 계수 $L,M,N$은 다음과 같다. ($W=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=1$) $L=\frac{f_{xx}}{W}=0,M=\frac{f_{xy}}{W}=0,N=\frac{f_{yy}}{W}=0$ 제2 기본 형식 ${\mathrm{II}}_p$는 항등적으로 0이다. 이는 임의의 접벡터 $v\in T_{p}S$에 대해 법곡률 $k_n(v)={\mathrm{II}}_p(v,v)=0$임을 의미한다. 따라서 법단면 곡선의 곡률 $|k_n(v)|$은 모든 방향 $v$에 대해 0이다. 즉, 주어진 명제의 전제조건을 만족한다.

2. 점 $p$의 근방에서 곡면의 형태: 곡면 $S:z=x^3+y^3$은 명백히 평면이 아니다. 예를 들어, $x$축을 따라서는 ($y=0$) 곡선 $z=x^3$의 형태를 가지고, 이는 직선이 아니다. 따라서 점 $p=(0,0,0)$의 어떤 작은 근방을 잡더라도 $S$는 평면과 같지 않다.

결론: 점 $p$에서 모든 법단면의 곡률이 0이라 할지라도 (즉, $p$가 평탄점이라 할지라도), 이는 그 점 근방에서 곡면이 평면임을 보장하지 않는다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다.

15. Let $S\subset {\mathbb{R}}^3$ be a smooth surface. Let $K$ be the Gauss curvature of $S$. Show that $K:S\to \mathbb{R}$ is a smooth function.

Theorem

가우스 곡률의 계산 (Computation of Gauss Curvature)

매끄러운 곡면 $S$의 한 조각이 $\mathbf{x}(u,v):U\to S$ 로 매개화되었을 때, 가우스 곡률 $K$는 제1 기본 형식의 계수 $(E,F,G)$와 제2 기본 형식의 계수 $(L,M,N)$을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$$

여기서 각 계수들은 다음과 같이 정의된다.

• $E={\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_u$, $F={\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_v$, $G={\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{x}}_v$
• $L={\mathbf{x}}_{uu}\cdot \mathbf{n}$, $M={\mathbf{x}}_{uv}\cdot \mathbf{n}$, $N={\mathbf{x}}_{vv}\cdot \mathbf{n}$
• $\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v|}$ (단위 법선 벡터)

매끄러운 함수의 성질 (Properties of Smooth Functions)

매끄러운 함수(smooth function, $C^{\infty }$ 함수)들은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(분모가 0이 아닐 때)에 대해 닫혀 있다. 또한 매끄러운 함수의 합성은 매끄러운 함수이다.

Answer

$K:S\to \mathbb{R}$가 매끄러운 함수임을 보이기 위해, 임의의 점 $p\in S$에 대해 $p$를 포함하는 좌표 근방(coordinate neighborhood)에서 $K$가 매끄러운 함수로 표현됨을 보이면 충분하다.

1. $S$는 매끄러운 곡면이므로, 임의의 점 $p\in S$에 대해 $p$의 근방을 매개화하는 매끄러운 좌표 조각(smooth chart) $\mathbf{x}:U\to S$ ($U\subset {\mathbb{R}}^2$는 열린 집합)가 존재한다.
2. $\mathbf{x}(u,v)$가 매끄럽다는 것은 $\mathbf{x}$의 각 성분 함수가 모든 차수의 편도함수를 가지며 그 편도함수들이 모두 연속임을 의미한다.
3. 제1 기본 형식의 계수 $E,F,G$는 ${\mathbf{x}}_u=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}$ 와 ${\mathbf{x}}_v=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}$ 의 내적(dot product)으로 정의된다. ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$는 $\mathbf{x}$의 1계 편도함수이므로 매끄러운 벡터 함수이다. 내적은 각 성분들의 곱과 합으로 이루어지므로, $E,F,G$는 $(u,v)$에 대한 매끄러운 함수이다.
4. 단위 법선 벡터 $\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v|}$를 생각하자.

• 벡터곱 ${\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v$는 ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$의 성분들의 곱셈과 뺄셈으로 구성되므로 매끄러운 벡터 함수이다.
• 분모 $|{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v|=\sqrt{EG-F^2}$ 이다. $E,F,G$가 매끄럽고, $S$가 곡면이므로 $EG-F^2>0$ 이다. 제곱근 함수는 양수 정의역에서 매끄러우므로, 분모 또한 매끄러운 함수이다.
• 따라서 $\mathbf{n}$은 매끄러운 벡터 함수를 0이 아닌 매끄러운 스칼라 함수로 나눈 것이므로, 역시 매끄러운 벡터 함수이다.

5. 제2 기본 형식의 계수 $L,M,N$은 $\mathbf{x}$의 2계 편도함수들(${\mathbf{x}}_{uu},{\mathbf{x}}_{uv},{\mathbf{x}}_{vv}$)과 $\mathbf{n}$의 내적으로 정의된다. $\mathbf{x}$가 매끄러우므로 2계 편도함수들도 모두 매끄럽다. 따라서 $L,M,N$은 매끄러운 함수들의 내적이므로 매끄러운 함수이다.
6. 가우스 곡률 $K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$는 매끄러운 함수들 $L,N,M,E,F,G$의 사칙연산으로 구성되어 있다. 분모 $EG-F^2$는 0이 아니므로, $K$는 매끄러운 함수들의 조합으로서 역시 매끄러운 함수이다.

이 논리는 임의의 좌표 조각에 대해 성립하므로, 가우스 곡률 $K$는 곡면 $S$ 전체에서 정의된 매끄러운 함수이다.

