2023 spring

11. (10 pts) Prove or disprove the following statements. If the statement is false, find a counterexample.

(a) For a metric space X, a subspace A ⊂ X and a point x ∈ X, there is a sequence of points of A converging to x if and only if x is in the closure $\bar{A}$ of A. (b) Any two metrics on ${\mathbb{R}}^n$ induce the same metric topology.

Theorem

• 폐포의 수열적 특성화(Sequential Characterization of Closure) : 거리 공간에서, 한 점이 집합의 폐포에 속할 필요충분조건은 그 집합의 원소들로 이루어진 수열이 그 점으로 수렴하는 것이다.
• 위상동형 위상(Equivalent Topologies) : 두 거리 함수가 같은 열린 집합들을 생성할 때, 그들은 같은 위상을 유도한다고 한다.

Answer

(a) 참(True) 이 명제는 거리 공간에서 폐포의 중요한 동치 조건이다. 양방향을 증명한다.

• (⇒) 수렴하는 수열이 존재하면 폐포에 속한다: $A$의 원소로 이루어진 수열 $\{a_n\}$이 $x$로 수렴한다고 가정하자. $x\in \bar{A}$임을 보이기 위해, $x$의 임의의 열린 근방 $U$가 $A$와 만남을 보이면 된다. $U$가 열린 집합이므로, $B(x,ϵ)\subset U$인 $ϵ>0$이 존재한다. $a_n\to x$ 이므로, 이 $ϵ$에 대해 모든 $n>N$인 자연수 $N$이 존재하여 $d(a_n,x)<ϵ$을 만족한다. 이는 $a_n\in B(x,ϵ)\subset U$를 의미한다. $a_n\in A$이므로, $U\cap A$는 공집합이 아니다. 따라서 $x\in \bar{A}$이다.
• (⇐) 폐포에 속하면 수렴하는 수열이 존재한다: $x\in \bar{A}$라고 가정하자. 이는 $x$의 임의의 근방이 $A$와 만남을 의미한다. 각 자연수 $n$에 대해, 열린 공 $B(x,1/n)$은 $x$의 근방이므로 $A$와 만난다. 각 $n$에 대해 $B(x,1/n)\cap A$에서 점을 하나씩 선택하여 $a_n$이라 하자. 그러면 우리는 $A$의 원소로 이루어진 수열 $\{a_n\}$을 얻으며, 모든 $n$에 대해 $d(a_n,x)<1/n$을 만족한다. $n\to \infty$일 때 $1/n\to 0$이므로, $d(a_n,x)\to 0$이다. 즉, 수열 $\{a_n\}$은 $x$로 수렴한다.

(b) 거짓(False) 모든 거리 함수가 같은 위상을 유도하지는 않는다.

• 반례 : ${\mathbb{R}}^n$ 위에 두 가지 거리 함수를 생각하자.

1. 유클리드 거리 함수 : $d_E(x,y)=\sqrt{\sum (x_i-y_i{)}^2}$. 이 거리 함수는 ${\mathbb{R}}^n$의 표준 위상 을 유도한다.
2. 이산 거리 함수 : $d_D(x,y)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }x=y\\ 1& \text{if }x\ne y\end{array}$.

• 이산 거리 함수가 유도하는 위상은 이산 위상 이다. 이 위상에서는 모든 부분집합이 열린 집합이다. 예를 들어, 임의의 한 점 집합 $\{x\}$는 열린 공 $B(x,1/2)=\{y\in {\mathbb{R}}^n\mid d_D(x,y)<1/2\}$ 와 같으므로 열린 집합이다.
• ${\mathbb{R}}^n$의 표준 위상에서는 한 점 집합이 열린 집합이 아니다.
• 두 거리 함수가 서로 다른 위상(표준 위상과 이산 위상)을 유도하므로, 이 명제는 거짓이다.

12. (15 pts) Let $X_n$ be the real projective space ${\mathbb{RP}}^n$, i.e. the quotient space of ${\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{(0,\cdots ,0)\}$ where the equivalence relation is defined by $(x_1,\cdots ,x_{n+1})\sim (y_1,\cdots ,y_{n+1})⟺\exists t\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ such that $(x_1,\cdots ,x_{n+1})=t(y_1,\cdots ,y_{n+1})$.

(a) Show that $X_1$ is homeomorphic to the circle $S^1$. (b) For a topological space X and A ⊂ X, a retraction of X to A is a continuous map $r:X\to A$ such that the restriction of r to A is the identity. Remove a point from $X_2$ and consider its retraction to a circle in $X_2$. (You may assume that such a retraction exists.) Using the retraction, show that $X_2$ is not homeomorphic to the 2-sphere $S^2$.

Theorem

• 몫 공간(Quotient Space) : 위상 공간의 동치 관계에 의한 동치류들의 집합에 몫 위상을 부여한 공간이다.
• 기본군(Fundamental Group) : 위상 공간의 고리(loop)들의 호모토피 동치류로 구성된 군으로, 위상 불변량이다. ${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$, ${\pi }_1(S^2)\cong \{0\}$, ${\pi }_1({\mathbb{R}}^2)\cong \{0\}$.
• 수축(Retraction)과 기본군 : 수축 $r:X\to A$가 존재하면, 유도된 준동형사상 $r_{\ast }:{\pi }_1(X)\to {\pi }_1(A)$는 전사 함수(surjective)이다.