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**11. (10점) $(X,d)$를 거리 공간이라 하자. (a) 함수 $d:X\times X\to \mathbb{R}$가 ($X$의 거리 위상에 대해) 연속임을 보이시오. (b) $X^{\prime }$가 $X$와 동일한 집합을 갖는 위상 공간이고, 함수 $d:X^{\prime }\times X^{\prime }\to \mathbb{R}$가 연속이라고 가정하자. $X^{\prime }$의 위상이 $X$의 거리 위상보다 더 섬세한(finer) 위상임을 보이시오.

**12. (10점) $p:X\to Y$를 몫사상(quotient map)이라 하자. $Y$에는 몫위상(quotient topology)이 주어져 있다. 만약 $Y$가 연결 공간이고 모든 $y\in Y$에 대해 원상(preimage) $p^{-1}(\{y\})$가 연결 공간이면, $X$도 연결 공간임을 보이시오.

**13. (10점) $X,Y$를 위상 공간이라 하고 $f:X\to Y$를 함수라고 하자. $Y$가 콤팩트이고 하우스도르프라고 가정하자. $f$가 연속 함수인 것과 $f$의 그래프 $G_f=\{(x,f(x))\in X\times Y\mid x\in X\}$가 $X\times Y$에서 닫힌 집합인 것이 동치임을 증명하시오.

11번 문제 답안

(a) 거리 함수 $d$의 연속성 증명

$d:X\times X\to \mathbb{R}$가 연속임을 보이기 위해, 역삼각 부등식(reverse triangle inequality)을 이용한다. 임의의 $x,y,x^{\prime },y^{\prime }\in X$에 대해 다음이 성립한다.

$$d(x,y)\le d(x,x^{\prime })+d(x^{\prime },y^{\prime })+d(y^{\prime },y)$$ $$d(x,y)-d(x^{\prime },y^{\prime })\le d(x,x^{\prime })+d(y,y^{\prime })$$

마찬가지로 $x$와 $x^{\prime }$, $y$와 $y^{\prime }$의 역할을 바꾸면,

$$d(x^{\prime },y^{\prime })-d(x,y)\le d(x^{\prime },x)+d(y^{\prime },y)$$

따라서,

$$|d(x,y)-d(x^{\prime },y^{\prime })|\le d(x,x^{\prime })+d(y,y^{\prime })$$

이제 $X\times X$의 한 점 $(x,y)$와 임의의 $ϵ>0$을 생각하자. $\delta =ϵ/2$로 잡는다. 곱공간 $X\times X$의 한 점 $(x^{\prime },y^{\prime })$이 $d(x,x^{\prime })<\delta$ 이고 $d(y,y^{\prime })<\delta$를 만족하면,

$$|d(x,y)-d(x^{\prime },y^{\prime })|\le d(x,x^{\prime })+d(y,y^{\prime })<\delta +\delta =2\delta =ϵ$$

이는 $ϵ-\delta$ 정의에 의해 함수 $d$가 연속임을 의미한다.

(b) $X^{\prime }$의 위상이 더 섬세함의 증명

궁극적인 목표: $X^{\prime }$의 위상($T^{\prime }$)이 거리 위상($T_d$)보다 더 섬세하다($T_d\subseteq T^{\prime }$)는 것을 보이는 것입니다. 이는 거리 위상의 모든 열린 공(open ball) 이 $T^{\prime }$에서도 열린 집합임을 보이면 충분합니다.

증명 전략: “점 $x$가 고정된 점 $y$로부터의 거리가 $r$보다 작다”는 거리적 조건을, 연속 함수 와 열린 집합 이라는 순수 위상적인 개념으로 번역하는 것이 핵심입니다.

1단계: 목표 설정

임의의 열린 공 $B(y,r)=\{x\in X\mid d(x,y)<r\}$ 를 선택합니다. 우리는 이 집합이 $T^{\prime }$ 위상에서 열린 집합임을 보여야 합니다.

2단계: 거리 조건을 함수로 번역하기

집합 $B(y,r)$의 조건 $d(x,y)<r$ 에는 변수 $x$와 고정된 상수 $y$가 있습니다. 이 구조를 이용하여, 변수 $x$ 하나만을 입력으로 받는 함수를 정의할 수 있습니다.

• 함수 $d_y:X^{\prime }\to \mathbb{R}$ 를 다음과 같이 정의합시다.

$$d_y(x)=d(x,y)$$

이 함수는 점 $x$를 입력받아, 고정된 점 $y$까지의 거리를 출력합니다.

• 이제 열린 공 $B(y,r)$는 이 새로운 함수 $d_y$를 이용해 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$B(y,r)=\{x\in X^{\prime }\mid d_y(x)<r\}$$

이는 $\mathbb{R}$의 열린 구간 $(-\infty ,r)$의 원상(preimage) 과 정확히 같습니다.

$$B(y,r)=d_y^{-1}((-\infty ,r))$$

3단계: 번역된 함수가 연속임을 증명

이제 우리의 목표는 매우 명확해졌습니다. 만약 함수 $d_y$가 연속임을 보일 수만 있다면 , 열린 집합 $(-\infty ,r)$의 원상인 $B(y,r)$은 위상의 정의에 따라 자동으로 $T^{\prime }$의 열린 집합이 됩니다.

함수 $d_y$가 왜 연속일까요? 이는 $d_y$가 두 개의 연속 함수의 합성으로 이루어져 있기 때문입니다.

• 함수 1 ($i_y$): 한 점을 점의 쌍으로 만드는 함수입니다.

$$i_y:X^{\prime }\to X^{\prime }\times X^{\prime }\text{정의:}{i}_y(x)=(x,y)$$

이 함수는 연속입니다. 곱공간으로 가는 함수가 연속일 조건은 각 좌표 함수가 연속인 것인데, 첫 번째 좌표 함수는 항등 함수($x\mapsto x$)이고 두 번째 좌표 함수는 상수 함수($x\mapsto y$)이므로 둘 다 연속입니다.