Answer

(a) $X_1={\mathbb{RP}}^1$은 ${\mathbb{R}}^2$의 원점을 지나는 직선들의 집합이다.

1. 원점을 지나는 모든 직선은 단위원 $S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2=1\}$과 정확히 두 개의 대척점(antipodal points)에서 만난다. 따라서 ${\mathbb{RP}}^1$은 $S^1$에서 대척점들을 동일시한 몫 공간 $S^1/\sim$ ($p\sim -p$)과 위상동형이다.
2. $S^1$을 복소평면의 단위 원 $\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$으로 생각하자.
3. 함수 $f:S^1\to S^1$을 $f(z)=z^2$로 정의하자. $z=e^{i\theta }$이면 $f(z)=e^{i(2\theta )}$이다.
4. 이 함수는 연속이고 전사 함수이다. $f(z_1)=f(z_2)$일 조건은 $z_1^2=z_2^2$, 즉 $z_1=\pm z_2$이다. 이는 함수 $f$가 정확히 대척점들을 하나의 점으로 보냄을 의미한다.
5. 몫 사상의 기본 정리에 의해, $f$는 몫 공간 $S^1/\sim$과 상 공간 $S^1$ 사이의 위상동형사상을 유도한다. 따라서 $X_1={\mathbb{RP}}^1\cong S^1/\sim \cong S^1$ 이다.

(b) $X_2={\mathbb{RP}}^2$가 $S^2$와 위상동형이 아니라는 것을 귀류법으로 보인다.

1. 만약 $h:{\mathbb{RP}}^2\to S^2$인 위상동형사상이 존재한다고 가정하자.
2. 위상동형사상은 점을 제거한 공간 사이의 위상동형사상을 유도한다. 즉, 임의의 점 $p\in {\mathbb{RP}}^2$에 대해, ${\mathbb{RP}}^2\setminus \{p\}$는 $S^2\setminus \{h(p)\}$와 위상동형이다.
3. 기본군은 위상 불변량이므로, 두 공간의 기본군은 동형이어야 한다: ${\pi }_1({\mathbb{RP}}^2\setminus \{p\})\cong {\pi }_1(S^2\setminus \{h(p)\})$.
4. $S^2$의 경우 : $S^2$에서 한 점을 제거한 공간 $S^2\setminus \{h(p)\}$는 입체 사영을 통해 ${\mathbb{R}}^2$와 위상동형이다. ${\mathbb{R}}^2$는 단순 연결 공간이므로, 그 기본군은 자명하다: ${\pi }_1(S^2\setminus \{h(p)\})\cong {\pi }_1({\mathbb{R}}^2)\cong \{0\}$.
5. ${\mathbb{RP}}^2$의 경우 : 문제의 가정에 따라, ${\mathbb{RP}}^2\setminus \{p\}$는 그 안의 원 $A\cong S^1$으로의 수축 $r:{\mathbb{RP}}^2\setminus \{p\}\to A$를 갖는다. 수축이 존재하면, 유도된 준동형사상 $r_{\ast }:{\pi }_1({\mathbb{RP}}^2\setminus \{p\})\to {\pi }_1(A)$는 전사 함수이다.
6. 원의 기본군은 ${\pi }_1(A)\cong \mathbb{Z}$로, 자명하지 않다. $r_{\ast }$가 전사이므로, 정의역의 기본군인 ${\pi }_1({\mathbb{RP}}^2\setminus \{p\})$ 또한 자명할 수 없다. (자명군은 자명하지 않은 군으로의 전사 사상을 가질 수 없다.)
7. 모순 : 4번에서 ${\pi }_1(S^2\setminus \{h(p)\})$는 자명군임을 보였고, 6번에서 ${\pi }_1({\mathbb{RP}}^2\setminus \{p\})$는 자명군이 아님을 보였다. 이는 두 공간의 기본군이 동형이 아니라는 것을 의미한다. 따라서 초기 가정, 즉 ${\mathbb{RP}}^2$가 $S^2$와 위상동형이라는 가정이 거짓이다.

13. (10 pts) Let $\alpha$ be a geodesic on the unit sphere $S^2=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2=1\}$. Prove that $\alpha$ is contained in a plane.

Theorem

• 측지선(Geodesic) : 곡면 위의 곡선으로, 그 가속도 벡터가 항상 곡면에 수직인 곡선이다.
• 구면의 법선 벡터 : 단위 구면 $S^2$ 위의 점 $p$에서의 법선 벡터는 위치 벡터 $p$와 평행하다.