• 함수 2 ($d$): 문제의 가정에서 연속이라고 주어진 거리 함수입니다.

$$d:X^{\prime }\times X^{\prime }\to \mathbb{R}$$

• 합성: 우리가 만든 함수 $d_y$는 정확히 이 두 함수의 합성입니다. $x$를 $i_y$에 넣어 $(x,y)$를 만들고, 그 결과를 다시 $d$에 넣으면 $d(x,y)$가 나옵니다.

$$d_y=d\circ i_y$$

연속 함수의 합성은 항상 연속 이므로, $d_y$는 연속 함수입니다.

4단계: 최종 결론

1. 우리는 임의의 열린 공 $B(y,r)$이 연속 함수 $d_y$에 의한 열린 구간 $(-\infty ,r)$의 원상임을 보였습니다. ($B(y,r)=d_y^{-1}((-\infty ,r))$)
2. $d_y$는 연속 함수이므로, 열린 집합의 원상인 $B(y,r)$은 $T^{\prime }$ 위상에서 반드시 열린 집합이어야 합니다.
3. 거리 위상의 모든 기저 원소(열린 공)가 $T^{\prime }$에서도 열린 집합이므로, $T^{\prime }$는 거리 위상보다 더 섬세합니다 ($T_d\subseteq T^{\prime }$).

이처럼 증명은 주어진 2변수 연속 함수 $d$를 이용하여, 우리가 원하는 형태의 1변수 연속 함수 $d_y$를 “조립”해내는 과정이라고 이해하시면 좋습니다.

12번 문제 답안

1. 결론을 부정하여, $X$가 연결이 아니라고 가정 하자.
2. 그러면 $X$는 공집합이 아닌 서로소인 두 열린 집합 $U,V$의 합집합으로 표현된다. ($X=U\cup V$, $U\cap V=\varnothing$, $U\ne \varnothing ,V\ne \varnothing$)
3. $Y$의 임의의 점 $y$에 대해, 그 원상(이를 섬유(fiber)라 칭함) $F_y=p^{-1}(\{y\})$를 생각하자.
4. $F_y\subseteq X$이므로, $F_y=(F_y\cap U)\cup (F_y\cap V)$ 이다. $F_y\cap U$와 $F_y\cap V$는 $F_y$의 부분 공간 위상에서 서로소인 열린 집합이다.
5. 문제의 조건에서 각 섬유 $F_y$는 연결 공간 이므로, 두 개의 공집합이 아닌 열린 집합으로 나뉠 수 없다. 따라서 둘 중 하나는 반드시 공집합이어야 한다. 즉, 모든 $y\in Y$에 대해, $F_y$는 $U$ 또는 $V$ 둘 중 하나에 완전히 포함되어야 한다.
6. 이제 $Y$의 두 부분집합을 다음과 같이 정의하자.

• $Y_U=\{y\in Y\mid p^{-1}(\{y\})\subseteq U\}$
• $Y_V=\{y\in Y\mid p^{-1}(\{y\})\subseteq V\}$

7. 5번에 의해 $Y=Y_U\cup Y_V$ 이고 $Y_U\cap Y_V=\varnothing$ 이다. 또한 $U,V$가 공집합이 아니므로 $Y_U,Y_V$도 공집합이 아니다.
8. $Y_U$가 $Y$에서 열린 집합임을 보이자. $p^{-1}(Y_U)=U$ 이다. 몫사상의 정의에 의해, $A\subseteq Y$가 열린 집합인 것과 $p^{-1}(A)$가 $X$에서 열린 집합인 것은 동치이다. $U$는 $X$에서 열린 집합이므로, $Y_U$는 $Y$에서 열린 집합이다. 같은 논리로 $Y_V$도 $Y$에서 열린 집합이다.
9. 결과적으로 $Y$는 공집합이 아닌 서로소인 두 열린 집합 $Y_U$와 $Y_V$의 합집합으로 표현된다. 이는 $Y$가 연결이 아님 을 의미한다.
10. 이는 문제에서 $Y$가 연결 공간이라는 가정에 모순 된다.
11. 따라서 최초의 가정, 즉 $X$가 연결이 아니라는 가정이 거짓이다. 그러므로 $X$는 반드시 연결 공간 이다.

13번 문제 답안

양방향 필요충분조건이므로 각각 증명한다.

(⇒) $f$가 연속이면, 그래프 $G_f$는 닫힌 집합이다.

1. $G_f$가 닫힌 집합임을 보이기 위해, 여집합 $(X\times Y)\setminus G_f$가 열린 집합임을 보인다.
2. 여집합의 임의의 점 $(x,y)$를 선택하자. 이는 $y\ne f(x)$를 의미한다.
3. $Y$는 하우스도르프 공간이므로, $f(x)$와 $y$를 분리하는 서로소인 열린 근방 $V,W\subset Y$가 존재한다 ($f(x)\in V,y\in W,V\cap W=\varnothing$).
4. $f$는 연속 이므로, 열린 집합 $V$의 원상 $U=f^{-1}(V)$는 $x$를 포함하는 $X$의 열린 집합이다.
5. 곱위상에서 $U\times W$는 $(x,y)$를 포함하는 열린 집합이다.
6. 임의의 점 $(x^{\prime },y^{\prime })\in U\times W$에 대해, $x^{\prime }\in U$ 이므로 $f(x^{\prime })\in V$ 이다. 동시에 $y^{\prime }\in W$ 이다. $V$와 $W$가 서로소이므로, $f(x^{\prime })\ne y^{\prime }$ 이다.
7. 이는 $(x^{\prime },y^{\prime })$가 그래프 $G_f$에 속하지 않음을 의미한다. 따라서 $U\times W$는 $G_f$의 여집합에 완전히 포함된다.
8. 여집합의 모든 점이 그 안에 포함되는 열린 근방을 가지므로, 여집합은 열린 집합이고 $G_f$는 닫힌 집합 이다.