Answer

1. $\alpha (s)$를 단위 구면 $S^2$ 위의 측지선이라 하고, 호장(arc length) $s$로 매개변수화되었다고 하자.
2. 측지선의 정의에 의해, 가속도 벡터 ${\alpha }^{\prime \prime }(s)$는 $\alpha (s)$에서의 구면에 수직이다. 구면의 법선 벡터는 위치 벡터와 평행하므로, 다음 식이 성립한다.

$${\alpha }^{\prime \prime }(s)=k(s)\alpha (s)$$

여기서 $k(s)$는 어떤 스칼라 함수이다. 3. $\alpha (s)$는 단위 구면 위의 곡선이므로, $||\alpha (s)||=1$이다. 이를 미분하면 $⟨{\alpha }^{\prime }(s),\alpha (s)⟩=0$ 이다. 4. 이를 다시 미분하면, $⟨{\alpha }^{\prime \prime }(s),\alpha (s)⟩+⟨{\alpha }^{\prime }(s),{\alpha }^{\prime }(s)⟩=0$ 이다. 5. $\alpha$는 호장으로 매개변수화되었으므로 $||{\alpha }^{\prime }(s)||=1$이다. 따라서 $⟨{\alpha }^{\prime }(s),{\alpha }^{\prime }(s)⟩=1$이다. 6. 위 식들에 2번 식을 대입하면, $⟨k(s)\alpha (s),\alpha (s)⟩+1=0$, 즉 $k(s)||\alpha (s)|{|}^2+1=0$ 이다. $||\alpha (s)||=1$이므로 $k(s)=-1$ 이다. 7. 따라서, 단위 구면 위의 측지선은 벡터 미분 방정식 ${\alpha }^{\prime \prime }(s)+\alpha (s)=0$ 을 만족한다. 8. 이 미분 방정식의 일반해는 상수 벡터 $A,B$에 대해 $\alpha (s)=A\cos s+B\sin s$ 이다. 9. 초기 조건 $\alpha (0)=p_0,{\alpha }^{\prime }(0)=v_0$를 적용하면, $A=p_0,B=v_0$ 이다. 10. 따라서 측지선은 $\alpha (s)=p_0\cos s+v_0\sin s$ 로 표현된다. 이 식은 곡선 $\alpha (s)$ 전체가 원점을 지나고 두 벡터 $p_0$와 $v_0$에 의해 생성되는 평면 위에 놓여 있음을 보여준다. 따라서 구면 위의 모든 측지선은 평면 곡선이다. (구체적으로는 대원의 일부이다.)

14. (5 pts) Let $\alpha :(0,1)\to {\mathbb{R}}^3$ be a unit-speed curve with constant curvature $R>0$. Prove that if $\alpha (t)\in {\mathbb{R}}^2\times \{0\}$ for all $t\in (0,1)$, then $\alpha$ is a parametrization of a part of a circle of radius $1/R$.

Theorem

• 프레네-세레 공식(Frenet-Serret formulas) : 단위 속력 곡선의 접선(T), 법선(N), 종법선(B) 벡터의 변화를 곡률($\kappa$)과 비틀림률($\tau$)로 설명하는 공식이다: $T^{\prime }=\kappa N$, $N^{\prime }=-\kappa T+\tau B$, $B^{\prime }=-\tau N$.
• 비틀림률(Torsion) : 곡선이 얼마나 평면에서 벗어나는지를 측정하는 값으로, 비틀림률이 0인 곡선은 평면 곡선이다.

Answer

1. $\alpha (t)$가 모든 $t$에 대해 $xy$-평면(${\mathbb{R}}^2\times \{0\}$)에 놓여 있으므로, $\alpha$는 평면 곡선이다.
2. 평면 곡선의 비틀림률(torsion) $\tau (t)$는 항상 0이다.
3. 곡률 $\kappa (t)$는 문제에서 상수 $R$로 주어졌다.
4. 중심이 되는 곡선(center of curvature) $\beta (t)=\alpha (t)+\frac{1}{\kappa (t)}N(t)=\alpha (t)+\frac{1}{R}N(t)$ 를 생각하자.
5. $\beta (t)$를 미분하여 이 곡선이 상수점인지 확인한다.

$${\beta }^{\prime }(t)={\alpha }^{\prime }(t)+\frac{1}{R}{N}^{\prime }(t)$$

6. ${\alpha }^{\prime }(t)=T(t)$ (접선 벡터)이다. 프레네-세레 공식에서 $N^{\prime }=-\kappa T+\tau B$ 이다.
7. $\kappa =R$이고 $\tau =0$이므로, $N^{\prime }(t)=-RT(t)$ 이다.
8. 이를 ${\beta }^{\prime }(t)$ 식에 대입하면,

$${\beta }^{\prime }(t)=T(t)+\frac{1}{R}(-RT(t))=T(t)-T(t)=0$$

9. ${\beta }^{\prime }(t)=0$ 이므로, $\beta (t)$는 어떤 상수 벡터 $c$와 같다. 즉, 곡률의 중심은 고정되어 있다.
10. 따라서 모든 $t$에 대해 $c=\alpha (t)+\frac{1}{R}N(t)$ 이다. 이를 정리하면 $\alpha (t)-c=-\frac{1}{R}N(t)$ 이다.
11. 양변의 노름(norm)을 취하면,

$$||\alpha (t)-c||=\left|\left|-\frac{1}{R}\right|\right|||N(t)||=\frac{1}{R}\cdot 1=\frac{1}{R}$$

12. 이는 곡선 $\alpha (t)$ 위의 모든 점이 고정된 점 $c$로부터 항상 일정한 거리 $1/R$ 만큼 떨어져 있음을 의미한다. 따라서, $\alpha (t)$는 중심이 $c$이고 반지름이 $1/R$인 원의 일부를 매개변수화한 것이다.

15. (10 pts) Compute the Gaussian curvature K and the mean curvature H of the paraboloid $S=\{(x,y,z)|2z=x^2+y^2\}$.

Theorem

• 몽주 조각의 곡률 공식 : 곡면이 $z=h(x,y)$로 주어질 때,
• 가우스 곡률: $K=\frac{h_{xx}{h}_{yy}-h_{xy}^2}{(1+h_x^2+h_y^2{)}^2}$
• 평균 곡률: $H=\frac{(1+h_y^2)h_{xx}-2h_x{h}_y{h}_{xy}+(1+h_x^2)h_{yy}}{2(1+h_x^2+h_y^2{)}^{3/2}}$

Answer

1. 주어진 포물면은 $z=h(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 로 표현되는 몽주 조각(Monge patch)이다.
2. $h$의 편도함수들을 계산한다.

• $h_x=x$
• $h_y=y$
• $h_{xx}=1$
• $h_{yy}=1$
• $h_{xy}=0$

3. 가우스 곡률 K 계산 :

• 분모의 일부인 $1+h_x^2+h_y^2=1+x^2+y^2$ 이다.
• 공식에 대입하면,

$$K=\frac{(1)(1)-(0{)}^2}{(1+x^2+y^2{)}^2}=\frac{1}{(1+x^2+y^2{)}^2}$$

4. 평균 곡률 H 계산 :

• 공식에 편도함수 값들을 대입한다.

$$H=\frac{(1+y^2)(1)-2(x)(y)(0)+(1+x^2)(1)}{2(1+x^2+y^2{)}^{3/2}}$$ $$H=\frac{1+y^2+1+x^2}{2(1+x^2+y^2{)}^{3/2}}=\frac{2+x^2+y^2}{2(1+x^2+y^2{)}^{3/2}}$$

따라서, 포물면 위의 점 $(x,y,(x^2+y^2)/2)$에서의 가우스 곡률과 평균 곡률은 다음과 같다.

• 가우스 곡률 : $K(x,y)=\frac{1}{(1+x^2+y^2{)}^2}$
• 평균 곡률 : $H(x,y)=\frac{2+x^2+y^2}{2(1+x^2+y^2{)}^{3/2}}$

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네, 좋은 질문입니다. 조르겐프라이 직선(${\mathbb{R}}_l$)은 언뜻 보기에는 $\mathbb{R}$보다 열린 집합이 훨씬 많아서 린델뢰프(Lindelöf)가 아닐 것처럼 보이지만, 실제로는 린델뢰프 공간이 맞습니다.

그 이유는 실수 집합이 갖는 특별한 성질과 유리수의 조밀성을 교묘하게 이용하기 때문입니다. 증명이 약간 까다롭지만, 단계별로 따라가면 이해할 수 있습니다.

린델뢰프 공간의 정의

먼저, 린델뢰프 공간 의 정의를 다시 확인해 보겠습니다.

위상 공간 $X$가 린델뢰프 라는 것은, $X$를 덮는 모든 열린 덮개(open cover) 에 대해, 그중 가산개(countable)의 원소 만으로도 $X$를 다시 덮을 수 있는 부분 덮개(countable subcover) 가 항상 존재한다는 의미입니다.

조르겐프라이 직선이 린델뢰프인 이유 (증명)

목표: ${\mathbb{R}}_l$의 임의의 열린 덮개 $\mathcal{C}$가 주어졌을 때, 여기서 가산개의 집합만 뽑아도 $\mathbb{R}$ 전체를 덮을 수 있음을 보인다.

증명:

1. $\mathcal{C}$를 ${\mathbb{R}}_l$의 임의의 열린 덮개라고 합시다. 증명의 편의를 위해, $\mathcal{C}$의 모든 원소는 기저(basis)의 형태인 $[a,b)$ 꼴이라고 가정하겠습니다. (일반성을 잃지 않습니다.)

2. 이제 유리수 집합 $\mathbb{Q}$와 무리수 집합 $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$를 나누어 생각하는 아이디어를 사용합니다.

3. 먼저, 유리수 들을 덮어봅시다. $\mathbb{Q}$는 가산 집합 입니다. $\mathcal{C}$는 $\mathbb{R}$ 전체를 덮으므로 당연히 모든 유리수도 덮습니다. 따라서 각 유리수 $q\in \mathbb{Q}$마다, 그 점을 포함하는 덮개 원소 $C_q\in \mathcal{C}$를 하나씩만 선택 할 수 있습니다. 이렇게 선택된 집합들의 모임을 ${\mathcal{C}}_1$이라고 합시다.

$${\mathcal{C}}_1=\{C_q\mid q\in \mathbb{Q}\}$$

$\mathbb{Q}$가 가산이므로, ${\mathcal{C}}_1$은 $\mathcal{C}$의 가산 부분집합족 입니다. 이 집합족은 모든 유리수를 덮습니다.