(⇐) 그래프 $G_f$가 닫힌 집합이면, $f$는 연속이다.

1. $G_f$가 닫힌 집합이라고 가정하자. $f$가 연속임을 보이기 위해, $Y$의 임의의 닫힌 집합 $C$에 대해 그 원상 $f^{-1}(C)$가 $X$에서 닫힌 집합임을 보인다.
2. $C$를 $Y$의 임의의 닫힌 집합이라 하자. 그러면 $X\times C$는 $X\times Y$의 닫힌 집합이다.
3. $G_f$와 $X\times C$는 모두 닫힌 집합이므로, 그 교집합 $G_f\cap (X\times C)$ 또한 닫힌 집합이다.

$$G_f\cap (X\times C)=\{(x,f(x))\mid x\in f^{-1}(C)\}$$

4. 사영 함수 ${\pi }_1:X\times Y\to X$ (${\pi }_1(x,y)=x$)를 생각하자.
5. $Y$가 콤팩트 공간이면, 사영 함수 ${\pi }_1$은 닫힌 사상(closed map)임이 알려져 있다. 즉, 닫힌 집합의 상(image)을 닫힌 집합으로 보낸다.
6. 3번에서 $G_f\cap (X\times C)$가 닫힌 집합임을 보였으므로, 이것의 사영 또한 $X$에서 닫힌 집합이어야 한다.

$${\pi }_1(G_f\cap (X\times C))=\{x\mid x\in f^{-1}(C)\}=f^{-1}(C)$$

7. 따라서 $f^{-1}(C)$는 $X$에서 닫힌 집합이다.
8. 임의의 닫힌 집합의 원상이 닫힌 집합이므로, $f$는 연속 함수 이다.

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네, 알겠습니다. 13번 문제 전체에 대한 대학원 입시 수준의 완전한 답안을 작성해 드리겠습니다.

문제 13번 답안

(a) 몫공간 ${\mathbb{R}}^2/D^2$가 ${\mathbb{R}}^2$와 위상동형임을 보이시오.

증명: 몫공간 ${\mathbb{R}}^2/D^2$이 ${\mathbb{R}}^2$와 위상동형임을 보이기 위해, 몫공간의 보편 성질(universal property)을 이용한다.

1. 함수 $f$의 구성 ${\mathbb{R}}^2$에서 ${\mathbb{R}}^2$로 가는 함수 $f$를 다음과 같이 정의한다.

$$f(p)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }\Vert p\Vert \le 1\\ (\Vert p\Vert -1)\frac{p}{\Vert p\Vert }& \text{if }\Vert p\Vert >1\end{array}$$

이 함수는 닫힌 단위원판 $D^2$을 원점 $0$으로 축소시키고, 원판의 외부 ${\mathbb{R}}^2\setminus D^2$를 평면 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 전체로 연속적으로 확장시킨다.

2. 함수 $f$의 성질 증명 (i) $f$는 연속이다: $\Vert p\Vert <1$인 영역과 $\Vert p\Vert >1$인 영역에서는 자명하게 연속이다. $\Vert p\Vert =1$인 경계에서의 연속성을 확인하면,

$$\underset{\Vert p\Vert \to 1^{+}}{\lim }f(p)=\underset{\Vert p\Vert \to 1^{+}}{\lim }(\Vert p\Vert -1)\frac{p}{\Vert p\Vert }=(1-1)\frac{p}{1}=0$$

이는 $\Vert p\Vert =1$에서의 함숫값 $f(p)=0$과 일치하므로, $f$는 ${\mathbb{R}}^2$ 전체에서 연속이다.

(ii) $f$는 몫의 동치 관계를 만족한다: ${\mathbb{R}}^2/D^2$의 동치 관계 $\sim$는 $p_1,p_2\in D^2$ 이면 $p_1\sim p_2$ 이다. 이 경우 $f(p_1)=0$, $f(p_2)=0$ 이므로 $f(p_1)=f(p_2)$가 성립한다. 그 외의 경우에는 $p_1=p_2$일 때만 $p_1\sim p_2$이므로 자명하게 성립한다.

3. 몫공간의 보편 성질 적용 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$는 연속이고 동치 관계를 존중하므로, 몫공간의 보편 성질에 의해 다음을 만족하는 유일한 연속 함수 $\tilde{f}:{\mathbb{R}}^2/D^2\to {\mathbb{R}}^2$가 존재한다.

$$f=\tilde{f}\circ \pi (\text{단, }\pi :{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2/D^2\text{는 몫사상})$$

4. $\tilde{f}$가 위상동형사상임을 증명 (i) $\tilde{f}$는 전단사이다: $f$는 전사 함수(surjective)이고, $f$가 동일시하는 점들은 정확히 몫공간에서 동일시되는 점들이므로, 유도된 함수 $\tilde{f}$는 전단사(bijective)이다.

(ii) $\tilde{f}$의 역함수는 연속이다: 함수 $f$가 닫힌 사상(closed map)임을 보이면, $f$는 몫사상이 되고 유도된 연속 전단사 함수 $\tilde{f}$는 위상동형사상이 된다. ${\mathbb{R}}^2$의 임의의 닫힌 집합 $C$에 대해, $f(C)$가 닫힌 집합임을 보인다.