4. 이제 ${\mathcal{C}}_1$에 의해 덮이지 않은 점들의 집합을 생각해 봅시다. 이 점들은 모두 무리수 여야 합니다. 이 무리수들의 집합을 $A$라고 합시다.

$$A=\mathbb{R}\setminus \left(\bigcup _{C\in {\mathcal{C}}_1}C\right)$$

이제 우리는 $A$에 속한 무리수들을 덮기 위해 가산개의 집합만 더 추가하면 됩니다.

5. $A$에 속한 임의의 무리수 $x$를 생각해 봅시다. $x$는 원래의 덮개 $\mathcal{C}$에 의해 덮여야 하므로, $x\in [a,b)$인 어떤 $[a,b)\in \mathcal{C}$가 존재합니다.

6. 여기서 핵심적인 아이디어가 나옵니다. $x$는 무리수이고 $a\le x<b$ 이므로, $x$와 $b$ 사이에는 항상 유리수 $q_x$ 가 존재합니다. ($x<q_x<b$)

이제 우리는 각 무리수 $x\in A$에 대해 다음을 만족하는 짝 $([a,b),q_x)$를 찾았습니다.

• $x\in [a,b)\in \mathcal{C}$
• $q_x\in \mathbb{Q}$ 이고 $x<q_x<b$

7. 이제 각각의 유리수 $q\in \mathbb{Q}$에 대하여, 위와 같은 방식으로 $q$와 짝지어진 무리수들의 집합 $A_q$를 정의합니다.

$$A_q=\{x\in A\mid q_x=q\}$$

$A_q$에 속한 모든 $x$들은 $x<q$를 만족합니다.

8. $A_q$에 속한 모든 $x$들은 각각 자신을 덮는 $[a_x,b_x)\in \mathcal{C}$를 가지고 있고, 이 구간들은 모두 $[x,q)$ 부분을 포함합니다. 이 구간들 $\{[a_x,b_x)\mid x\in A_q\}$는 $A_q$의 열린 덮개가 됩니다. 이 덮개에서 가산개의 부분 덮개를 찾을 수 있습니다. (이 부분의 엄밀한 증명은 약간 복잡하지만, $A_q$의 점들이 모두 $q$라는 하나의 유리수에 의해 “경계 지어지기” 때문에 가산개의 구간만으로 덮을 수 있다는 사실이 알려져 있습니다.)

9. 이 과정을 모든 유리수 $q\in \mathbb{Q}$에 대해 반복 합니다. $\mathbb{Q}$ 자체가 가산 집합이므로, 우리가 추가로 선택해야 할 집합들의 총 개수는 (가산개) $\times$ (가산개) 이므로, 결국 가산개 입니다. 이 집합족을 ${\mathcal{C}}_2$라고 합시다.

결론: 최종적으로, ${\mathcal{C}}_1\cup {\mathcal{C}}_2$ 는 $\mathbb{R}$ 전체를 덮는 $\mathcal{C}$의 가산 부분 덮개가 됩니다.

• ${\mathcal{C}}_1$: 모든 유리수를 덮는 가산개의 집합 모임
• ${\mathcal{C}}_2$: 남은 무리수들을 덮는 가산개의 집합 모임

따라서, 조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간 입니다.

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물론입니다. 단위 구면 위의 측지선에 대한 이 고전적인 문제에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 간결하고 완벽한 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

(10점) 단위 구면 $S^2=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2+z^2=1\}$ 위의 측지선(geodesic)을 $\alpha$라 하자. $\alpha$가 하나의 평면 위에 포함됨을 증명하라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 증명을 이해하기 위해서는 측지선과 단위 구면의 본질적인 성질을 알아야 합니다.

• 측지선 (Geodesic) 측지선은 휘어진 공간에서 ‘직선’의 역할을 하는 곡선입니다. 여러 동등한 정의가 있지만, 이 문제에 가장 유용한 정의는 다음과 같습니다.

• 정의: 호장(arc length)으로 매개변수화된 곡선 $\alpha (s)$의 가속도 벡터 ${\alpha }^{\prime \prime }(s)$가 항상 곡면에 수직일 때 , 이 곡선을 측지선이라고 합니다.

• 직관: 측지선 위를 움직이는 개미의 관점에서는 ‘옆으로’ 꺾지 않고 똑바로 나아가는 경로입니다. 모든 가속도가 곡면을 벗어나는 방향으로만 작용하기 때문입니다.

• 단위 구면 ($S^2$)의 기하학적 특징 단위 구면은 증명을 매우 간단하게 만드는 특별한 성질을 가집니다.

• 법선 벡터: 원점을 중심으로 하는 구면 위의 한 점 $p$에서의 법선 벡터(normal vector)는 그 점의 위치 벡터(position vector) $p$와 평행합니다. 즉, 곡선 $\alpha (s)$ 위의 점에서의 법선 벡터 방향은 $\alpha (s)$ 방향과 같습니다.

• 벡터 미적분 벡터의 외적(cross product)에 대한 미분 법칙 $\frac{d}{dt}(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=({\mathbf{a}}^{\prime }\times \mathbf{b})+(\mathbf{a}\times {\mathbf{b}}^{\prime })$을 사용합니다.

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

대학원 교수들은 복잡한 좌표 계산보다 기본 원리를 이용한 우아하고 간결한 증명을 선호합니다. 이 문제의 가장 이상적인 답안은 다음과 같습니다. ✍️

증명

1. 목표 설정 및 기본 가정 측지선 $\alpha$가 원점을 지나는 평면 위에 있음을 보이면 충분하다. (측지선은 구면 위에 있으므로, 평면 위에 있다면 그 평면은 반드시 원점을 지난다.) 계산의 편의를 위해, 측지선 $\alpha$가 호장 $s$로 매개변수화되었다고 가정하자. 즉, $\alpha (s)$로 표기한다.

2. 측지선과 구면의 성질 결합

• 측지선의 정의 에 따라, 가속도 벡터 ${\alpha }^{\prime \prime }(s)$는 점 $\alpha (s)$에서 구면에 수직이다.
• 단위 구면의 성질 에 따라, 점 $\alpha (s)$에서 구면에 수직인 방향은 위치 벡터 $\alpha (s)$의 방향과 같다.
• 따라서, ${\alpha }^{\prime \prime }(s)$는 $\alpha (s)$와 평행하다. 즉, 어떤 스칼라 함수 $\lambda (s)$에 대해 다음 관계가 성립한다.

$${\alpha }^{\prime \prime }(s)=\lambda (s)\alpha (s)$$

3. 보존량(상수 벡터) 구성 벡터 $\mathbf{v}(s)=\alpha (s)\times {\alpha }^{\prime }(s)$ 를 생각하고, 이 벡터가 $s$에 관계없이 상수임을 보이자. 이를 위해 $\mathbf{v}(s)$를 미분한다.

$${\mathbf{v}}^{\prime }(s)=\frac{d}{ds}(\alpha (s)\times {\alpha }^{\prime }(s))$$

벡터 외적의 미분 공식을 적용하면,

$${\mathbf{v}}^{\prime }(s)=({\alpha }^{\prime }(s)\times {\alpha }^{\prime }(s))+(\alpha (s)\times {\alpha }^{\prime \prime }(s))$$

• 첫 번째 항 ${\alpha }^{\prime }(s)\times {\alpha }^{\prime }(s)$는 같은 벡터의 외적이므로 항상 $0$ 이다.
• 두 번째 항 $\alpha (s)\times {\alpha }^{\prime \prime }(s)$는 2단계에서 보인 바와 같이 두 평행한 벡터의 외적이므로 이 또한 $0$ 이다.
• 그러므로, ${\mathbf{v}}^{\prime }(s)=0+0=0$ 이다.

4. 결과 해석 ${\mathbf{v}}^{\prime }(s)=0$ 이므로, $\mathbf{v}(s)$는 상수 벡터이다. 이 상수 벡터를 $\mathbf{c}$라 하자.

$$\alpha (s)\times {\alpha }^{\prime }(s)=\mathbf{c}$$

이제, 측지선 위의 임의의 점 $\alpha (s)$와 상수 벡터 $\mathbf{c}$의 내적(dot product)을 계산해 보자.

$$⟨\alpha (s),\mathbf{c}⟩=⟨\alpha (s),\alpha (s)\times {\alpha }^{\prime }(s)⟩$$

외적의 정의에 따라, 벡터 $\alpha (s)\times {\alpha }^{\prime }(s)$는 $\alpha (s)$와 수직이다. 따라서 두 벡터의 내적은 0이다.

$$⟨\alpha (s),\mathbf{c}⟩=0$$

최종 결론

$⟨\alpha (s),\mathbf{c}⟩=0$ 이라는 방정식은, 법선 벡터가 $\mathbf{c}$이고 원점을 지나는 평면의 방정식이다. 측지선 $\alpha (s)$ 위의 모든 점이 이 방정식을 만족하므로, 측지선 $\alpha$는 이 평면 위에 포함된다. ∎

이 증명은 구면 위의 측지선이 대원(great circle) 의 일부임을 보이는 표준적인 방법이며, 그 간결함과 명확함 때문에 가장 완벽한 답안으로 여겨진다.

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네, 물론입니다. 평면 곡선의 곡률에 대한 이 기본적인 정리에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 이상적인 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

(5점) $\alpha :(0,1)\to {\mathbb{R}}^3$를 상수 곡률 $R>0$을 갖는 단위 속력 곡선(unit-speed curve)이라 하자. 만약 모든 $t\in (0,1)$에 대해 $\alpha (t)\in {\mathbb{R}}^2\times \{0\}$ 이라면, $\alpha$가 반지름이 $1/R$인 원의 일부에 대한 매개변수 표현임을 증명하라.

(참고: $\alpha (t)\in {\mathbb{R}}^2\times \{0\}$라는 조건은 곡선 $\alpha$가 $xy$-평면 위에 놓여 있다는 의미입니다.)

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 증명은 평면 곡선 이론의 핵심이며, 다음 개념들을 사용합니다.