• 만약 $C$가 유계이면, $C$는 콤팩트하다. 연속 함수 $f$에 의한 콤팩트 집합의 상 $f(C)$는 콤팩트하고, ${\mathbb{R}}^2$가 하우스도르프 공간이므로 $f(C)$는 닫힌 집합이다.
• 만약 $C$가 유계가 아니면, $C\cap D^2$와 $C\setminus D^2$로 나누어 생각할 수 있다. $f(C)=f(C\cap D^2)\cup f(C\setminus D^2)=\{0\}\cup f(C\setminus D^2)$ 이다. $f$는 ${\mathbb{R}}^2\setminus D^2$를 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$으로 보내는 위상동형사상이므로, 닫힌 집합 $C\setminus D^2$의 상 $f(C\setminus D^2)$는 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$에서 닫힌 집합이다. 따라서 $f(C)$는 ${\mathbb{R}}^2$에서 닫힌 집합이다. 그러므로 $f$는 닫힌 사상이고, 따라서 몫사상이다.

결론적으로, 몫사상 $f$로부터 유도된 $\tilde{f}$는 연속인 전단사 함수이며 위상동형사상이므로, ${\mathbb{R}}^2/D^2$는 ${\mathbb{R}}^2$와 위상동형이다.

(b) $U$를 $D^2$의 내부(interior)라고 하자. ${\mathbb{R}}^2/U$는 ${\mathbb{R}}^2$와 위상동형인가?

아니오, 위상동형이 아닙니다.

설명: 결론적으로, 몫공간 $X={\mathbb{R}}^2/U$는 하우스도르프(Hausdorff) 공간이 아니기 때문 입니다. ${\mathbb{R}}^2$는 하우스도르프 공간이므로, 두 공간은 위상동형일 수 없습니다.

증명:

1. 몫공간 $X={\mathbb{R}}^2/U$의 점들은 ${\mathbb{R}}^2$의 점들의 동치류이다. 여기서 열린 원판 $U=\{p\in {\mathbb{R}}^2\mid \Vert p\Vert <1\}$에 속한 모든 점들은 하나의 점으로 축소된다. 이 점을 $\ast$ 라고 하자.
2. $X$에서 서로 다른 두 점을 선택한다: 하나는 축소된 점 $\ast$ 이고, 다른 하나는 축소되지 않은 경계 위의 점, 예를 들어 $p=(1,0)$의 동치류 $[p]$ 이다.
3. $X$가 하우스도르프라면, $\ast$와 $[p]$를 분리하는 서로소인 열린 근방 $V,W\subset X$ ($\ast \in V,[p]\in W,V\cap W=\varnothing$)가 존재해야 한다.
4. 몫위상의 정의에 따라, $V$가 $X$에서 열린 집합이므로, 그 원상 $q^{-1}(V)$는 ${\mathbb{R}}^2$에서 열린 집합이다. $\ast \in V$이므로 $q^{-1}(V)$는 $U$를 포함해야 한다.

$$U\subseteq q^{-1}(V)$$

5. 마찬가지로, $W$가 $X$에서 열린 집합이므로, 그 원상 $q^{-1}(W)$는 ${\mathbb{R}}^2$에서 열린 집합이다. $[p]\in W$이므로 $q^{-1}(W)$는 점 $p$를 포함해야 한다.

$$p\in q^{-1}(W)$$

6. 점 $p=(1,0)$은 집합 $U$의 경계점(boundary point) 이다. 따라서 $p$를 포함하는 모든 열린 집합은 반드시 $U$와 만나야 한다. 즉,

$$q^{-1}(W)\cap U\ne \varnothing$$

7. 이 교집합에 속하는 어떤 점 $z$를 생각하자 ($z\in q^{-1}(W)\cap U$).

• $z\in U$ 이므로, 몫사상에 의한 상은 $q(z)=\ast$ 이다.
• $z\in q^{-1}(W)$ 이므로, 그 상 $q(z)$는 $W$에 속해야 한다. 즉, $q(z)\in W$ 이다.

8. 결과적으로 우리는 $\ast \in W$ 라는 결론을 얻는다.
9. 이는 3단계의 가정과 모순 된다. 우리는 $[p]$의 근방 $W$가 $\ast$를 포함하지 않는다고 가정했다($V\cap W=\varnothing$이고 $\ast \in V$). 하지만 $[p]$의 임의의 열린 근방 $W$는 항상 점 $\ast$를 포함해야 함이 증명되었다.
10. 따라서, 점 $\ast$와 $[p]$를 분리하는 것은 불가능하며, 몫공간 ${\mathbb{R}}^2/U$는 하우스도르프 공간이 아니다.

${\mathbb{R}}^2/U$는 하우스도르프가 아니므로, 하우스도르프 공간인 ${\mathbb{R}}^2$와 위상동형일 수 없습니다.

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1. 문제 번역

(10점) $S\subset {\mathbb{R}}^3$를 매끄러운 곡면(smooth surface)이라 하고, $p\in S$를 그 위의 한 점이라고 하자. $N$을 점 $p$에서 곡면 $S$의 단위 법선 벡터(unit normal vector)라고 하자. 임의의 접벡터 $v\in T_{p}S$에 대하여, $P_v$를 $p$를 지나고 $N$과 $v$로 생성되는(spanned by) 평면이라고 하자. 다음 명제를 증명하거나 반증하라.

“만약 모든 $v\in T_{p}S$에 대하여, 평면 곡선 $P_v\cap S$의 점 $p$에서의 곡률이 0이라면, 점 $p$의 근방(neighborhood)에서 $S$는 평면과 같다.”

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 문제를 해결하기 위해서는 미분기하학의 다음 개념들에 대한 이해가 필수적이다.

• 매끄러운 곡면 (Smooth Surface) 3차원 유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^3$ 내에서 국소적으로 ${\mathbb{R}}^2$의 열린 집합과 미분가능한 동형사상(diffeomorphism) 관계에 있는 도형이다. 간단히 말해, 모든 점에서 접평면을 정의할 수 있는 ‘부드러운’ 곡면을 의미한다.

• 접평면 (Tangent Plane, $T_{p}S$) 곡면 $S$ 위의 점 $p$에서 곡면에 ‘접하는’ 모든 접벡터들의 집합으로 구성된 2차원 벡터 공간이다. 이는 점 $p$ 근방에서 곡면을 가장 잘 근사하는 평면이다.

• 법선 벡터 (Normal Vector, $N$) 점 $p$에서 접평면 $T_{p}S$에 수직인 벡터이다. 단위 법선 벡터는 크기가 1인 법선 벡터를 의미한다.

• 법선 단면 (Normal Section) 문제에 주어진 평면 $P_v$는 점 $p$에서의 법선 벡터 $N$과 접벡터 $v$를 포함하는 평면이다. 이 평면으로 곡면 $S$를 잘라 얻는 단면 곡선 $C_v=P_v\cap S$를 법선 단면 이라고 한다.

• 법곡률 (Normal Curvature, $k_n(v)$) 점 $p$에서 접벡터 $v$ 방향으로의 법선 단면 곡선 $C_v$의 곡률을 의미한다. 이 곡률은 부호를 가질 수 있으며, 부호는 곡선이 법선 벡터 $N$ 방향으로 휠지, 반대 방향으로 휠지에 따라 결정된다. 평면 곡선으로서의 곡률은 법곡률의 절댓값과 같다. 즉, ${\kappa }_{C_v}(p)=|k_n(v)|$이다. 문제의 조건 “$P_v\cap S$의 곡률이 0”은 모든 방향 $v$에 대해 법곡률 $k_n(v)=0$임을 의미한다.

• 제2 기본 형식 (Second Fundamental Form, $I{I}_p$) 점 $p$에서 곡면이 어떻게 휘어져 있는지를 나타내는 대칭 쌍선형 형식(symmetric bilinear form)이다. 법곡률은 제2 기본 형식을 통해 계산할 수 있다: $k_n(v)=\frac{I{I}_p(v,v)}{⟨v,v⟩}$. 따라서 모든 $v$에 대해 $k_n(v)=0$이라는 조건은 제2 기본 형식이 항등적으로 0이라는 것($I{I}_p\equiv 0$)과 동치이다.

• 평탄점 (Planar Point) 점 $p$에서의 주곡률(principal curvatures)이 모두 0인 점을 의미한다. 주곡률은 제2 기본 형식과 밀접하게 연관되어 있으므로, 제2 기본 형식이 0이라는 것은 그 점이 평탄점임을 의미한다. 이 문제의 조건은 점 $p$가 평탄점이라는 것을 말해준다.

3. 완벽한 답안

결론: 명제는 거짓이다.

주어진 명제는 거짓이다. 명제의 가설을 만족하지만 결론을 만족하지 않는 반례를 제시함으로써 이를 증명할 수 있다.

반례 (Counterexample)

곡면 $S$를 함수 $z=f(x,y)=x^3+y^3$의 그래프로 정의하자. 즉, $S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=x^3+y^3\}$이다. 점 $p$를 원점 $p=(0,0,0)$으로 잡는다.

1. 가설 만족 증명

먼저, 이 곡면이 $p=(0,0,0)$에서 명제의 가설, 즉 모든 접벡터 $v\in T_{p}S$에 대해 평면 곡선 $P_v\cap S$의 곡률이 0임을 보이겠다.

1. 접평면과 법선 벡터: $f_x=3x^2$, $f_y=3y^2$ 이므로, $p=(0,0,0)$에서 $f_x(0,0)=0,f_y(0,0)=0$이다. 따라서 점 $p$에서의 접평면 $T_{p}S$는 $xy$-평면($z=0$)이다. 단위 법선 벡터는 $N=(0,0,1)$로 선택할 수 있다.

2. 법선 단면 곡선: $T_{p}S$에 속한 임의의 0이 아닌 접벡터는 $v=(v_1,v_2,0)$ 형태로 표현할 수 있다. (단, $(v_1,v_2)\ne (0,0)$) 평면 $P_v$는 $p=(0,0,0)$을 지나고 $N=(0,0,1)$과 $v=(v_1,v_2,0)$에 의해 생성된다. 이 평면의 방정식은 $v_{2}x-v_{1}y=0$ 이다.

3. 곡률 계산: 이제 법선 단면 곡선 $C_v=P_v\cap S$를 매개변수화하여 곡률을 계산한다. 곡선 $C_v$ 위의 점들은 $z=x^3+y^3$와 $v_{2}x-v_{1}y=0$을 동시에 만족한다.

• 경우 1: $v_1\ne 0$ $y=(v_2/v_1)x$로 표현할 수 있다. 이를 곡면 방정식에 대입하면,

$$z=x^3+{\left(\frac{v_2}{v_1}x\right)}^3=\left(1+\frac{v_2^3}{v_1^3}\right)x^3$$

상수 $c=1+(v_2/v_1{)}^3$ 라 두면, 곡선 $C_v$는 $t$를 매개변수로 하여 다음과 같이 표현된다.

$$\gamma (t)=\left(t,\frac{v_2}{v_1}t,c{t}^3\right)$$

점 $p$는 $t=0$에 해당한다. 이제 곡률 $\kappa (t)=\frac{\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\times {\gamma }^{\prime \prime }(t)\Vert }{\Vert {\gamma }^{\prime }(t){\Vert }^3}$를 계산하자.

$${\gamma }^{\prime }(t)=\left(1,\frac{v_2}{v_1},3c{t}^2\right)$$ $${\gamma }^{\prime \prime }(t)=(0,0,6ct)$$

$t=0$에서 계산하면,

$${\gamma }^{\prime }(0)=\left(1,\frac{v_2}{v_1},0\right)$$ $${\gamma }^{\prime \prime }(0)=(0,0,0)$$

따라서 외적 ${\gamma }^{\prime }(0)\times {\gamma }^{\prime \prime }(0)=(0,0,0)$ 이므로, 점 $p$에서의 곡률 $\kappa (0)=0$ 이다.