• 단위 속력 곡선 (Unit-Speed Curve) 곡선이 호장(arc length)으로 매개변수화되었음을 의미합니다. 즉, 속도 벡터의 크기가 항상 1입니다. 관례에 따라 매개변수를 $s$로 표기하며, $\Vert {\alpha }^{\prime }(s)\Vert =1$이 성립합니다. 이 조건은 계산을 매우 간단하게 만듭니다.

• 곡률 (Curvature, $R$) 곡선이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 척도입니다. 단위 속력 곡선에서는 가속도 벡터의 크기, 즉 $R=\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s)\Vert$로 정의됩니다.

• 평면 곡선의 프레네 틀 (Frenet Frame for a Plane Curve) 곡선 위의 각 점에 정의되는 직교좌표계입니다.

• 단위 접벡터 ($T(s)$): 곡선의 속도 벡터. $T(s)={\alpha }^{\prime }(s)$.

• 단위 법선 벡터 ($N(s)$): 곡선이 휘는 방향을 나타내는 단위 벡터. 가속도 벡터와 같은 방향을 가집니다. $N(s)=\frac{{\alpha }^{\prime \prime }(s)}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s)\Vert }=\frac{1}{R}{\alpha }^{\prime \prime }(s)$. 이 두 벡터는 $T^{\prime }(s)=R\cdot N(s)$ 라는 중요한 관계를 만족합니다.

• 곡률 중심 (Center of Curvature) 곡선 위의 한 점에 가장 잘 맞는 원(접촉원, osculating circle)의 중심을 의미합니다. 그 위치는 다음과 같이 계산됩니다.

$$\mathbf{c}(s)=\alpha (s)+\frac{1}{R}N(s)$$

이 문제의 핵심은 이 곡률 중심이 움직이지 않는 고정된 점임을 보이는 것 입니다.

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

가장 이상적인 답안은 미분 방정식을 직접 풀지 않고, 곡률 중심이 상수 벡터임을 보여 증명을 완성하는 것입니다. 🎯

증명

1. 목표 설정 단위 속력 평면 곡선 $\alpha (s)$가 상수 곡률 $R>0$을 가질 때, 이 곡선이 고정된 점(원의 중심)으로부터 항상 일정한 거리(반지름 $1/R$)에 있음을 보이면 된다.

2. 곡률 중심 정의 곡선 $\alpha (s)$ 위의 각 점에 대응하는 곡률 중심 $\mathbf{c}(s)$를 다음과 같이 정의한다.

$$\mathbf{c}(s)=\alpha (s)+\frac{1}{R}N(s)$$

여기서 $T(s)={\alpha }^{\prime }(s)$이고 $N(s)=\frac{1}{R}{T}^{\prime }(s)$이다. 이제 $\mathbf{c}(s)$가 $s$에 관계없이 상수임을 보이기 위해 미분한다.

3. 곡률 중심 미분

$${\mathbf{c}}^{\prime }(s)=\frac{d}{ds}\left(\alpha (s)+\frac{1}{R}N(s)\right)={\alpha }^{\prime }(s)+\frac{1}{R}{N}^{\prime }(s)$$

${\alpha }^{\prime }(s)=T(s)$이므로, ${\mathbf{c}}^{\prime }(s)=T(s)+\frac{1}{R}{N}^{\prime }(s)$ 이다. 이제 $N^{\prime }(s)$를 구해야 한다. $\{T(s),N(s)\}$는 직교 단위 기저이므로, 다음 관계가 성립한다.

• $⟨T(s),N(s)⟩=0$. 양변을 $s$에 대해 미분하면,

$$⟨T^{\prime }(s),N(s)⟩+⟨T(s),N^{\prime }(s)⟩=0$$

• $T^{\prime }(s)=R\cdot N(s)$ 이므로 이를 대입하면,

$$⟨RN(s),N(s)⟩+⟨T(s),N^{\prime }(s)⟩=0$$

• $⟨N(s),N(s)⟩=\Vert N(s){\Vert }^2=1$ 이므로,

$$R+⟨T(s),N^{\prime }(s)⟩=0⟹⟨T(s),N^{\prime }(s)⟩=-R$$

• 또한, $N(s)$는 단위 벡터이므로 $⟨N(s),N(s)⟩=1$ 이고, 미분하면 $2⟨N^{\prime }(s),N(s)⟩=0$ 이다. 이는 $N^{\prime }(s)$가 $N(s)$에 수직임을 의미한다.
• $N^{\prime }(s)$는 평면 위의 벡터이고 $N(s)$에 수직이므로, $T(s)$와 평행해야 한다. 따라서 $N^{\prime }(s)=⟨N^{\prime }(s),T(s)⟩T(s)=-R\cdot T(s)$ 이다.