• 경우 2: $v_1=0$ $v_1=0$이면 $v_2\ne 0$이므로 평면 $P_v$의 방정식은 $x=0$이 된다. 이때 곡선 $C_v$는 $z=y^3,x=0$ 으로 주어진다. 이를 매개변수화하면 $\gamma (t)=(0,t,t^3)$ 이다. ${\gamma }^{\prime }(t)=(0,1,3t^2)$, ${\gamma }^{\prime \prime }(t)=(0,0,6t)$ 이다. $t=0$에서 ${\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$, ${\gamma }^{\prime \prime }(0)=(0,0,0)$ 이므로, 이 경우에도 곡률 $\kappa (0)=0$ 이다.

두 경우 모두 임의의 $v\in T_{p}S$에 대해 법선 단면의 곡률이 0임을 확인했다. 따라서 이 곡면은 명제의 가설을 만족한다.

2. 결론 위배 증명

이제 이 곡면이 명제의 결론, 즉 “$p$의 근방에서 $S$는 평면과 같다”를 만족하지 않음을 보이겠다.

곡면 $S$는 방정식 $z=x^3+y^3$로 정의된다. 평면의 방정식은 일반적으로 $ax+by+cz=d$ 형태의 선형 방정식으로 표현된다. 그러나 $z=x^3+y^3$는 3차 비선형(nonlinear) 방정식이므로, 원점 $(0,0,0)$을 포함하는 어떠한 작은 근방(neighborhood)을 잡더라도 $S$는 평면이 될 수 없다.

결론의 심층 분석

이 명제가 거짓인 근본적인 이유는 다음과 같다. 문제의 조건, 즉 “모든 법선 단면의 곡률이 $p$에서 0이다”라는 것은 점 $p$에서의 제2 기본 형식($I{I}_p$)이 0 이라는 것과 동치이다. 이는 곡면의 2차 미분계수들이 $p$에서 모두 0임을 의미한다. 국소적으로 곡면을 $z=f(x,y)$로 표현하고 $p$를 원점, $T_{p}S$를 $xy$-평면으로 설정하면, 이 조건은 $f$의 1차 및 2차 편도함수가 모두 $(0,0)$에서 0이라는 뜻이다.

$$f(0,0)=0,f_x(0,0)=f_y(0,0)=0,f_{xx}(0,0)=f_{xy}(0,0)=f_{yy}(0,0)=0$$

하지만 이것이 $f(x,y)$가 $p$의 근방에서 항등적으로 0임을 보장하지는 않는다. $f(x,y)=x^3+y^3$와 같이 3차 이상의 항들이 존재할 수 있기 때문이다. 이 고차항들이 곡면을 평면이 아니게 만든다. 따라서 명제는 거짓이다.

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1. 문제 번역

(10점) $S\subset {\mathbb{R}}^3$를 매끄러운 곡면(smooth surface)이라 하자. $K$를 $S$의 가우스 곡률(Gauss curvature)이라고 하자. 함수 $K:S\to \mathbb{R}$가 매끄러운 함수(smooth function)임을 보여라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 증명을 이해하기 위해선 다음의 핵심 개념들이 필요합니다. 🧐

• 매끄러운 곡면 (Smooth Surface) 곡면 $S$가 매끄럽다는($C^{\infty }$ 등급) 것은 곡면 위의 모든 점 근방이 ${\mathbb{R}}^2$의 열린 집합과 매끄럽게 매개변수화될 수 있음을 의미합니다. 즉, 국소적으로 $C^{\infty }$ 함수인 좌표 조각(local parameterization) $\mathbf{x}(u,v)$로 표현할 수 있습니다.

• 국소 매개변수화 (Local Parameterization) $\mathbf{x}:U\to S$ ($U\subset {\mathbb{R}}^2$는 열린 집합)는 $C^{\infty }$ 함수이며, 임의의 점에서 접벡터 ${\mathbf{x}}_u=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}$ 와 ${\mathbf{x}}_v=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}$ 가 선형 독립인 사상(map)입니다. 증명은 이 국소 좌표계 $(u,v)$ 위에서 진행됩니다.

• 곡면 위의 매끄러운 함수 (Smooth Function on a Surface) 함수 $f:S\to \mathbb{R}$가 매끄럽다는 것의 정의는, 임의의 국소 매개변수화 $\mathbf{x}:U\to S$에 대해, 합성 함수 $f\circ \mathbf{x}:U\to \mathbb{R}$가 $(u,v)$에 대한 $C^{\infty }$ 함수라는 것입니다. 따라서 우리는 $K(\mathbf{x}(u,v))$가 $u,v$에 대해 매끄러운 함수임을 보이면 됩니다.

• 제1 및 제2 기본 형식 (First and Second Fundamental Forms) 가우스 곡률 $K$는 이 두 기본 형식의 계수들로 표현됩니다.

• 제1 기본 형식 계수 (E, F, G): 곡면 위의 거리와 각도를 측정하며, 접벡터들의 내적으로 정의됩니다. $E=⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_u⟩$, $F=⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v⟩$, $G=⟨{\mathbf{x}}_v,{\mathbf{x}}_v⟩$

• 제2 기본 형식 계수 (L, M, N): 곡면이 접평면으로부터 얼마나 휘어져 있는지를 측정하며, 접벡터의 2차 도함수와 법선 벡터의 내적으로 정의됩니다. $L=⟨{\mathbf{x}}_{uu},\mathbf{n}⟩$, $M=⟨{\mathbf{x}}_{uv},\mathbf{n}⟩$, $N=⟨{\mathbf{x}}_{vv},\mathbf{n}⟩$ 여기서 $\mathbf{n}$은 단위 법선 벡터 $\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v}{\Vert {\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v\Vert }$ 입니다.