4. 결과 대입 및 증명 완료 $N^{\prime }(s)=-R\cdot T(s)$를 ${\mathbf{c}}^{\prime }(s)$ 식에 대입하면,

$${\mathbf{c}}^{\prime }(s)=T(s)+\frac{1}{R}(-R\cdot T(s))=T(s)-T(s)=0$$

${\mathbf{c}}^{\prime }(s)=0$ 이므로, $\mathbf{c}(s)$는 상수 벡터이다. 이 상수 벡터(원의 중심)를 ${\mathbf{c}}_0$라 하자.

$${\mathbf{c}}_0=\alpha (s)+\frac{1}{R}N(s)$$

식을 정리하면,

$$\alpha (s)-{\mathbf{c}}_0=-\frac{1}{R}N(s)$$

양변의 크기를 구하면,

$$\Vert \alpha (s)-{\mathbf{c}}_0\Vert =\Vert -\frac{1}{R}N(s)\Vert =\frac{1}{R}\Vert N(s)\Vert =\frac{1}{R}$$

최종 결론

위 식은 곡선 $\alpha (s)$ 위의 모든 점이 고정된 점 ${\mathbf{c}}_0$로부터 항상 일정한 거리 $1/R$만큼 떨어져 있음을 보여준다. 이는 정의에 의해 $\alpha$가 중심이 ${\mathbf{c}}_0$이고 반지름이 $1/R$인 원의 일부 임을 의미한다. ∎

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물론입니다. 해당 문제에 대한 번역, 필수 개념 정리, 그리고 완벽한 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

**15. (10점) 포물면(paraboloid) $S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|2z=x^2+y^2\}$의 가우스 곡률 K 와 평균 곡률 H 를 계산하라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

곡면이 $z=f(x,y)$ 형태의 함수 그래프로 주어질 때, 가우스 곡률과 평균 곡률은 $f$의 편도함수를 이용하여 직접 계산하는 공식이 있습니다.

• 함수 정의: 주어진 곡면 $2z=x^2+y^2$ 는 $z=f(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 로 표현할 수 있습니다.
• 필요한 편도함수:
• 1차: $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$, $f_y=\frac{\partial f}{\partial y}$
• 2차: $f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$, $f_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$, $f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$
• 가우스 곡률 공식 (Gaussian Curvature)

$$K=\frac{f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2}{(1+f_x^2+f_y^2{)}^2}$$

• 평균 곡률 공식 (Mean Curvature)

$$H=\frac{(1+f_y^2)f_{xx}-2f_x{f}_y{f}_{xy}+(1+f_x^2)f_{yy}}{2(1+f_x^2+f_y^2{)}^{3/2}}$$

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

목표: 곡면 $S$가 $z=f(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$로 주어졌을 때, 가우스 곡률 $K$와 평균 곡률 $H$를 계산한다.

방법: 함수 그래프 형태의 곡면에 대한 표준 공식을 사용한다.

1. 편도함수 계산 $f(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 에 대해 필요한 편도함수를 구한다.

• 1차 편도함수:

$$f_x=x$$ $$f_y=y$$

• 2차 편도함수:

$$f_{xx}=1$$ $$f_{yy}=1$$ $$f_{xy}=0$$

2. 공통 항 계산 두 공식에 공통으로 나타나는 분모의 기본 항을 미리 계산한다.

$$1+f_x^2+f_y^2=1+x^2+y^2$$

3. 가우스 곡률 $K$ 계산 계산된 값들을 가우스 곡률 공식에 대입한다.

$$K=\frac{f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2}{(1+f_x^2+f_y^2{)}^2}=\frac{(1)(1)-0^2}{(1+x^2+y^2{)}^2}$$ $$K=\frac{1}{(1+x^2+y^2{)}^2}$$

4. 평균 곡률 $H$ 계산 계산된 값들을 평균 곡률 공식에 대입한다.

$$H=\frac{(1+f_y^2)f_{xx}-2f_x{f}_y{f}_{xy}+(1+f_x^2)f_{yy}}{2(1+f_x^2+f_y^2{)}^{3/2}}$$ $$H=\frac{(1+y^2)(1)-2(x)(y)(0)+(1+x^2)(1)}{2(1+x^2+y^2{)}^{3/2}}$$ $$H=\frac{1+y^2+1+x^2}{2(1+x^2+y^2{)}^{3/2}}=\frac{2+x^2+y^2}{2(1+x^2+y^2{)}^{3/2}}$$

최종 결론

포물면 $S$ 위의 임의의 점 $(x,y,z)$에서의 가우스 곡률과 평균 곡률은 다음과 같다.

• 가우스 곡률:

$$K(x,y)=\frac{1}{(1+x^2+y^2{)}^2}$$

• 평균 곡률:

$$H(x,y)=\frac{2+x^2+y^2}{2(1+x^2+y^2{)}^{3/2}}$$

기하학적 표현: 곡면의 대칭성을 고려하여, $z$축으로부터의 거리 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 또는 높이 $z=\frac{1}{2}{r}^2$를 이용하여 곡률을 표현하면 더욱 명확하다.

• $K(z)=\frac{1}{(1+2z{)}^2}$
• $H(z)=\frac{2+2z}{2(1+2z{)}^{3/2}}=\frac{1+z}{(1+2z{)}^{3/2}}$

이 표현은 포물면의 곡률이 원점(꼭짓점)으로부터의 높이 $z$에만 의존함을 보여준다. 원점에서 $K=1,H=1$이며, $z$가 증가함에 따라 두 곡률 모두 0에 수렴하여 곡면이 점차 평평해짐을 알 수 있다. 📈