• 가우스 곡률 공식 (Formula for Gauss Curvature) 국소 좌표계에서 가우스 곡률은 다음과 같이 계산됩니다.

$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$$

3. 완벽한 답안

목표: 함수 $K:S\to \mathbb{R}$가 매끄러운 함수($C^{\infty }$ 함수)임을 증명하는 것입니다.

곡면 위의 함수가 매끄럽다는 것의 정의에 따라, 우리는 임의의 국소 매개변수화(local parameterization) $\mathbf{x}:U\to S$ (여기서 $U$는 ${\mathbb{R}}^2$의 열린 집합)에 대해 합성 함수 $K\circ \mathbf{x}:U\to \mathbb{R}$가 $u$와 $v$에 대한 매끄러운 함수임을 보이면 됩니다.

증명은 다음 단계로 진행됩니다.

1. 국소 매개변수화 설정 $S$는 매끄러운 곡면이므로, 임의의 점 $p\in S$에 대해 $p$를 포함하는 근방을 표현하는 매끄러운($C^{\infty }$) 국소 매개변수화 $\mathbf{x}:U\to S$가 존재합니다. $\mathbf{x}(u,v)$는 $u,v$에 대한 $C^{\infty }$ 벡터 함수입니다.

2. 제1 기본 형식 계수의 매끄러움 (Smoothness of E, F, G) 제1 기본 형식의 계수 $E,F,G$는 다음과 같이 정의됩니다.

$$E=⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_u⟩,F=⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v⟩,G=⟨{\mathbf{x}}_v,{\mathbf{x}}_v⟩$$

$\mathbf{x}$가 $C^{\infty }$ 함수이므로, 편도함수 ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$ 역시 $u,v$에 대한 $C^{\infty }$ 벡터 함수입니다. 내적(dot product) 연산은 매끄러운 연산이므로, 두 $C^{\infty }$ 벡터 함수의 내적은 $C^{\infty }$ 스칼라 함수가 됩니다. 따라서 E, F, G는 $U$ 위에서 $C^{\infty }$ 함수 입니다.

3. 제2 기본 형식 계수의 매끄러움 (Smoothness of L, M, N) 제2 기본 형식의 계수 $L,M,N$을 정의하기 위해 먼저 단위 법선 벡터 $\mathbf{n}$을 구해야 합니다.

$$\mathbf{n}(u,v)=\frac{{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v}{\Vert {\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v\Vert }$$

• 분자: ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$가 $C^{\infty }$이므로, 벡터 외적(cross product)으로 얻어지는 ${\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v$ 또한 $C^{\infty }$ 벡터 함수입니다.
• 분모: $\Vert {\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v\Vert =\sqrt{EG-F^2}$ 입니다. $E,F,G$가 $C^{\infty }$ 함수이므로 $EG-F^2$도 $C^{\infty }$ 함수입니다. 매개변수화 $\mathbf{x}$는 정칙(regular)이므로, ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$는 선형 독립이고, 따라서 $EG-F^2>0$ 입니다. 양의 값을 갖는 $C^{\infty }$ 함수에 제곱근을 취해도 여전히 $C^{\infty }$ 함수입니다.
• 결론적으로, $\mathbf{n}(u,v)$는 $C^{\infty }$ 벡터 함수를 0이 아닌 $C^{\infty }$ 스칼라 함수로 나눈 것이므로, $\mathbf{n}(u,v)$는 $C^{\infty }$ 벡터 함수 입니다.

이제 $L,M,N$을 정의합니다.

$$L=⟨{\mathbf{x}}_{uu},\mathbf{n}⟩,M=⟨{\mathbf{x}}_{uv},\mathbf{n}⟩,N=⟨{\mathbf{x}}_{vv},\mathbf{n}⟩$$

$\mathbf{x}$가 $C^{\infty }$이므로, 2차 편도함수 ${\mathbf{x}}_{uu},{\mathbf{x}}_{uv},{\mathbf{x}}_{vv}$도 모두 $C^{\infty }$ 벡터 함수입니다. 이들과 $C^{\infty }$ 벡터 함수인 $\mathbf{n}$의 내적 또한 $C^{\infty }$ 스칼라 함수입니다. 따라서 L, M, N은 $U$ 위에서 $C^{\infty }$ 함수 입니다.

4. 가우스 곡률의 매끄러움 (Smoothness of K) 가우스 곡률 $K$는 국소 좌표계 $(u,v)$에서 다음과 같이 표현됩니다.

$$K(\mathbf{x}(u,v))=\frac{L(u,v)N(u,v)-M(u,v{)}^2}{E(u,v)G(u,v)-F(u,v{)}^2}$$

• 분자 $LN-M^2$는 $C^{\infty }$ 함수들($L,M,N$)의 곱셈과 뺄셈으로 이루어져 있으므로 $C^{\infty }$ 함수입니다.
• 분모 $EG-F^2$는 $C^{\infty }$ 함수들($E,F,G$)의 곱셈과 뺄셈으로 이루어져 있으므로 $C^{\infty }$ 함수입니다.
• 앞서 보았듯이, 분모 $EG-F^2$는 항상 0보다 큽니다.

결론적으로 $K(\mathbf{x}(u,v))$는 $C^{\infty }$ 함수를 0이 아닌 $C^{\infty }$ 함수로 나눈 것이므로, $K(\mathbf{x}(u,v))$는 $u,v$에 대한 $C^{\infty }$ 함수 입니다.

최종 결론

우리는 임의의 매끄러운 국소 매개변수화 $\mathbf{x}(u,v)$에 대해, 합성 함수 $K\circ \mathbf{x}$가 매끄러운 함수임을 보였습니다. 이는 곡면 위에서 정의된 함수가 매끄럽다는 정의를 만족하므로, 가우스 곡률 $K:S\to \mathbb{R}$는 매끄러운 함수 입니다. ∎